板塊七不等式大招一不等式的性質(zhì)與解法通關(guān)一、文字語言與數(shù)學(xué)符號之間的轉(zhuǎn)換文字語言數(shù)學(xué)符號文字語言數(shù)學(xué)符號大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤通關(guān)二、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)別名內(nèi)容注意性質(zhì)1對稱性a＞bb＜a;a＜bb＞a可逆性質(zhì)2傳遞性a＞b,b＞ca＞c;a＜b,b＜ca＜c同向性質(zhì)3可加性a＞ba＋c＞b＋c可逆性質(zhì)4可乘性a＞b,c＞0ac＞bc;a＞b,c＜0ac＜bcc的符號性質(zhì)3推論1稱項(xiàng)法則a＋b＞ca＞c－b可逆性質(zhì)3推論2同向可加性a＞b,c＞da＋c＞b＋d同向性質(zhì)4推論1同向同正可乘性a＞b＞0,c＞b＞0ac＞bd同向，同正性質(zhì)4推論2可乘方性同正性質(zhì)4推論3可開方性同正性質(zhì)4推論4倒數(shù)法則同號結(jié)論一、不等式的性質(zhì)1.加法法則(同向不等式可加性):a＞ba＋c＞b＋c(c∈R).2.乘法法則:若a＞b,則3.除法法則:若a＞b且c≠0,則例1：若實(shí)數(shù)a,b滿足a＞b,則下列不等式一定成立的是() A. B. C. D.【答案】D【解析】,因?yàn)閍＞b，a－b＞0，，所以.故選D.變式：當(dāng)a＞b＞c時(shí)，下列不等式恒成立的是(). A.ab＞ac B.a|c|＞b|c| C.|ab|＜|bc| D.(a－b)|c－b|＞0【答案】D【解析】A選項(xiàng),必須滿足a＞0,故不恒成立;B選項(xiàng),|c|＝0時(shí),結(jié)論不成立;C選項(xiàng),b＝0時(shí),結(jié)論顯然不成立;D選項(xiàng),因?yàn)閍＞b＞c,所以a－b＞0,又因?yàn)閨c－b|＞0,所以D選項(xiàng)正確.故選D.結(jié)論二、比較大小1.作差法:任意兩個(gè)代數(shù)式a，b可以作差a－b后比較a－b與0的關(guān)系,進(jìn)一步比較a與b的大小.①a－b＞0?a＞b;②a－b＜0?a＜b;③a－b＝0?a＝b.2.作商法:任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式a，b可以作商a÷b后比較與1的關(guān)系,進(jìn)一步比較a與b的大小.①;②;③.若代數(shù)式a，b都為負(fù)數(shù),也可以用作商法.3.中間量法:若兩個(gè)代數(shù)式a，b不容易直接判斷大小,可引入第三個(gè)量c分別與a，b作比較,若滿足a＞c且c＞b,則a＞b.第三個(gè)量就是中間量.這種方法就是中間量法,其實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性.一般選擇0或1為中間量.例2：若a＞b＞0,則下列不等式中一定成立的是(). A． B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閍＞b＞0，所以，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋疆?dāng)a＞b＞0，且ab＜1時(shí)，,此時(shí)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閍＞b＞0，所＝＝，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)閍＞b＞0，所以－＝＝＜0，，D選項(xiàng)正確.故選D.變式：設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足0＜a＜b,且a＋b＝1,則下列四數(shù)中最大的是(). A. B. C.2ab D.a【答案】B【解析】由已知有b＞＞a＞0,且＞2ab,排除C、D選項(xiàng).作差比較A、B選項(xiàng).由＝＝又ab＜,即ab＜,所以1－4ab＞0,所以＞故選B.結(jié)論三、一元二次不等式的圖象一元二次方程的根有兩個(gè)相異的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根沒有實(shí)數(shù)根的解集R的解集例3：不等式的解集為______________.【答案】【解析】不等式化為，解得.所以不等式的解集為.變式：不等式的解集為(). A. B.或 C.或 D.【答案】【解析】因?yàn)?所以,即,解得或,所以不等式的解集為或.故選B.結(jié)論四、分式不等式1.一般地,解分式不等式的基本思想是化分式不等式為整式不等式或整式不等式組,即（1）;（2）;（3)(4)2.穿根法步驟(1)將f(x)最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù);(2)將f(x)分解為若干個(gè)一次因式或二次不可分解的因式的積,然后求出f(x)＝0的解,并在數(shù)軸上標(biāo)出;(3)自數(shù)軸正方向起,用曲線從右至左、自上而下依次從各解穿過數(shù)軸,奇穿偶不穿;(4)記數(shù)軸上方為正,下方為負(fù),根據(jù)不等號寫出解集.例4：不等式的解集為(). A.{x|x＜－2或x＞3} B.{x|x＜–2或1＜x＜3} C.{x|－2＜x＜1或x＞3} D.{x|－2＜x＜1或1＜x＜3|【答案】C【解析】.