第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年北京161中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.2.下列曲線中，能表示y是x的函數(shù)的是（）A. B.

C. D.3.用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0，配方正確的是（）A.（x-1）2= B.（x-2）2=3 C.（x-1）2=0 D.（x-2）2=44.長沙市某一周內(nèi)每日最高氣溫情況如圖所示，下列說法中，錯誤的是（）

???????

A.這周最高氣溫是32℃ B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是30

C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是24 D.周四與周五的最高氣溫相差8℃5.若一次函數(shù)y=（2m-1）x+5的圖象經(jīng)過點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當(dāng)x1＜x2時，y1＞y2，則m的取值范圍是（）A.m＜0 B.m＞0 C. D.6.如圖，在正方形ABCD中，E是對角線BD上一點，AE的延長線交CD于點F，連接CE，若∠BAE=53°，則∠CEF的度數(shù)為（）A.13°

B.14°

C.15°

D.16°7.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA=4，OH=2，則菱形ABCD的面積為（）A.8 B.16 C.24 D.328.如圖，在正方形ABCD中，P為邊BC上一點（點P不與點B，C重合），AH⊥DP于G，并交CD于點H，CF⊥AH交AH延長線于點F.給出下面三個結(jié)論：

①PC+AD=AH；

②；

③.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.僅有②

B.僅有③

C.②③

D.①②③二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是

．10.關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根為0，則m=______．11.如圖，△ABC中，BC=5，AC=3，CE平分∠ACD，AD⊥CE于E交BC于D，F(xiàn)為AB的中點，則EF=______.

12.已知關(guān)于x的方程x2+2x+k-1=0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值是______.13.10名同學(xué)分成甲、乙兩隊進行籃球比賽，他們的身高（單位：cm）如下表所示：隊員1隊員2隊員3隊員4隊員5甲隊177176175172175乙隊170175173174183則兩隊隊員身高的平均數(shù)______（填＞、＜或=），身高的方差______（填＞、＜或=）.14.如圖，在等腰△ABC中，∠A=120°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△CDE，當(dāng)點A的對應(yīng)點D落在BC上時，連接BE，則∠BED的度數(shù)是______.

15.如圖，正比例函數(shù)y1=ax與一次函數(shù)的圖象交于點P.下面四個結(jié)論：

①a＞0，b＜0；

②不等式的解集是x＞-2；

③當(dāng)x＞0時，y1y2＜0；

④b+2a=1.

其中正確的是

.

16.某酒店在客人退房后清潔客房需打掃衛(wèi)生、整理床鋪、更換客用物品、檢查設(shè)備共四個步驟.某清潔小組有甲、乙、丙三名工作人員，工作要求如下：

①“打掃衛(wèi)生”只能由甲完成；每間客房“打掃衛(wèi)生”完成后，才能進行該客房的其他三個步驟，這三個步驟可由任意工作人員完成并可同時進行；

②一個步驟只能由一名工作人員完成，此步驟完成后該工作人員才能進行其他步驟；

③每個步驟所需時間如表所示：步驟打掃衛(wèi)生整理床鋪更換客用物品檢查設(shè)備所需時間/分鐘9764在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨完成一間客房的清潔工作，需要______分鐘；若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要______分鐘.三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)

解方程：

（1）x2-6x+1=0；

（2）（x-2）2=3（x-2）.18.(本小題5分)

下面是曉涵設(shè)計的“作已知三角形的中線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：△ABC.

求作：△ABC的中線AD.

作法：①如圖，以點B為圓心，AC長為半徑作?。灰渣cC為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧交于BC下方的點E；

②連接AE，與BC交于點D.

則線段AD即為所求中線.

根據(jù)曉涵設(shè)計的尺規(guī)作圖過程完成下列問題：

（1）使用直尺和圓規(guī)作圖，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明過程.

證明：連接BE，CE，

∵BE=AC，CE=AB，

∴四邊形ABEC是______形（______）（填推理依據(jù)），

∴D為BC中點（______）（填推理依據(jù)），

∴AD為△ABC的中線.19.(本小題5分)

平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)圖象與x軸交點A的橫坐標(biāo)為-1，與y軸交點B的縱坐標(biāo)為2.

（1）畫出函數(shù)圖象并求此一次函數(shù)的表達式；

（2）線段AB的長為______；坐標(biāo)原點O到直線AB的距離為______.20.(本小題5分)

已知關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+（m-4）x-3=0（m為實數(shù)且m≠1）．

（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

（2）如果此方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．21.(本小題5分)

如圖，在△ABC中，AB=BC，D，E分別是AB，AC的中點，AF∥DE，EF∥AD.

（1）求證：四邊形ADEF是菱形；

（2）連接CF，若AB=10，AC=12，求CF的長.22.(本小題5分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與y=-kx+3的圖象交于點（2，1）.

（1）求k,b的值；

（2）若函數(shù)y=mx（m≠0）與函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象的交點位于直線x=2的左側(cè)，直接寫出m的取值范圍.23.(本小題5分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A（3，0）、B（0，3）.

（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)的圖象；

（2）求該一次函數(shù)的解析式；

（3）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.

①△OAB內(nèi)（不含邊界）的整點個數(shù)為______個；

②將直線AB向上平移m個單位長度，平移后的直線與x軸、y軸分別交于點M和點N，當(dāng)△OMN內(nèi)（不含邊界）有6個整點時，m的取值范圍是______.

