空間直線的位置關(guān)系人教版必修二2.1.2課題空間幾何基礎(chǔ)知識(shí)回顧授課教師：李明課程目標(biāo)理解空間直線基本位置關(guān)系掌握三種基本關(guān)系定義掌握判定與計(jì)算方法能用向量與方程正確判定關(guān)系能解決相關(guān)實(shí)際問題應(yīng)用知識(shí)解決工程數(shù)學(xué)問題空間直線為什么重要實(shí)際應(yīng)用工程建筑設(shè)計(jì)衛(wèi)星導(dǎo)航定位三維建模技術(shù)學(xué)術(shù)重要性高考?？贾R(shí)點(diǎn)難度分層明顯空間思維訓(xùn)練直線定義回顧點(diǎn)向式(x-x?)/m=(y-y?)/n=(z-z?)/p參數(shù)式x=x?+mt,y=y?+nt,z=z?+pt兩點(diǎn)式確定直線的兩點(diǎn)坐標(biāo)空間直線關(guān)系的研究核心位置判定相交/平行/異面三種情況共面性直線能否位于同一平面交點(diǎn)問題存在唯一交點(diǎn)的條件空間直線位置關(guān)系分類相交有唯一公共點(diǎn)平行無公共點(diǎn)且方向向量平行異面不共面無公共點(diǎn)共面直線判定是否存在唯一公共點(diǎn)求解方程組方向向量是否平行檢驗(yàn)向量共線性空間向量共面判據(jù)混合積為零相交直線的定義直線有唯一交點(diǎn)參數(shù)方程有唯一解兩直線共面必定位于同一平面內(nèi)空間表示特殊位置關(guān)系平行直線的定義共面兩直線位于同一平面無交點(diǎn)沒有任何公共點(diǎn)方向向量平行方向完全一致異面直線的定義不共面不能找到包含兩直線的平面無交點(diǎn)方程組無解存在最短距離公共垂線段長(zhǎng)度非零典型圖示：三種基本模型相交直線共點(diǎn)共面平行直線共面無交點(diǎn)異面直線不共面無交點(diǎn)怎樣分析空間直線的關(guān)系向量法方向向量分析參數(shù)式方程法解參數(shù)方程組輔助平面法構(gòu)造包含直線的平面判定空間直線相交的條件1寫出參數(shù)方程組聯(lián)立兩條直線方程2判斷方程組是否有唯一解求t和s的唯一對(duì)應(yīng)值3驗(yàn)證交點(diǎn)坐標(biāo)代入?yún)?shù)值確認(rèn)交點(diǎn)判定空間直線平行的條件方向向量條件兩直線方向向量平行存在非零常數(shù)λ使得v?=λv?代數(shù)條件方程組無解兩直線參數(shù)無對(duì)應(yīng)關(guān)系判定空間直線異面的條件1方向向量不共面三向量混合積不為零2方程組無解無法找到共同參數(shù)值3最短距離非零公共垂線長(zhǎng)度大于零判定流程與決策樹檢查方向向量是否平行判斷共面性混合積是否為零驗(yàn)證交點(diǎn)方程組是否有解結(jié)論判定相交/平行/異面向量法判定空間直線關(guān)系位置關(guān)系向量判定條件相交混合積為零且有交點(diǎn)平行方向向量平行且無交點(diǎn)異面混合積不為零判定共面的代數(shù)條件三點(diǎn)共面：|(A-C)×(B-C)|=0四點(diǎn)共面：行列式法判定空間直線夾角的定義最小角度定義兩直線夾角取銳角或直角數(shù)學(xué)表達(dá)0≤θ≤π/2工程應(yīng)用結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中夾角計(jì)算空間直線夾角計(jì)算法點(diǎn)積運(yùn)算取方向向量點(diǎn)積絕對(duì)值模長(zhǎng)計(jì)算計(jì)算兩方向向量的模長(zhǎng)反余弦應(yīng)用反三角函數(shù)求角度夾角計(jì)算步驟匯總確定方向向量從直線方程提取方向向量計(jì)算點(diǎn)積和模長(zhǎng)應(yīng)用向量點(diǎn)積公式求余弦值點(diǎn)積除以模長(zhǎng)乘積取反余弦得到夾角數(shù)值典型例題解析—夾角題目已知直線L?:(x-1)/2=(y+1)/3=(z-2)/4直線L?:x=t,y=1-t,z=2t求兩直線夾角解法L?