高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與微分課件全集引言：導(dǎo)數(shù)與微分的核心地位導(dǎo)數(shù)與微分是高等數(shù)學(xué)的核心工具，貫穿微積分學(xué)的始終。導(dǎo)數(shù)刻畫了函數(shù)的瞬時變化率（如速度、加速度、邊際成本），微分則描述了函數(shù)增量的線性近似，二者在幾何分析、物理建模、工程優(yōu)化等領(lǐng)域具有不可替代的作用。本課件全集將從概念本質(zhì)到計(jì)算方法、實(shí)際應(yīng)用，系統(tǒng)梳理導(dǎo)數(shù)與微分的知識體系，助力讀者構(gòu)建嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)認(rèn)知。第一章導(dǎo)數(shù)的基本概念1.1導(dǎo)數(shù)的定義：從“平均變化率”到“瞬時變化率”函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)，源于對“變化率”的精細(xì)化研究：平均變化率：函數(shù)在區(qū)間\([x_0,x_0+\Deltax]\)上的平均變化率為\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)，幾何意義是割線的斜率。瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)定義）：當(dāng)\(\Deltax\to0\)時，若極限\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在，則稱函數(shù)在\(x_0\)處可導(dǎo)，該極限值記為\(f'(x_0)\)或\(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}\)。拓展：導(dǎo)函數(shù)\(f'(x)\)是“對任意\(x\)求導(dǎo)”的結(jié)果，即\(f'(x)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}\)，它反映了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化率規(guī)律。例題：求\(f(x)=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)。解：代入定義式，\(f'(1)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{(1+\Deltax)^2-1^2}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{2\Deltax+(\Deltax)^2}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}(2+\Deltax)=2\)。1.2導(dǎo)數(shù)的幾何與物理意義幾何意義：\(f'(x_0)\)是曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率，切線方程為\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)。物理意義：若\(y=s(t)\)表示位移關(guān)于時間的函數(shù)，則\(s'(t_0)\)是\(t_0\)時刻的瞬時速度；若\(y=v(t)\)表示速度關(guān)于時間的函數(shù)，則\(v'(t_0)\)是\(t_0\)時刻的加速度。1.3可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)必連續(xù)：若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\Deltay=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}\cdot\Deltax=f'(x_0)\cdot0=0\)，故\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)。連續(xù)不一定可導(dǎo)：反例\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)，但左導(dǎo)數(shù)\(\lim\limits_{\Deltax\to0^-}\frac{-\Deltax}{\Deltax}=-1\)，右導(dǎo)數(shù)\(\lim\limits_{\Deltax\to0^+}\frac{\Deltax}{\Deltax}=1\)，左右導(dǎo)數(shù)不相等，故不可導(dǎo)。第二章導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式牢記以下核心公式（推導(dǎo)可通過導(dǎo)數(shù)定義完成）：冪函數(shù)：\((x^\mu)'=\mux^{\mu-1}\)（如\((x^3)'=3x^2\)，\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)）指數(shù)函數(shù)：\((e^x)'=e^x\)，\((a^x)'=a^x\lna\)（\(a>0,a\neq1\)）對數(shù)函數(shù)：\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)，\((\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}\)三角函數(shù)：\((\sinx)'=\cosx\)，\((\cosx)'=-\sinx\)，\((\tanx)'=\sec^2x\)，\((\cotx)'=-\csc^2x\)2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)\(u(x),v(x)\)可導(dǎo)，則：和差法則：\((u\pmv)'=u'\pmv'\)積法則：\((uv)'=u'v+uv'\)（特別地，\((Cu)'=Cu'\)，\(C\)為常數(shù)）商法則：\(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)（\(v\neq0\)）例題：求\(y=x^2\sinx\)的導(dǎo)數(shù)。解：用積法則，\(u=x^2\)，\(v=\sinx\)，則\(u'=2x\)，\(v'=\cosx\)，故\(y'=2x\sinx+x^2\cosx\)。2.3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）若\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)\(y=f(g(x))\)的導(dǎo)數(shù)為：\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\]步驟：從外層函數(shù)到內(nèi)層函數(shù)，逐層求導(dǎo)后相乘。