利用數(shù)軸穿根法解得－2＜x＜1或x＞3.故選C.變式：不等式的解集是(). A. B. C. D.【答案】D【解析】,于是且x≠1.故選D.結(jié)論五、絕對值不等式1.|f(x)|＜a(a＞0)?－a＜f(x)＜a;2.|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＜－a或f(x)＞a;3.|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x);4.|f(x)|＞g(x)?f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x).例5：若不等式|x－a|＜1的解集為{x|1＜x＜3},則實(shí)數(shù)α的值為_______.【答案】2【解析】因?yàn)閨x－a|＜1,所以－1＜x－a＜1,所以a－1＜x＜a＋1,所以不等式|x–a|＜1的解集為{x|a－1＜x＜a＋1}.因?yàn)椴坏仁絴x－a|＜1的解集為{x|1＜x＜3},所以a－1＝1且a＋1＝3,解得a＝2.變式：若不等式|3x－b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3,則b的取值范圍為____________.【答案】(5,7)【解析】|3x－b|＜4,于是0解得5＜b＜7.故b的取值范圍為(5,7).大招二含參不等式解法1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在最小值和最大值,則不等式f(x)＞a在區(qū)間D上恒成立?＞a;不等式f(x)≥a在區(qū)間D上恒成立?≥a;不等式f(x)＜b在區(qū)間D上恒成立?＜b;不等式f(x)≤b在區(qū)間D上恒成立?≤b.2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上不存在最大(小)值,且值域?yàn)?m,n),則不等式f(x)＞a(或f(x)≥a)在區(qū)間D上恒成立?m≥a;不等式f(x)＜b(或f(x)≤b)在區(qū)間D上恒成立?n≤b.3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在最小值和最大值,則不等式a＜f(x)在區(qū)間D上有解?a＜﹔不等式a≤f(x)在區(qū)間D上有解?a≤不等式a＞f(x)在區(qū)間D上有解?a＞﹔不等式a≥f(x)在區(qū)間D上有解?a≥4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上不存在最大(小)值,且值域?yàn)?m,n),則不等式a＜f(x)(或a≤f(x))在區(qū)間D上有解?a＜n;不等式b＞f(x)(或b≥f(x))在區(qū)間D上有解?b＞m.結(jié)論一、利用二次函數(shù)的性質(zhì)對形如f(x)＞0或f(x)＜0在其定義域上的不等式恒成立問題,若f(x)滿足二次函數(shù)的一般結(jié)構(gòu),那不妨將題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在其定義域上的圖像在坐標(biāo)系中與x軸的高低比較.一般來講,對(或)在x∈R上恒成立問題,可以利用二次項(xiàng)系數(shù)及判別式進(jìn)行討論;對(或)在x∈D(D≠R)上恒成立問題,常用分離參數(shù)法.例1：若不等式的解集是R,則m的取值范圍是__________【答案】[1,9)【解析】要想應(yīng)用上面的結(jié)論,就得保證是二次的,這樣才有判別式,但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m,所以要討論m－1是否是0.(1)當(dāng)m－1＝0時(shí),原不等式化為2＞0恒成立,滿足題意;(2)當(dāng)m－1≠0時(shí),只需所以m∈[1,9).變式：已知,若x∈[–2,2],f(x)≥2恒成立，則a的取值范圍是_________________.【答案】【解析】本題可以考慮f(x－2＝g(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論,分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況,即Δ≤0或或，,即在[－2,2]上成立(1),所以(2)或所以綜上,結(jié)論二、分離變量若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量,其中一個(gè)變量的范圍已知,另一個(gè)變量的范圍為所求,且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號或不等號的兩邊,則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解.這類題型的基本解題思路如下:(1)將參數(shù)與變量分離,即化為g(a)≥f(x)(或g(a)≤f(x))恒成立的形式;(2)求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值;(3)解不等式g(a)≥(或g(a)≤),得a的取值范圍.例2：當(dāng)x∈[1,2]時(shí),不等式恒成立,則m的取值范圍是_________.【答案】(–∞,－5)【解析】當(dāng)x∈[1,2]時(shí),由得.令則易知f(x)在[1,2]上是增函數(shù),所以當(dāng)x∈[1,2]時(shí),＝f(1)＝－5,則m＜–5,即m∈(–∞,－5).