方向向量：(2,3,4)L?方向向量：(1,-1,2)點(diǎn)積：2-3+8=7模長(zhǎng)乘積：√29×√6cosθ=7/√174θ≈58°空間異面直線的基本性質(zhì)最短距離唯一公共垂線垂直于兩直線無公共點(diǎn)不可共面異面直線的距離定義公共垂線垂直于兩直線的線段線段長(zhǎng)度公共垂線的長(zhǎng)度最短距離兩直線間唯一最短距離異面直線距離公式推導(dǎo)r?,r?為直線上的位置向量a?,a?為直線的方向向量混合積表示體積叉積表示面積距離公式舉例例題已知異面直線：L?:(x-1)/3=(y-2)/4=(z)/5L?:x=t,y=2t,z=1-t求兩直線間的距離解法方向向量：(3,4,5),(1,2,-1)位置向量：(1,2,0),(0,0,1)叉積：(3,4,5)×(1,2,-1)=(-14,8,2)代入公式計(jì)算得d=3/√53典型判定與計(jì)算例題11直線方程構(gòu)建L?、L?參數(shù)式表示2參數(shù)方程組求解聯(lián)立方程判斷是否有解3交點(diǎn)坐標(biāo)確定代入?yún)?shù)值算出交點(diǎn)4判定結(jié)論兩直線相交于(2,3,1)典型判定與計(jì)算例題2平行判定方向向量成比例1代入檢驗(yàn)驗(yàn)證是否有解異面判定混合積非零共面判斷構(gòu)造向量檢驗(yàn)例題擴(kuò)展：改編高考真題1題目分析四面體中直線與邊的位置關(guān)系解題思路參數(shù)方程構(gòu)建與判定方法解答與要點(diǎn)異面距離計(jì)算技巧例題擴(kuò)展：立體幾何實(shí)際建模橋梁結(jié)構(gòu)支架設(shè)計(jì)中的異面直線考慮受力與空間布局鋼架結(jié)構(gòu)工業(yè)廠房鋼梁關(guān)系直線夾角與受力計(jì)算常見空間錯(cuò)覺與易錯(cuò)點(diǎn)三條直線判定錯(cuò)誤兩兩相交不等于三線共面平面與直線關(guān)系誤解直線在平面內(nèi)≠直線與平面相交異面距離計(jì)算錯(cuò)誤忽略公共垂線垂直性質(zhì)圖形直覺誤導(dǎo)平面圖難以表現(xiàn)空間關(guān)系放大鏡：空間直線與平面直線在平面內(nèi)是特殊空間情況平面方程：Ax+By+Cz+D=0判定方法：代入與聯(lián)立交流：生活中的空間直線工廠流水線傳送帶交錯(cuò)布置電力線路高壓線異面交錯(cuò)立交橋多層道路交錯(cuò)設(shè)計(jì)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖定義三種基本關(guān)系明確定義判定方法向量、方程、代數(shù)條件計(jì)算技巧夾角、距離等空間量應(yīng)用實(shí)際問題解決方法解題技巧：轉(zhuǎn)化法平移變換保持位置關(guān)系不變旋轉(zhuǎn)變換簡(jiǎn)化坐標(biāo)計(jì)算方程替換參數(shù)式與點(diǎn)向式轉(zhuǎn)換解題技巧：輔助面作法構(gòu)造包含直線的平面直線與點(diǎn)確定平面判斷另一直線與該平面關(guān)系相交、平行或在平面內(nèi)推導(dǎo)兩直線位置關(guān)系根據(jù)平面交點(diǎn)判定選擇題"速判法"總結(jié)方向向量一目了然平行判定速查叉積快速判異面檢驗(yàn)混合積非零代入檢驗(yàn)有無交點(diǎn)解方程驗(yàn)證相交綜合題應(yīng)對(duì)策略分析題目條件與目標(biāo)明確已知量與求解量選擇合適的方法路徑向量法或參數(shù)方程法規(guī)范化解題步驟細(xì)化推導(dǎo)避免跳躍結(jié)果驗(yàn)證與反思檢查結(jié)果合理性技巧再歸納：向量三重積混合積公式(a×b)·c=|abc|幾何意義：平行六面體體積向量三重積a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c空間直線判定常用坐標(biāo