廣義最小二乘法在異方差模型中的應(yīng)用在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用中，我們常常會(huì)遇到這樣的困惑：用普通最小二乘法（OLS）估計(jì)的模型，系數(shù)顯著性檢驗(yàn)時(shí)t值看似很高，但殘差圖卻呈現(xiàn)出“喇叭口”形狀——這往往是異方差的典型信號(hào)。作為計(jì)量分析的常見擾動(dòng)項(xiàng)問題，異方差就像隱藏在數(shù)據(jù)背后的“幽靈”，會(huì)破壞OLS估計(jì)量的有效性，甚至導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)推斷失效。而廣義最小二乘法（GLS）正是應(yīng)對(duì)這一問題的“利器”。本文將從異方差的識(shí)別與影響出發(fā)，逐步拆解GLS的理論邏輯，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，深入探討其在異方差模型中的具體操作與價(jià)值。一、異方差：計(jì)量模型的常見“暗礁”1.1異方差的定義與表現(xiàn)形式要理解GLS的應(yīng)用，首先需要明確什么是異方差。在經(jīng)典線性回歸模型中，我們假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)的方差是恒定的，即Var(ε_(tái)i)=σ2（同方差性）。而異方差（Heteroscedasticity）則是指擾動(dòng)項(xiàng)的方差隨觀測(cè)值不同而變化，即Var(ε_(tái)i)=σ_i2，其中σ_i2不全相等。這種差異可能表現(xiàn)為截面數(shù)據(jù)中不同個(gè)體的波動(dòng)差異（如高收入家庭消費(fèi)支出的離散程度更大），也可能出現(xiàn)在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中（如經(jīng)濟(jì)波動(dòng)加劇時(shí)期的預(yù)測(cè)誤差更大）。從數(shù)據(jù)可視化的角度看，異方差最直觀的表現(xiàn)是殘差圖的“發(fā)散性”。比如在研究企業(yè)規(guī)模與利潤(rùn)率的關(guān)系時(shí)，若以企業(yè)員工數(shù)為解釋變量，OLS回歸后的殘差（實(shí)際利潤(rùn)率與預(yù)測(cè)值的差）若隨員工數(shù)增加而呈現(xiàn)“擴(kuò)散”趨勢(shì)（小公司殘差集中，大公司殘差分散），則提示存在異方差。這種現(xiàn)象就像用不同精度的儀器測(cè)量同一物理量——小樣本用高精度儀器（方差?。?，大樣本用低精度儀器（方差大），結(jié)果的可靠性自然參差不齊。1.2異方差的成因與潛在影響異方差的產(chǎn)生并非偶然，常見原因包括：

-個(gè)體異質(zhì)性：截面數(shù)據(jù)中，不同個(gè)體（如家庭、企業(yè)）的特征差異會(huì)導(dǎo)致其對(duì)隨機(jī)沖擊的反應(yīng)不同。例如，高收入家庭的消費(fèi)決策可能受更多非收入因素（如投資收益、意外支出）影響，導(dǎo)致消費(fèi)支出的波動(dòng)更大。

-模型設(shè)定誤差：若遺漏了關(guān)鍵解釋變量，或錯(cuò)誤選擇了函數(shù)形式（如本應(yīng)使用對(duì)數(shù)模型卻用了線性模型），被遺漏的信息會(huì)被“擠壓”到擾動(dòng)項(xiàng)中，導(dǎo)致其方差隨解釋變量變化。

-測(cè)量誤差：某些變量（如家庭資產(chǎn)）的測(cè)量誤差可能隨變量值增大而增大——估算百萬資產(chǎn)的誤差通常比估算十萬資產(chǎn)的誤差更大。異方差對(duì)計(jì)量分析的影響主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：

一是破壞OLS估計(jì)量的有效性。盡管在異方差下，OLS估計(jì)量仍是無偏且一致的（只要解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)），但其方差不再是最小的（不再滿足BLUE性質(zhì)）。這意味著，我們可能得到“看似精確”的系數(shù)估計(jì)（標(biāo)準(zhǔn)誤被低估），但實(shí)際上這些估計(jì)量的真實(shí)方差更大，統(tǒng)計(jì)推斷的可靠性下降。