變式：已知x∈(–∞,1]時(shí),不等式恒成立,則a的取值范圍是___________【答案】【解析】令,因?yàn)閤∈(–∞,1],所以t∈(0,2],所以原不等式可化為:.要使上式在t∈(0,2]上恒成立,只須求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可.因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以所以,所以,結(jié)論三、變換主元在不等式的恒成立問題中，有一類題型是題中的參數(shù)如a，m，k等的范圍是已知的，而問題要求的反而是變量x的范圍。這類題型中，由于已知范圍的變量是以前我們所接觸的參數(shù)，因而題中的函數(shù)結(jié)構(gòu)也就發(fā)生了改變，此時(shí)函數(shù)是以參數(shù)為自變量的函數(shù)。一般來說，我們在觀察這類恒成立問題時(shí)，哪個(gè)變量的范圍是已知的，哪個(gè)就是該函數(shù)的自變量。例3：若|a|≤2,不等式恒成立,則x的取值范圍是__________.【答案】x＜–1或x＞3【解析】原不等式轉(zhuǎn)化為在|a|≤2時(shí)恒成立,設(shè),則f(a)在|a|≤2上恒大于0,故有即解得，所以x＜－1或x＞3.變式：若不等式對于a∈(－∞,3]恒成立,則x的取值范圍是_______________.【答案】(－∞,0)∪(1,＋∞)【解析】注意到對于α∈(－∞,3]恒成立是關(guān)于a的一次不等式.不妨設(shè),則f(a)在a∈(–∞,3]上單調(diào)遞減,則問題等價(jià)于f(3)＞0,所以?或,則x的取值范圍是x∈(－∞,0)∪(1,＋∞).結(jié)論四、恒成立問題1.對任意的x∈D,都有f(x)＞m,則＞m;2.對任意的x∈D,都有f(x)＜m,則＜m.例4：若對任意x＞0,都有,則a的取值范圍是___________.【答案】【解析】原題等價(jià)于則為減函數(shù),于是.故.變式已知函數(shù),若對任意,都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________________【答案】【解析】對任意的,都有,轉(zhuǎn)化為恒成立,題意等價(jià)于,令,且在上為減函數(shù),所以.故.結(jié)論五、能成立問題1.若存在,使得,則;2.若存在,使得,則.例5存在實(shí)數(shù),使得不等式有解,則的取值范圍為________________【答案】【解析】變量分離得,只需當(dāng)時(shí),.因?yàn)?所以,即.變式已知函數(shù),若定義域不為空集,則的取值范圍為________________【答案】【解析】的定義域非空,相當(dāng)于存在實(shí)數(shù),使成立,的最大值大于0成立,,解得或,即.結(jié)論六、恰成立問題1.若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價(jià)于不等式的解集為;2.若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價(jià)于不等式的解集為.例6不等式的解集為,則________________【答案】6【解析】由題意知的兩根分別為,根據(jù)韋達(dá)定理可得.所以.變式已知函數(shù),若的解集為,則________________【答案】-5【解析】因?yàn)榈慕饧癁?所以的解集為,所以等價(jià)于方程的兩個(gè)根為2和3,由韋達(dá)定理可得.結(jié)論七、“任意=存在”型對任意的,存在,使得,則的值域是值域的子集,即.例7函數(shù),對于任意的,均存在,使得成立,則的取值范圍是________________【答案】【解析】設(shè)在區(qū)間上的值域?yàn)樵趨^(qū)間上的值域?yàn)?本題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的值域之間的關(guān)系,即需滿足,即.所以且,解得.故.變式已知,對任意的,存在,使得,則的取值范圍是________________【答案】【解析】由可得的值域?yàn)?3],的值域是,又對任意的,存在,使得,則的值域包含的值域,即,則,解得.故.結(jié)論八、“存在=存在”型若存在,存在,使得,則的值域與的值域有非空交集,即.例8已知函數(shù),若有,則的取值范圍為________________【答案】【解析】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?又有,即,即,解得,即.變式已知函數(shù)存在,使得成立,則的取值范圍為_____________【答案】【解析】存在,使得成立,則的值域相交非空,的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?則或,解得.大招三基本不等式通關(guān)一、均值不等式的使用條件1.一正:函數(shù)式中的各項(xiàng)必須都是正數(shù),在異號時(shí)不能運(yùn)用均值不等式,在同負(fù)時(shí)可以先進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再運(yùn)用均值不等式;實(shí)際過程中,兩項(xiàng)全是負(fù)的其實(shí)也可以用均值,提出一個(gè)負(fù)號即可.所以說“一正”這個(gè)條件可以擴(kuò)展為“同號”。2.