第一章全等三角形綜合練習(xí)一、選擇題1、下列說法正確的是（）A.形狀相同的兩個(gè)三角形全等 B.面積相等的兩個(gè)三角形全等C.完全重合的兩個(gè)三角形全等 D.所有的等邊三角形全等2、在△ABC中，AC＝6，中線AD＝5，則邊AB的取值范圍是（）A.1＜AB＜11 B.4＜AB＜13 C.4＜AB＜16 D.11＜AB＜163、在△ABC和△DEF中，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，∠C=∠F；②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；其中能判定△ABC≌△DEF的有（）A.1組 B.2組 C.3組 D.4組4、根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△ABC的是（）A.AB=5，BC=6，∠A=70° B.AB=5，BC=6，AC=13C.∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D.∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°5、如圖，把長(zhǎng)短確定的兩根木棍AB、AC的一端固定在A處，和第三根木棍BM擺出△ABC，木棍AB固定，木棍AC繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，得到△ABD，這個(gè)實(shí)驗(yàn)說明（）A.△ABC與△ABD不全等B.有兩邊分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等C.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等D.有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等6、如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，則AD的長(zhǎng)為（）A.a＋c B.b＋c C.a＋b－c D.a－b＋c7、如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)8、如圖，已知長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段AB上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，若與全等，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是（）A.6或 B.2或6 C.2或 D.2或二、填空題9、如圖，在∠AOB的兩邊上，分別取OM＝ON，再分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP，則OP平分∠AOB的依據(jù)是_____．（填SAS或AAS或HL）10、如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，則∠A＝____．11、如圖，是一個(gè)的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=________．12、如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且滿足DE=DH，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，G為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，滿足DG＝DF，若AE=4cm，則AG=_____cm．13、如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，若∠CAE＋∠ACE＋∠ADE＝130°，則∠ADE的度數(shù)為________°．14、如圖，已知銳角∠AOB，在射線OA上取點(diǎn)C、E，分別以點(diǎn)O為圓心，OC、OE長(zhǎng)為半徑作弧，交射線OB于點(diǎn)D、F；連接CF、DE交于點(diǎn)P．下列結(jié)論：①CE＝DF；②PE＝PF；③△ODE≌△COF；④點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．其中正確的結(jié)論是_______．（填上正確的序號(hào)）15、如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，則四邊形ABCD的面積為_____．16、如圖，已知△ABC，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AC上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為vcm/s，則當(dāng)△BPD與△CQP全等時(shí)，v的值為_______cm/s．三、解答題17、如圖，B、C、E三點(diǎn)同一條直線上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．（1）求證：BC=DE（2）若∠A=40°，求∠BCD的度數(shù)．18、如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求證：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的長(zhǎng)．19、如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=AD，BC=CD．求證：AC⊥BD．20、在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于點(diǎn)P，AE、BD相交于點(diǎn)O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．（1）求證：AC=BD；（2）求證：∠APB＝∠AEB．21、如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）證明：Rt△BCE≌Rt△DCF；（2）若AB=21，AD=9，求AE的長(zhǎng)．22、數(shù)學(xué)課上，探討角平分線的作法時(shí)，李老師用直尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：根據(jù)以下情境，解決下列問題：作法：①在和上分別截取、，使．②分別以、為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)．③作射線．則就是的平分線．（1）李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是______．小聰只帶了直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線，方法如下：步驟：①利用三角板上的刻度，在和上分別截取、，使．②分別過、作、的垂線，交于點(diǎn)．③作射線．則為的平分線．（2）小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請(qǐng)說明理由．23、如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O，（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）求證：OE=OD；（3）．猜測(cè)AE，CD，AC三者的數(shù)量關(guān)系，并證明.24、（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．25、（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應(yīng)用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點(diǎn)．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．26、（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．第一章全等三角形綜合練習(xí)-2022-2023學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)一、選擇題1、下列說法正確的是（）A.形狀相同的兩個(gè)三角形全等 B.面積相等的兩個(gè)三角形全等C.完全重合的兩個(gè)三角形全等 D.所有的等邊三角形全等【答案】C【詳解】解：A、形狀相同的兩個(gè)三角形全等，說法錯(cuò)誤，應(yīng)該是形狀相同且大小也相同的兩個(gè)三角形全等；