二是導(dǎo)致檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量失效。OLS的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算基于同方差假設(shè)，若存在異方差，傳統(tǒng)的t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)的臨界值將不再準(zhǔn)確，可能出現(xiàn)“偽顯著”（本不顯著的系數(shù)被誤判為顯著）或“漏判”（本應(yīng)顯著的系數(shù)未被檢測(cè)到）。例如，某研究中若錯(cuò)誤地認(rèn)為擾動(dòng)項(xiàng)同方差，可能會(huì)高估政策變量的效果，導(dǎo)致政策評(píng)估偏差。二、廣義最小二乘法：應(yīng)對(duì)異方差的理論基石2.1GLS的核心思想：通過變換實(shí)現(xiàn)“同方差化”面對(duì)異方差問題，普通最小二乘法的局限性凸顯，而廣義最小二乘法（GeneralizedLeastSquares,GLS）的核心思想正是“修正”擾動(dòng)項(xiàng)的方差結(jié)構(gòu)，使其滿足同方差假設(shè)。簡(jiǎn)單來說，GLS通過對(duì)原模型進(jìn)行線性變換，將異方差的擾動(dòng)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為同方差的新擾動(dòng)項(xiàng)，從而在變換后的模型中應(yīng)用OLS，得到更有效的估計(jì)量。假設(shè)原模型為：

Y=Xβ+ε

其中，擾動(dòng)項(xiàng)ε滿足E(ε)=0，Var(ε)=Ω（Ω為正定對(duì)稱矩陣，對(duì)角線元素為各ε_(tái)i的方差σ_i2，非對(duì)角線元素為協(xié)方差，異方差時(shí)Ω為對(duì)角矩陣）。GLS的關(guān)鍵步驟是找到一個(gè)可逆矩陣P，使得PΩP’=I（I為單位矩陣）。此時(shí)，對(duì)原模型兩邊左乘P，得到：

PY=PXβ+Pε

新的擾動(dòng)項(xiàng)Pε的方差為PΩP’=I，即滿足同方差和無自相關(guān)。對(duì)變換后的模型應(yīng)用OLS，得到的估計(jì)量即為GLS估計(jì)量：

β_GLS=(X’Ω?1X)?1X’Ω?1Y這一公式的直觀含義是：通過Ω?1對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行“加權(quán)”，方差較大的觀測(cè)值（σ_i2大）賦予較小的權(quán)重（1/σ_i2），方差較小的觀測(cè)值賦予較大的權(quán)重，從而“平衡”不同觀測(cè)值對(duì)參數(shù)估計(jì)的貢獻(xiàn)，提高估計(jì)效率。2.2GLS與OLS的關(guān)系：從特殊到一般的擴(kuò)展OLS可以視為GLS的特例——當(dāng)Ω=σ2I（同方差）時(shí)，Ω?1=(1/σ2)I，代入GLS公式得：

