第十三章

三角形13.3.1三角形的內(nèi)角課時(shí)2直角三角形的性質(zhì)與判定1.了解直角三角形兩個(gè)銳角的關(guān)系.2.掌握直角三角形的判定.3.會(huì)運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.1.三角形的內(nèi)角和是多少度?180°3.直角三角形中，有一個(gè)角一定是

°902.按角的大小分類，三角形可以分為哪三類？銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形直角三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1問(wèn)題1：如下圖所示的是我們常用的一副三角板,你知道它們兩銳角的度數(shù)之和嗎?通過(guò)量角器測(cè)量一下吧！30°+60°=90°45°+45°=90°問(wèn)題2：如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，（1）你能求出∠A，∠B的度數(shù)嗎？能.在△ABC中，因?yàn)椤螩=90°，所以由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=90°,即∠A+∠B=90°.不能.（2）你能求出∠A+∠B的度數(shù)嗎？你是怎么得到的？由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．

直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．直角三角形的表示：注意：Rt△后必須緊跟表示直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母，不能單獨(dú)使用.例1

如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.

∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.【變式】如圖，∠B=∠C=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠D有什么關(guān)系？方法一（利用平行的判定和性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.與例1有哪些共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？∠A=∠C∠A=∠D基本圖形兩個(gè)直角三角形的一對(duì)銳角為對(duì)頂角，則另一對(duì)銳角相等.1.在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于40°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°B2.在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．30°或60°A3.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于點(diǎn)D，已知∠1=32°，求∠D的度數(shù)．

注意：在直角三角形中，若已知一個(gè)銳角或者兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，可以直接運(yùn)用兩個(gè)銳角互余求解，不需要再利用三角形的內(nèi)角和定理求解.直角三角形的判定知識(shí)點(diǎn)2問(wèn)題：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？如何驗(yàn)證？如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？在△ABC中，由三角形內(nèi)角和可知∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．由此，你可以得到直角三角形的判定方法嗎？直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．三角形是直角三角形

三角形的兩個(gè)角互余

直角三角形的性質(zhì)與判定之間的關(guān)系例2

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B，求證：CD⊥AB．證明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°.∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．【變式】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠1+∠2=90°B．∠2=∠3

C．∠1=∠4

D．∠1=30°D【解析】∵∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°，故A選項(xiàng)正確；∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，故B選項(xiàng)正確；∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠2+∠4=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠4，故C選項(xiàng)正確；根據(jù)已知條件不能推出∠1=30°，故D選項(xiàng)符合題意；故選D．∠1=∠2,∠C=90°，ED⊥AB已知其中任意兩條，即可求得第三條∠1=∠2,∠3=∠4，∠ACB=90°，CD⊥AB已知其中任意三條，即可求得第四條基本圖形直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)判定直角三角形的兩個(gè)銳角互余有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，且CD∥AB．∠B=60°，則∠1等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°A2.在直角三角形中，銳角α是另一個(gè)內(nèi)角的一半，則銳角α的度數(shù)為

．45°或30°

3.如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？理由如下：解：△ABD是直角三角形.∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.4.如圖，∠AOB=50°，點(diǎn)P是邊OB上一個(gè)動(dòng)