二定:函數(shù)式中含變量的各項(xiàng)的和或積或平方和必須是定值;特殊情況下,至少要求各項(xiàng)的和、積、平方和是一個(gè)可化簡的定式。3.三相等:只有具備了不等式中等號成立的條件,才能使函數(shù)式取到最大或最值,否則不能由均值不等式求最值,只能用函數(shù)的單調(diào)性求最值。通關(guān)二、已知,則其中稱為平方平均數(shù),稱為算術(shù)平均數(shù),稱為幾何平均數(shù),稱為調(diào)和平均數(shù).【證明】因?yàn)?所以.因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號成立.因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)“"時(shí)等號成立.因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)“"時(shí)等號成立.因?yàn)樗?當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí),等號成立.結(jié)論一、常見基本不等式1.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.2.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.3.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.4.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.5.同號,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.例1,給出下列推導(dǎo),其中正確的有_______________(1)的最小值為;(2)的最小值為4;(3)的最小值為.【答案】(1)(2)【解析】(1)因?yàn)?所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.(2)因?yàn)?所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.(3)因?yàn)?所以(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號因?yàn)?與矛盾,所以上式不能取等號,即.變式（2020山東卷11）已知且，則（）. A. B. C. D.【答案】ABD【解析】選項(xiàng):,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,故選項(xiàng)正確;選項(xiàng):,所以,故選項(xiàng)正確;選項(xiàng):,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,故選項(xiàng)不正確選項(xiàng):因?yàn)?,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,故選項(xiàng)正確.故選.結(jié)論二、和定積最大，積定和最小1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a,b∈R，且若a+b=M，M為定值,則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；2.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a,b∈R，且ab=P，P為定值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.例2已知.(1)若,求的最小值;(2)若，求ab的最大值.【答案】(1)4(2)4【解析】（1）解法一因?yàn)榍?所以，即a+b≥4(當(dāng)時(shí)取等號),所以的最小值為解法二因?yàn)榍?所以,即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以的最小值為(2)解法一因?yàn)?所以,即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號),所以的最大值為解法二因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以的最大值為解法三因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以的最大值為4.變式已知,則的最大值為【答案】16【解析】解法一因?yàn)?所以(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號成立),故當(dāng)時(shí),的最大值為16.解法二因?yàn)?即,可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立),故當(dāng)時(shí),的最大值為16.結(jié)論三、已知,求的范圍把整體代換,展開得:例3已知實(shí)數(shù)滿足，且,則的最小值為______________ A.24 B.16 C.18 D.12【答案】【解析】,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立.故選A.變式設(shè),若是與的等比中項(xiàng),則的最小值為() A. B.4 C.1 D.