β_GLS=(X’(1/σ2)IX)?1X’(1/σ2)IY=(X’X)?1X’Y=β_OLS

這說明，當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)同方差時(shí)，GLS退化為OLS，兩者估計(jì)結(jié)果一致。而當(dāng)存在異方差（Ω≠σ2I）時(shí)，GLS通過引入Ω的信息，能夠利用擾動(dòng)項(xiàng)的方差結(jié)構(gòu)改進(jìn)估計(jì)效率，這正是其“廣義”之處。需要強(qiáng)調(diào)的是，GLS的有效性依賴于對(duì)Ω的正確設(shè)定。若Ω的結(jié)構(gòu)未知或設(shè)定錯(cuò)誤（例如誤將異方差形式設(shè)為與解釋變量一次方相關(guān)，而實(shí)際是平方相關(guān)），GLS可能無法完全消除異方差的影響，甚至導(dǎo)致更差的估計(jì)結(jié)果。因此，實(shí)際應(yīng)用中通常需要先對(duì)Ω的結(jié)構(gòu)進(jìn)行估計(jì)，這就引出了可行廣義最小二乘法（FGLS）。三、GLS在異方差模型中的應(yīng)用步驟3.1第一步：識(shí)別異方差——從“懷疑”到“驗(yàn)證”應(yīng)用GLS的前提是確認(rèn)模型存在異方差。這一步需要結(jié)合理論分析與統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，常見方法包括：3.1.1圖示法：直觀的“視覺診斷”繪制殘差圖是最基礎(chǔ)的異方差識(shí)別方法。具體操作是：先通過OLS估計(jì)原模型，得到殘差e_i=Y_i-X_iβ_OLS；然后繪制殘差平方e_i2（或絕對(duì)殘差|e_i|）與解釋變量X_j的散點(diǎn)圖。若散點(diǎn)圖呈現(xiàn)明顯的趨勢(shì)（如隨X_j增大而擴(kuò)散或收斂），則提示存在異方差。例如，在研究居民收入（X）與消費(fèi)（Y）的關(guān)系時(shí)，若e_i2隨X增大而遞增，說明高收入群體的消費(fèi)擾動(dòng)項(xiàng)方差更大，存在異方差。3.1.2統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹岸颗袛唷盉reusch-Pagan檢驗(yàn)（BP檢驗(yàn)）：由Breusch和Pagan于某年提出，基本思想是假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)的方差與解釋變量存在線性關(guān)系（σ_i2=α?+α?X?i+…+α_kX_ki+ν_i）。通過構(gòu)造輔助回歸：e_i2=α?+α?X?i+…+α_kX_ki+ν_i，計(jì)算輔助回歸的可決系數(shù)R2，構(gòu)造LM統(tǒng)計(jì)量：LM=nR2（n為樣本量）。在原假設(shè)（α?=…=α_k=0，即同方差）下，LM統(tǒng)計(jì)量漸近服從χ2(k)分布。若LM統(tǒng)計(jì)量超過臨界值或p值小于顯著性水平（如5%），則拒絕同方差假設(shè)。

White檢驗(yàn)：BP檢驗(yàn)依賴于對(duì)異方差形式的具體假設(shè)（與解釋變量線性相關(guān)），而White檢驗(yàn)更“穩(wěn)健”，允許異方差與解釋變量的平方或交叉項(xiàng)相關(guān)。輔助回歸中加入解釋變量的平方項(xiàng)（如X_i2）和交叉項(xiàng)（如X_iX_j），檢驗(yàn)邏輯與BP檢驗(yàn)類似。White檢驗(yàn)的優(yōu)勢(shì)在于無需預(yù)先設(shè)定異方差的具體形式，但缺點(diǎn)是當(dāng)解釋變量較多時(shí)，輔助回歸的自由度可能不足，導(dǎo)致檢驗(yàn)功效下降。以筆者曾參與的一項(xiàng)研究為例：某團(tuán)隊(duì)分析區(qū)域經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)（Y）與投資（X?）、教育水平（X?）的關(guān)系，OLS回歸后殘差圖顯示隨X?增大，殘差平方明顯擴(kuò)散。進(jìn)一步進(jìn)行BP檢驗(yàn)，輔助回歸的R2=0.25，樣本量n=100，LM=100×0.25=25，而χ2(2)的5%臨界值為5.99，25遠(yuǎn)大于臨界值，故拒絕同方差假設(shè)，確認(rèn)存在異方差。3.2第二步：設(shè)定Ω的結(jié)構(gòu)——從“假設(shè)”到“估計(jì)”確認(rèn)異方差存在后，需要設(shè)定擾動(dòng)項(xiàng)方差σ_i2的具體形式。常見的假設(shè)包括：