B、面積相等的兩個(gè)三角形全等，說法錯(cuò)誤；

C、完全重合的兩個(gè)三角形全等，說法正確；

D、所有的等邊三角形全等，說法錯(cuò)誤；

故選：C．2、在△ABC中，AC＝6，中線AD＝5，則邊AB的取值范圍是（）A.1＜AB＜11 B.4＜AB＜13 C.4＜AB＜16 D.11＜AB＜16【答案】C【詳解】如圖，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，∵AD＝5，∴AE＝5＋5＝10，∵10＋6＝16，10?6＝4，∴4＜CE＜16，即4＜AB＜16．故選：C．3、在△ABC和△DEF中，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，∠C=∠F；②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；其中能判定△ABC≌△DEF的有（）A.1組 B.2組 C.3組 D.4組【答案】B【詳解】解：①AB=DE，BC=EF，∠C=∠F，不能根據(jù)判定△ABC≌△DEF；②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，不能根據(jù)判定△ABC≌△DEF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，可根據(jù)判定△ABC≌△DEF；④AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可根據(jù)判定△ABC≌△DEF；故能判定△ABC≌△DEF的有③④兩組，故選：B．4、根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△ABC的是（）A.AB=5，BC=6，∠A=70° B.AB=5，BC=6，AC=13C.∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D.∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°【答案】C【詳解】A.∠A不是AB、BC的夾角，畫出的△ABC不唯一；B.5+6＜13，不能構(gòu)成三角形；C.AB為∠A、∠B的夾邊，能畫出唯一的△ABC；D.△ABC的邊長(zhǎng)不一定，不能畫出唯一的△ABC.故選C.5、如圖，把長(zhǎng)短確定的兩根木棍AB、AC的一端固定在A處，和第三根木棍BM擺出△ABC，木棍AB固定，木棍AC繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，得到△ABD，這個(gè)實(shí)驗(yàn)說明（）A.△ABC與△ABD不全等B.有兩邊分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等C.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等D.有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全等三角形判定方法即可判斷；【詳解】由題意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，滿足有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等，但是△ABC與△ABD不全等，故選：D．6、如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，則AD的長(zhǎng)為（）A.a＋c B.b＋c C.a＋b－c D.a－b＋c【答案】C【詳解】解：∵，，，∴，，，∴．∵，，，∴≌，∴，．∵，∴．故選：C．7、如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【詳解】要使△ABP與△ABC全等，必須使點(diǎn)P到AB的距離等于點(diǎn)C到AB的距離，即3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以點(diǎn)P的位置可以是P1，P2，P4三個(gè)，故選C．8、如圖，已知長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段AB上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，若與全等，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是（）A.6或 B.2或6 C.2或 D.2或【答案】A【詳解】解：∵ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠A=∠B=90°，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=8cm，∴AE=4cm，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，①經(jīng)過y秒后，△AEP≌△BQP，則AP=BP，AE=BQ，，解得，，即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度cm/s時(shí)能使兩三角形全等．②經(jīng)過y秒后，△AEP≌△BPQ，則AP=BQ，AE=BP，，解得：，即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度6cm/s時(shí)能使兩三角形全等．綜上所述，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度或6cm/s時(shí)能使兩三角形全等．故選：A．二、填空題9、如圖，在∠AOB的兩邊上，分別取OM＝ON，再分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP，則OP平分∠AOB的依據(jù)是_____．（填SAS或AAS或HL）【答案】HL詳解】解：由題意知OM＝ON，∠OMP＝∠ONP＝90°，OP＝OP，∴在RtOMP和RtONP中，，∴RtOMP≌RtONP（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∴OP是∠AOB的平分線．故答案為：HL．10、如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，則∠A＝____．【答案】50°【詳解】在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，

