2025年下期永州市文宇高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A. B.C. D.2．y=3x與A．x軸對稱 B．直線y=x對稱C．原點(diǎn)對稱 D．y軸對稱3．下列函數(shù)fx與gA．fx=x2?1x?C．fx=x+1和gx=4．若n為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，8，9，10的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A.7 B.8 C.9 D.105．已知，與的夾角為，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．6．已知cos5π12+α=A．233 B．13 C．?7．已知棱長為8的正四面體，沿著四個(gè)頂點(diǎn)的方向各切下一個(gè)棱長為2的小正四面體（如圖），剩余中間部分的八面體可以裝入一個(gè)球形容器內(nèi)（容器壁厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最小值為（）A.B.C. D.8．已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知函數(shù)fxA．fx是非奇非偶函數(shù) B．fC．fx是周期函數(shù) D．fx10．已知函數(shù)f(x)=?2x+1A．?x∈?2,2，f(xB．?x∈?2,2，f(xC．?x∈0,3，g(x)D．?x∈?2,2，?t∈11．在正四棱臺(tái)中，，，點(diǎn)在四邊形內(nèi)，且正四棱臺(tái)的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，，則（）A.該正四棱臺(tái)的高為3B.該正四棱臺(tái)的側(cè)面面積是C.球心到正四棱臺(tái)底面的距離為D.動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度是三，填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12，已知，則的值為13.已知定義在上偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若，則在點(diǎn)處的切線方程為______．（結(jié)果用含的表達(dá)式表示）14.在中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在，，邊上，且，，則的最小值為______．解答題：本題共5個(gè)小題，共77分。15，設(shè)公比為正的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S3=7a1,且a1,a3,20+a2成等差數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=bn+1+bnbn+1log2an,b1=1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.16，，O是棱的中點(diǎn)，G是的重心，D是PA的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；17，在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AD=AB=1,PD=2,BC=2.(1)如圖1,在側(cè)面PDC內(nèi)能否作一條線段,使其與AB平行?如果能,請寫出作圖過程并給出證明;如果不能,請說明理由;(2)如圖2,若PD⊥平面ABCD,證明:CD⊥平面PBD;(3)在(2)的條件下,E為棱AP上的點(diǎn),二面角A-BD-E的大小為45°,求異面直線BE與PC所成角的余弦值.18，甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為、、，三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.（1）求甲、乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率；（2）求的分布列.19，設(shè)函，．（1）設(shè)，求函數(shù)的極值；（2）若，試研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．答案一，選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，.故選：A2．y=3x與A．x軸對稱 B．直線y=x對稱C．原點(diǎn)對稱 D．y軸對稱【答案】B【解析】函數(shù)y=3x與y=lo故選：B.3．下列函數(shù)fx與gA．fx=x2?1x?C．fx=x+1和gx=【答案】D【解析】對A，fx=xgx=x+1對B，fx=1gx=x對C，gx由fx對D，fx=x定義域?yàn)間x=ln故選：D4．若n為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，8，9，10的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】因?yàn)閚為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，8，9，10的第六十百分位數(shù)，，所以，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：A5．已知，與的夾角為，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，與的夾角為，，，在方向上的投影為．故選：．6．已知cos5π12+α=A．233 B．13 C．?【答案】D【解析】依題意cos5由于?π<α<?π2，所以故cosπ故選：D.7．已知棱長為8的正四面體，沿著四個(gè)頂點(diǎn)的方向各切下一個(gè)棱長為2的小正四面體（如圖），剩余中間部分的八面體可以裝入一個(gè)球形容器內(nèi)（容器壁厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最小值為（）A.B.C. D.【答案】D【解析】如圖：設(shè)為正四面體的外接球球心，為的中心,為的中心,為的中點(diǎn)，因?yàn)檎拿骟w棱長為8，易得平面，易得，平面，平面，則，由正四面體外接球球心為，則在，則為外接球半徑，由得，解得，即,在正四面體中，易得，，所以，則該八面體的外接球半徑,所以該球形容器表面積的最小值為，故選：D.8．已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題目條件可得：.令，可得：，則，即，.令，則；.因?yàn)?，所以，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)?，令，得；令，?所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.則.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，解得：.又因?yàn)?，所?故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知函數(shù)fxA．fx是非奇非偶函數(shù) B．fC．fx是周期函數(shù) D．fx【答案】BC【解析】畫出分段函數(shù)的圖象，如圖所示.