)法與向量法對(duì)比方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)坐標(biāo)法直觀具體計(jì)算繁瑣向量法簡(jiǎn)潔有力抽象度高綜合法靈活多變需要綜合判斷課本例題深度分析例6原題空間直線位置關(guān)系綜合題解法剖析關(guān)鍵步驟與思路點(diǎn)撥優(yōu)化解法簡(jiǎn)化計(jì)算的替代方案補(bǔ)充：三維空間可視化軟件推薦：GeoGebra3D輔助理解空間關(guān)系常用數(shù)學(xué)符號(hào)歸納平行符號(hào)L?∥L?垂直符號(hào)L?⊥L?夾角符號(hào)∠(L?,L?)距離符號(hào)d(L?,L?)直觀動(dòng)圖演示動(dòng)態(tài)變換增強(qiáng)空間想象直觀理解位置關(guān)系轉(zhuǎn)變小練習(xí)1：辨析直線關(guān)系1L?:x=t,y=2t,z=3tL?:x=1+s,y=2+2s,z=3+3s2L?:x=1+t,y=t,z=1-tL?:x=s,y=1+s,z=2-s3L?:x=t,y=1+t,z=2tL?:x=2-s,y=3-s,z=4+2s小練習(xí)2：計(jì)算夾角與距離題目1已知直線L?:x=t,y=1+t,z=2-tL?:x=s,y=2s,z=1+s計(jì)算它們的夾角題目2已知異面直線L?:x=t,y=1,z=tL?:x=1,y=s,z=2s求它們的距離實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景拓展1工程測(cè)量建筑樁基線位置確定攝影測(cè)量相機(jī)標(biāo)定中的直線算法機(jī)器人路徑規(guī)劃避障算法中直線判定實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景拓展2三維建模軟件3DMax空間線框設(shè)計(jì)AutoCAD參數(shù)化直線構(gòu)建直線關(guān)系優(yōu)化空間結(jié)構(gòu)游戲物理引擎碰撞檢測(cè)算法射線追蹤技術(shù)空間光線模擬渲染競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)鏈接向量幾何擴(kuò)展向量場(chǎng)與矢量分析線性代數(shù)直線方程矩陣表示幾何拓?fù)涓呔S空間直線關(guān)系參數(shù)曲線曲線與直線關(guān)系常見考題類型歸納概念題判定題計(jì)算題應(yīng)用題判定題占比最高，其次是計(jì)算題和概念題應(yīng)用題比例相對(duì)較小但重要性高題海訓(xùn)練：速算題組基礎(chǔ)練習(xí)直線位置關(guān)系判定題中等難度夾角與距離計(jì)算題挑戰(zhàn)題綜合應(yīng)用與證明題章節(jié)回顧與總結(jié)1應(yīng)用解決實(shí)際問題計(jì)算夾角與距離方法判定與分析概念三種基本關(guān)系常見疑問答疑如何區(qū)分共面不平行與異面？檢驗(yàn)混合積是否為零夾角一定存在嗎？任意兩直線必有夾角異面直線一定有距離嗎？異面直線距離必定大于零如何確定共面但沒交點(diǎn)？方向向量平行且方程組無解知識(shí)遷移：平面與空間對(duì)照平面直線關(guān)系相交或平行夾角一維度兩點(diǎn)確定一直線空間直線關(guān)系相交、平行或異面夾角與距離兩度量需要點(diǎn)向或參數(shù)式提升建議與自學(xué)方向延伸閱讀《解析幾何》高等教育出版社視頻資源三維動(dòng)態(tài)演示教程實(shí)踐訓(xùn)練空間想象力提升練習(xí)軟件輔助GeoGebra3D建模綜合能力挑戰(zhàn)題復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)的直線關(guān)系分析需綜合運(yùn)用多種判定方法課堂知識(shí)小測(cè)1相交直線特征有唯一公共點(diǎn)2異面距離公式向量混合積/叉積