例題：求\(y=\sin(e^{2x})\)的導(dǎo)數(shù)。解：分解為\(y=\sinu\)（\(u=e^v\)，\(v=2x\)），則：\(\frac{dy}{du}=\cosu\)，\(\frac{du}{dv}=e^v\)，\(\frac{dv}{dx}=2\)，故\(\frac{dy}{dx}=\cosu\cdote^v\cdot2=2e^{2x}\cos(e^{2x})\)。2.4隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)：若方程\(F(x,y)=0\)確定\(y\)是\(x\)的函數(shù)，兩邊對\(x\)求導(dǎo)（注意\(y\)是\(x\)的函數(shù)，需用鏈?zhǔn)椒▌t）。例題：求\(x^2+y^2=1\)在\((0,1)\)處的切線斜率。解：兩邊對\(x\)求導(dǎo)，\(2x+2y\cdoty'=0\)，得\(y'=-\frac{x}{y}\)。代入\((0,1)\)，斜率為\(0\)，切線方程為\(y=1\)。參數(shù)方程求導(dǎo)：若\(x=\varphi(t)\)，\(y=\psi(t)\)均可導(dǎo)，且\(\varphi'(t)\neq0\)，則\(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)。例題：橢圓\(\begin{cases}x=a\cost\\y=b\sint\end{cases}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。解：\(\varphi'(t)=-a\sint\)，\(\psi'(t)=b\cost\)，故\(\frac{dy}{dx}=\frac{b\cost}{-a\sint}=-\frac{a}\cott\)。2.5對數(shù)求導(dǎo)法（冪指函數(shù)與復(fù)雜乘積的簡化）適用于\(y=u(x)^{v(x)}\)（冪指函數(shù)）或\(y=\prod\frac{u_i(x)}{v_i(x)}\)（多因子乘積），步驟為“取對數(shù)→隱函數(shù)求導(dǎo)”。例題：求\(y=x^x\)（\(x>0\)）的導(dǎo)數(shù)。解：取自然對數(shù)，\(\lny=x\lnx\)，兩邊對\(x\)求導(dǎo)：\(\frac{1}{y}\cdoty'=\lnx+x\cdot\frac{1}{x}=\lnx+1\)，故\(y'=x^x(\lnx+1)\)。第三章微分的概念與計(jì)算3.1微分的定義：函數(shù)增量的線性近似設(shè)\(y=f(x)\)在\(x\)處可導(dǎo)，若函數(shù)增量\(\Deltay=f(x+\Deltax)-f(x)\)可表示為\(\Deltay=A\cdot\Deltax+o(\Deltax)\)（\(\Deltax\to0\)時，\(o(\Deltax)\)是比\(\Deltax\)高階的無窮?。瑒t稱\(A\cdot\Deltax\)為函數(shù)在\(x\)處的微分，記為\(dy=A\cdot\Deltax\)。由導(dǎo)數(shù)定義，\(A=f'(x)\)，且\(\Deltax=dx\)（自變量的微分等于自變量的增量），因此微分公式為：\[dy=f'(x)dx\]幾何意義：\(dy\)是曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x,f(x))\)處切線的縱坐標(biāo)增量，當(dāng)\(\Deltax\)很小時，\(\Deltay\approxdy\)（線性近似）。3.2微分的運(yùn)算法則與形式不變性四則運(yùn)算法則：與導(dǎo)數(shù)法則對應(yīng)，如\(d(u\pmv)=du\pmdv\)，\(d(uv)=udv+vdu\)，\(d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}\)（\(v\neq0\)）。微分形式不變性：無論\(u\)是自變量還是中間變量（\(u=g(x)\)），微分公式\(dy=f'(u)du\)始終成立。例題：求\(y=\sin(2x+1)\)的微分\(dy\)。解：法一（先求導(dǎo)再乘\(dx\)）：\(y'=\cos(2x+1)\cdot2\)，故\(dy=2\cos(2x+1)dx\)。法二（微分形式不變性）：令\(u=2x+1\)，則\(dy=d(\sinu)=\cosu\cdotdu=\cos(2x+1)\cdotd(2x+1)=\cos(2x+1)\cdot2dx\)，結(jié)果一致。3.3微分的近似計(jì)算當(dāng)\(|\Deltax|\)很小時，\(f(x_0+\Deltax)\approxf(x_0)+f'(x_0)\Deltax\)（或\(f(x)\approxf(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)）。例題：計(jì)算\(\sqrt{4.02}\)的近似值。解：令\(f(x)=\sqrt{x}\)，\(x_0=4\)，\(\Deltax=0.02\)，則\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\(f(4)=2\)，\(f'(4)=\frac{1}{4}\)，故\(\sqrt{4.02}=f(4+0.02)\approxf(4)+f'(4)\cdot0.02=2+\frac{1}{4}\cdot0.02=2.005\)。第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1函數(shù)的單調(diào)性與極值單調(diào)性判定：若\(f'(x)>0\)（\(x\inI\)），則\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上單調(diào)遞增；若\(f'(x)<0\)，則單調(diào)遞減。極值判定：必要條件：若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)且取極值，則\(f'(x_0)=0\)（駐點(diǎn)）。第一充分條件：若\(x_0\)附近，\(f'(x)\)由正變負(fù)，則\(f(x_0)\)是極大值；由負(fù)變正，則是極小值。第二充分條件：若\(f'(x_0)=0\)且\(f''(x_0)\neq0\)，則\(f''(x_0)<0\)時\(f(x_0)\)為極大值，\(f''(x_0)>0\)時為極小值。例題：求\(f(x)=x^3-3x\)的極值。解：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，駐點(diǎn)為\(x=\pm1\)。\(x<-1\)時，\(f'(x)>0\)；\(-1<x<1\)時，\(f'(x)<0\)，故\(x=-1\)處取極大值\(f(-1)=2\)。\(-1<x<1\)時，\(f'(x)<0\)；\(