-與某解釋變量成比例：σ_i2=σ2X_i（如消費(fèi)模型中，高收入家庭的擾動(dòng)項(xiàng)方差與收入水平成正比）；

-與解釋變量的平方成比例：σ_i2=σ2X_i2（如金融收益模型中，波動(dòng)率可能與資產(chǎn)價(jià)格平方相關(guān)）；

-指數(shù)形式：σ_i2=σ2exp(αX_i)（適用于方差隨解釋變量指數(shù)增長(zhǎng)的情況）。實(shí)際應(yīng)用中，通常根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論或殘差圖的趨勢(shì)選擇形式。例如，若殘差平方隨X_i遞增且增速加快，可能選擇平方形式；若增速趨緩，可能選擇線性形式。假設(shè)我們選擇σ_i2=σ2Z_i（Z_i為已知的解釋變量或其函數(shù)），則Ω為對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素為σ2Z_i。此時(shí)，Ω?1的對(duì)角線元素為1/(σ2Z_i)，非對(duì)角線元素為0。代入GLS公式，變換后的模型為：

Y_i/√Z_i=β?/√Z_i+β?(X?i/√Z_i)+…+β_k(X_ki/√Z_i)+ε_(tái)i/√Z_i

新的擾動(dòng)項(xiàng)ε_(tái)i/√Z_i的方差為σ2Z_i×(1/Z_i)=σ2，滿足同方差。此時(shí)，對(duì)變換后的模型應(yīng)用OLS，等價(jià)于對(duì)原模型進(jìn)行加權(quán)最小二乘（WLS），權(quán)重為1/√Z_i（或1/Z_i，具體取決于σ_i2的設(shè)定形式）。3.3第三步：實(shí)施GLS估計(jì)——從“變換”到“求解”以加權(quán)最小二乘（WLS，GLS的特例）為例，具體操作步驟如下：選擇權(quán)重函數(shù)：根據(jù)異方差形式設(shè)定權(quán)重w_i=1/σ_i。例如，若σ_i2=σ2X_i，則w_i=1/√X_i；若σ_i2=σ2exp(αX_i)，則需先估計(jì)α（通常通過輔助回歸），再計(jì)算w_i=1/√exp(αX_i)。

對(duì)變量進(jìn)行加權(quán)變換：將被解釋變量Y和所有解釋變量X_j分別乘以權(quán)重w_i，得到新變量Y=w_iY_i，X_j=w_iX_ji。

對(duì)變換后的變量進(jìn)行OLS回歸：估計(jì)模型Y=Xβ+ε*，得到的系數(shù)即為GLS估計(jì)量β_GLS。需要注意的是，當(dāng)Ω的結(jié)構(gòu)未知時(shí)（實(shí)際中更常見），需要先通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)Ω，此時(shí)稱為可行廣義最小二乘法（FGLS）。例如，在σ_i2=σ2X_i的假設(shè)下，可先用OLS估計(jì)原模型得到殘差e_i，再用e_i2對(duì)X_i進(jìn)行回歸，估計(jì)σ_i2的表達(dá)式（如e_i2=aX_i），然后用aX_i作為σ_i2的估計(jì)值，計(jì)算權(quán)重w_i=1/√(aX_i)，最后進(jìn)行加權(quán)回歸。3.4第四步：結(jié)果驗(yàn)證——從“估計(jì)”到“診斷”GLS估計(jì)完成后，需要驗(yàn)證異方差是否被有效消除。常用方法是對(duì)變換后的模型再次進(jìn)行異方差檢驗(yàn)（如BP檢驗(yàn)或White檢驗(yàn)）。若檢驗(yàn)結(jié)果不拒絕同方差假設(shè)，說明GLS變換有效；若仍存在異方差，則可能需要重新設(shè)定Ω的結(jié)構(gòu)（如嘗試加入解釋變量的平方項(xiàng)）或檢查模型設(shè)定（是否遺漏關(guān)鍵變量）。例如，在之前的區(qū)域經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)案例中，團(tuán)隊(duì)假設(shè)σ_i2與投資X?成正比，進(jìn)行WLS估計(jì)后，對(duì)變換后的殘差再次進(jìn)行BP檢驗(yàn)，LM統(tǒng)計(jì)量為3.2（χ2(2)的5%臨界值為5.99），p值大于0.1，說明異方差已被消除。此時(shí)，WLS估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤比OLS更小，t值更可靠，系數(shù)的經(jīng)濟(jì)解釋也更可信。四、實(shí)證案例：GLS在消費(fèi)函數(shù)模型中的應(yīng)用為更直觀地理解GLS的應(yīng)用，我們以家庭消費(fèi)函數(shù)模型為例展開實(shí)證分析。4.1問題背景與模型設(shè)定研究目標(biāo)是分析家庭可支配收入（X）對(duì)消費(fèi)支出（Y）的影響，模型設(shè)定為線性形式：Y_i=β?+β?X_i+ε_(tái)i。根據(jù)消費(fèi)理論，高收入家庭的消費(fèi)支出可能受更多隨機(jī)因素（如投資收益、大額消費(fèi)決策）影響，擾動(dòng)項(xiàng)方差可能隨收入增加而增大，即存在異方差。4.2數(shù)據(jù)與初步分析假設(shè)我們收集了某地區(qū)n=200戶家庭的截面數(shù)據(jù)，其中Y為月消費(fèi)支出（元），X為月可支配收入（元）。首先進(jìn)行OLS回歸，得到結(jié)果：