∵∠FDE+∠EDC=∠B+∠BFD，∴∠B=∠FDE=65°，

∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-65°-65°=50°，故答案為：50°．11、如圖，是一個(gè)的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=________．【答案】180°.【詳解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4=90°，

∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．故答案為：180．12、如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且滿足DE=DH，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，G為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，滿足DG＝DF，若AE=4cm，則AG=_____cm．【答案】2或6.【詳解】∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴∠AED=∠AHE=90°.在△ADE和△ADH中，∵AD=AD,DE=DH,∴△ADE≌△ADH(HL),∴AH=AE=4cm.∵F為AE的中點(diǎn)，∴AF=EF=2cm.在△FDE和△GDH中，∵DF=DG,DE=DH,∴△FDE≌△GDH(HL),∴GH=EF=2cm.當(dāng)點(diǎn)G在線段AH上時(shí)，AG=AH-GH=4-2=2cm;當(dāng)點(diǎn)G在線段HC上時(shí)，AG=AH+GH=4+2=6cm;故AG的長(zhǎng)為2或6.13、如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，若∠CAE＋∠ACE＋∠ADE＝130°，則∠ADE的度數(shù)為________°．【答案】65【詳解】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，∴∠ABD+∠BAD+∠ADE=130°，∵∠ADE=∠ABD+∠BAD，∴2∠ADE=130°，∴∠ADE=65°．故答案為：65．14、如圖，已知銳角∠AOB，在射線OA上取點(diǎn)C、E，分別以點(diǎn)O為圓心，OC、OE長(zhǎng)為半徑作弧，交射線OB于點(diǎn)D、F；連接CF、DE交于點(diǎn)P．下列結(jié)論：①CE＝DF；②PE＝PF；③△ODE≌△COF；④點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．其中正確的結(jié)論是_______．（填上正確的序號(hào)）【答案】①②③④【詳解】解：由作法得OE=OF，OC=OD，∴OE-OC=OF-OD，即CE=DF，所以①的結(jié)論正確；在△ODE和△OCF中，，∴△ODE≌△OCF（SAS），所以③的結(jié)論正確；∴∠OED=∠OFC，在△PCE和△PDF中，，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PE=PF，所以②的結(jié)論正確；∴PC=PD，連接OP，如圖，在△OCP和△OPD中，，∴△OCP≌△OPD（SSS），∴∠COP=∠DOP，所以④的結(jié)論正確；綜上，①②③④均正確，故答案為：①②③④．15、如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，則四邊形ABCD的面積為_____．【詳解】如圖，過A作AE⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB（ASA），∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，∵S△ACE=×5×5=12.5，∴四邊形ABCD的面積為12.5，故答案為12.5．16、如圖，已知△ABC，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AC上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為vcm/s，則當(dāng)△BPD與△CQP全等時(shí)，v的值為_______cm/s．【答案】3或【詳解】設(shè)運(yùn)動(dòng)了秒，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴∵，∴，∴點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了，秒∵，∴，∴，∴設(shè)運(yùn)動(dòng)了秒，當(dāng)時(shí)，∵，，∴，解得秒∵，∴，∴故答案為：或．三、解答題17、如圖，B、C、E三點(diǎn)同一條直線上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．（1）求證：BC=DE（2）若∠A=40°，求∠BCD的度數(shù)．【詳解】（1）∵AC∥DE，∴∠ACB=∠DEC，∠ACD=∠D，∵∠ACD=∠B．∴∠D=∠B，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC=DE；（2）∵△ABC≌△CDE，∴∠A=∠DCE=40°，∴∠BCD=180°–40°=140°．18、如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求證：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）CD＝5．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC．在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），（2）∵△ABD≌△EDC，∴AB＝DE＝2，BD＝CD，∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．19、如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=AD，BC=CD．求證：AC⊥BD．【詳解】∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC＝∠DAC∵在△ABO和△ADO中，∴△ABO≌△ADO（SAS），∴∠AOB＝∠AOD又∵∠AOB＋∠AOD＝180°，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD20、在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于點(diǎn)P，AE、BD相交于點(diǎn)O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．（1）求證：AC=BD；（2）求證：∠APB＝∠AEB．【解析】【1】證明：∵∠AEB=∠DEC，∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED與△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴AC=BD．【2】證明∵△BED≌△AEC，∴∠EBD=∠EAC，∵∠EBD+∠BOE+∠AEB=∠AOP+∠APB+∠EAC=180°，又∵∠BOE=∠AOP，∴∠AEB=∠APB．21、如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）證明：Rt△BCE≌Rt△DCF；（2）若AB=21，AD=9，求AE的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；（2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，