由圖可知：可知函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A正確；函數(shù)在x≤0函數(shù)在x≤0部分最小正周期為2π，但是f0≠f函數(shù)的最小值為?1，函數(shù)沒有最大值，x≤0部分值域?yàn)?1,1,x>0部分值域?yàn)椤噱e(cuò)誤的是BC，故選：BC.10．已知函數(shù)f(x)=?2x+1A．?x∈?2,2，f(xB．?x∈?2,2，f(xC．?x∈0,3，g(x)D．?x∈?2,2，?t∈【答案】AC【解析】在A中，因?yàn)閒x=?2x+1x∈?在B中，因?yàn)閒x=?2x+1x∈?在C中，g(x)=x2?2x=(x?1)2?在D中，?x∈?2,2,?t∈0,3,f(x)=g(t故選：AC11．在正四棱臺(tái)中，，，點(diǎn)在四邊形內(nèi)，且正四棱臺(tái)的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，，則（）A.該正四棱臺(tái)的高為3B.該正四棱臺(tái)的側(cè)面面積是C.球心到正四棱臺(tái)底面的距離為D.動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度是【答案】BCD【解析】對于A，取正方形的中心，正方形的中心，連接，，，則平面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，，，，，，，故，，，，由勾股定理得，故A錯(cuò)誤；對于B，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，故，正四棱臺(tái)的側(cè)面面積是，故B正確；對于C，正四棱臺(tái)的外接球球心在直線上，連接，，則，如圖所示．設(shè)，則，由勾股定理得，，，解得，故C正確；對于D，由勾股定理得，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分，如圖，其中，故，又，由勾股定理得，由于，，故，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度是，故D正確．故選：BCD三，填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12，已知，則的值為由得則，即，解得.13.已知定義在上偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若，則在點(diǎn)處的切線方程為______．（結(jié)果用含的表達(dá)式表示）【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，令，有，令，有，所以，，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，由，令得，所以，令得，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：14.在中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在，，邊上，且，，則的最小值為______．【答案】【解析】由，，故A，F(xiàn)，D，E四點(diǎn)共圓，且為該圓直徑，又，故最小時(shí)，需最小，當(dāng)時(shí)，最小，由，故此時(shí)，由正弦定理可得，．故答案為：.四，解答題：本題共5個(gè)小題，共77分。15，設(shè)公比為正的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S3=7a1,且a1,a3,20+a2成等差數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=bn+1+bnbn+1log2an,b1=1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),則S3=7a1=a1+a1q+a1q2,a1≠0,所以q2+q+1=7?(q-2)(q+3)=0,由q>0得q=2,因?yàn)閍1,a3,20+a2成等差數(shù)列,所以2a3=20+a2+a1?8a1=20+2a1+a1?a1=4,所以an=4×2n-1=2n+1.(2)因?yàn)閎n=bn+1+bnbn+1log2an,所以bn=bn+1+bnbn+1log22n+1,bn=bn+1+(n+1)bnbn+1,所以1bn+1?故1bn?1bn?1=n,1bn由累加法得1bn?1b1=n+(1bn?1=bn=2n則Tn=21?=21?116，，O是棱的中點(diǎn)，G是的重心，D是PA的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）證明：平面ABC，且平面ABC，，底面ABC是直角三角形且，，又平面PAB，平面PAB，，平面.(2)證明：連結(jié)并延長交于點(diǎn)，連結(jié)，,是的重心，為邊上的中線，為邊上的中點(diǎn)，又有為邊上的中點(diǎn)，，平面PBC，平面PBC，同理可得平面PBC，又平面DOE，平面DOE，，平面DOE平面PBC，又有平面DOE，平面17，在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AD=AB=1,PD=2,BC=2.(1)如圖1,在側(cè)面PDC內(nèi)能否作一條線段,使其與AB平行?如果能,請寫出作圖過程并給出證明;如果不能,請說明理由;(2)如圖2,若PD⊥平面ABCD,證明:CD⊥平面PBD;(3)在(2)的條件下,E為棱AP上的點(diǎn),二面角A-BD-E的大小為45°,求異面直線BE與PC所成角的余弦值.解析(1)不能.假設(shè)在側(cè)面PDC內(nèi)存在直線與AB平行,可得AB與側(cè)面PDC平行.依據(jù)線面平行性質(zhì)定理,可得AB與CD平行,這與已知條件矛盾.證明:在底面ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AD=AB=1,所以BD=2,又BC=2,∠DBC=45°,所以由余弦定理得CD=2,所以BC2=BD2+CD2,得CD⊥BD,因?yàn)镻D⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PD⊥CD.又PD∩BD=D,PD,BD?平面PBD,所以CD⊥平面PBD.以A為原點(diǎn),AB,AD的方向分別為x,y軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),P(0,1,2),由E為棱AP上的點(diǎn),設(shè)AE=λAP=(0,λ,2λ)(λ∈[0則BE=BA+AE=(-1,λ設(shè)平面BDE的法向量為n1=(x,y,z),則n1·BD=0,n1·BE=0,?x+y=0,?x+λy+2λz=0,令x=1,得y=1,z=1?λ2λ,則n1=1,1,1?λ2λ,因?yàn)镻D⊥平面ABCD,所以n2=(0,0,1)為平面ABCD則BE=設(shè)直線BE與PC所成角為θ,則cosθ=|cos<BE,PC>所以異面直線BE與PC所成角的余弦值為33.18，甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為、、，三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.（1）求甲、乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率；（2）求的分布列.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）記甲、