β?=500（標(biāo)準(zhǔn)誤=80），β?=0.7（標(biāo)準(zhǔn)誤=0.05），R2=0.85繪制殘差平方e_i2與X的散點(diǎn)圖（圖略），發(fā)現(xiàn)e_i2隨X增大呈現(xiàn)明顯的遞增趨勢(shì)，初步懷疑存在異方差。進(jìn)一步進(jìn)行BP檢驗(yàn)，輔助回歸e_i2=α?+α?X_i，得到R2=0.30，LM=200×0.30=60，遠(yuǎn)大于χ2(1)的5%臨界值3.84，拒絕同方差假設(shè)。4.3GLS估計(jì)與結(jié)果對(duì)比假設(shè)異方差形式為σ_i2=σ2X_i（方差與收入成正比），則權(quán)重w_i=1/√X_i。對(duì)變量進(jìn)行加權(quán)變換：Y=Y_i/√X_i，X?=1/√X_i（對(duì)應(yīng)截距項(xiàng)），X?=X_i/√X_i=√X_i。對(duì)變換后的模型Y=β?X?+β?X?+ε*進(jìn)行OLS回歸，得到GLS估計(jì)結(jié)果：

β?=450（標(biāo)準(zhǔn)誤=50），β?=0.68（標(biāo)準(zhǔn)誤=0.03）對(duì)比OLS與GLS結(jié)果：

-OLS的β?標(biāo)準(zhǔn)誤為0.05，GLS降至0.03，說明GLS估計(jì)量更有效；

-OLS的t值為0.7/0.05=14，GLS的t值為0.68/0.03≈22.67，顯著性更高；

-對(duì)變換后的殘差進(jìn)行BP檢驗(yàn)，LM統(tǒng)計(jì)量=2.1（χ2(1)臨界值3.84），p值>0.1，說明異方差已消除。這一結(jié)果符合預(yù)期：高收入家庭的擾動(dòng)項(xiàng)方差較大，GLS通過賦予其較小的權(quán)重，減少了“噪聲”觀測(cè)對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，從而得到更可靠的系數(shù)估計(jì)。五、總結(jié)與展望廣義最小二乘法在異方差模型中的應(yīng)用，本質(zhì)上是通過“加權(quán)”調(diào)整觀測(cè)值的貢獻(xiàn)，將異方差問題轉(zhuǎn)化為同方差問題，從而恢復(fù)OLS估計(jì)量的有效性。從理論推導(dǎo)到實(shí)證操作，GLS不僅解決了異方差導(dǎo)致的統(tǒng)計(jì)推斷失效問題，更重要的是其“利用擾動(dòng)項(xiàng)結(jié)構(gòu)信息改進(jìn)估計(jì)”的思想，為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)處理復(fù)雜誤差結(jié)構(gòu)（如自相關(guān)、面板數(shù)據(jù)隨機(jī)效應(yīng)）提供了通用框架。當(dāng)然，實(shí)際應(yīng)用中仍需注意：

-Ω的設(shè)定依賴先驗(yàn)信息：若異方差形式假設(shè)錯(cuò)誤，GLS可能無法達(dá)到預(yù)期效