在Rt△AFC和Rt△AEC中，，∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），∴AF=AE，

由（1）知Rt△BCE≌Rt△DCF，則BE=DF，

∵AB=21，AD=9，∴AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+DF=AD+2DF=9+2DF=21，

解得，DF=6，∴AE=AF=AD+DF=9+6=15，即AE的長(zhǎng)是15．22、數(shù)學(xué)課上，探討角平分線的作法時(shí)，李老師用直尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：根據(jù)以下情境，解決下列問題：作法：①在和上分別截取、，使．②分別以、為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)．③作射線．則就是的平分線．（1）李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是______．小聰只帶了直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線，方法如下：步驟：①利用三角板上的刻度，在和上分別截取、，使．②分別過、作、的垂線，交于點(diǎn)．③作射線．則為的平分線．（2）小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請(qǐng)說明理由．【詳解】解：（1）李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法SSS．故答案為SSS；（2）解：小聰?shù)淖鞣ㄕ_．理由：∵，；∴，在和中，∵，，∴∴，∴平分．23、如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O，（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）求證：OE=OD；（3）．猜測(cè)AE，CD，AC三者的數(shù)量關(guān)系，并證明.【詳解】（1）在△ABC中，∠B＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝180°?∠B＝180°?60°＝120°．∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC＝∠OAB＝∠BAC，∠OCD＝∠OCA＝∠ACB，在△OAC中，∠AOC＝180°?（∠OAC＋∠OCA）＝180°?（∠BAC＋∠ACB）＝180°?×120°＝120°；（2）∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝180°?∠AOC＝180°?120°＝60°，在AC上截取AF＝AE，連接OF，如圖，在△AOE和△AOF中，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴OE=OF，∴∠AOE＝∠AOF，∴∠AOF＝60°，∴∠COF＝∠AOC?∠AOF＝120°?60°＝60°，又∠COD＝60°，∴∠COD＝∠COF，在△COD和△COF中，，∴△COD≌△COF（ASA），∴OD＝OF，∴OE=OD；（3）∵△AOE≌△AOF，△COD≌△COF，∴AE＝AF，CF＝CD，又∵AF＝AE，∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD，即AE＋CD＝AC.24、（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．【詳解】（1）①∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BD，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）②1＜x＜4，理由如下：∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5，∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．由△ACE三邊關(guān)系得：，又∵AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．（2）延長(zhǎng)FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．∵D是BC邊上的中點(diǎn)，∴CD＝DB．在△CDF與△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG，∵DE⊥DF，∴．△EDF與△EDG中，，∴△EDF≌△EDG．∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．25、（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應(yīng)用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點(diǎn)．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．【詳解】（1）證明：∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC＝∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）證明：分別過點(diǎn)E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，∴EM＝AH，GN=AH，∴EM=GN，在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI（AAS）；∴EI=IG，即I是EG的中點(diǎn)；（3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，∴CE=BD，AE=CD，∵ED=CD-CE，∴ED=EA－BD；故答案為：ED=EA－BD②如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EQ⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=DE，由（1）得：△CDP≌△DEQ，∴DP=EQ，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∴AB∥CP，∴BC⊥CP，∵BC=3，∴AP=BC=3，∵AD=2，∴DP=AP-AD=1，∴EQ=1，∴△A