?24.(本小題5分)

為增強居民的反詐騙意識，A，B兩個小區(qū)的居委會組織小區(qū)居民進行了有關(guān)反詐騙知識的有獎問答活動.現(xiàn)從A，B小區(qū)參加這次有獎問答活動居民的成績中各隨機抽取20個數(shù)據(jù)，分別對這20個數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.

a.A小區(qū)參加有獎問答活動的20名居民成績的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

b.A小區(qū)參加有獎問答活動的20名居民成績的數(shù)據(jù)在80≤x＜90這一組的是：

84858586868889

c.B小區(qū)參加有獎問答活動的20名居民成績的數(shù)據(jù)如表：分?jǐn)?shù)738182858891929496100人數(shù)1323131411根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）補全a中頻數(shù)分布直方圖；

（2）A小區(qū)參加有獎問答活動的20名居民成績的數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______；B小區(qū)參加有獎問答活動的20名居民成績的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______；

（3）為鼓勵居民繼續(xù)關(guān)注反詐騙宣傳，對在這次有獎問答活動中成績大于或等于90分的居民頒發(fā)小獎品.已知A，B兩個小區(qū)各有2000名居民參加這次活動，估計這兩個小區(qū)的居委會一共需要準(zhǔn)備多少份小獎品.25.(本小題5分)

學(xué)?？萍紕?chuàng)新小組有兩個加工同種實驗液體的裝置，分別為1號裝置、2號裝置.當(dāng)1號裝置、2號裝置的加工時間都為xh時，分別記錄了1號裝置中加工的實驗液體的體積y1（單位：dm3）和2號裝置中加工的實驗液體的體積y2（單位：dm3），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x/h02345678910y1/dm302.4a4.86.07.28.49.610.812.0y2/dm300.20.61.12.03.24.76.68.911.6（1）寫出表中a的值；（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫y1與x,y2與x之間的關(guān)系，在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決問題：

若兩個裝置同時開始加工，當(dāng)1號裝置與2號裝置加工的實驗液體的體積相差最大時，1號裝置停止加工.

①此時的加工時間為______h；（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

②2號裝置再加工______h,與1號裝置加工的實驗液體的體積相等.（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）26.(本小題6分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=x-a-3的圖象與函數(shù)y=-x+a-3的圖象交于點A，兩個函數(shù)圖象在點A上方的部分及點A組成圖形G.

（1）當(dāng)a=2時，求點A的坐標(biāo)；

（2）已知M（x1，y1）和N（3，y2）是圖形G上的兩點.若對于x1=a-1，都有y1＜y2，求a的取值范圍.27.(本小題7分)

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，P為線段BC上的動點（不與點C重合），將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AQ.

（1）如圖1，當(dāng)P是BC中點時，連接BQ，求證：BP=BQ；

（2）過點Q作直線QM∥AC，交直線BC于點M，在射線MB上取一點N，使得MN=2CP，連接QN.請補全圖2，直接寫出∠MQN的大小并證明.28.(本小題7分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x1，y1），給出如下定義：當(dāng)點Q（x2，y2）滿足x1?x2=y1?y2時，稱點Q是點P的等積點．已知點P（1，4）．

（1）在Q1（2，1），Q2（-4，-1），Q3（8，2）中，點P的等積點是______．

（2）點Q是P點的等積點，點C在x軸上，以O(shè)，P，Q，C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐標(biāo)．

（3）已知點和點M（4，m），點N是以點M為中心，邊長為2且各邊與坐標(biāo)軸平行的正方形T上的任意一點，對于線段BN上的每一點A，在線段PB上都存在一個點R使得A為R的等積點，直接寫出m的取值范圍．

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】x≥2

10.【答案】-1

11.【答案】1

12.【答案】2

13.【答案】=

＜

14.【答案】45°

15.【答案】③④

16.【答案】26

16

17.【答案】解：（1）x2-6x+1=0，

x2-6x=-1，

x2-6x+9=-1+9，

（x-3）2=8，

則x-3=，

所以．

（2）（x-2）2=3（x-2），

（x-2）2-3（x-2）=0，

（x-2）（x-2-3）=0，

（x-2）（x-5）=0，

則x-2=0或x-5=0，

所以x1=2，x2=5．

18.【答案】見解析；

平行四邊；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形的對角線互相平分．

19.【答案】y=2x+2，圖見解析；

；．

20.【答案】（1）證明：依題意，得=（m-4）2-4（m-1）×（-3）

=m2-8m+16+12m-12

=m2+4m+4

=（m+2）2．

∵（m+2）2≥0，

∴方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：a=m-1，b=m-4，c=-3，

???????，

∴x1=-1，，

∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且m是正整數(shù)，

∴m-1=1或m-1=3，

∴m=2或m=4．

21.【答案】（1）證明：∵AF∥DE，EF∥AD，

∴四邊形ADEF是平行四邊形，

∵D，E分別是AB，AC的中點，

∴AD=AB，DE是△ABC的中位線，

∴DE=BC，

∵AB=BC，

∴AD=DE，

∴四邊形ADEF是菱形；

（2）解：連接DF交AE于O，

∵四邊形ADEF是菱形，

∴AE⊥DF，AO=，OD=，

∵D，E分別是AB，AC的中點，AB=10，AC=12，

∴AD=5，AE=6，

∴AO=3，

∴DO==4，

∴OF=DO=4，OC=AC-AO=12-3=9，

∴CF===．

故答案為：．

22.【答案】k=1，b=1；

或m＜0．

23.【答案】（1）如圖：

；

（2）把A（3，0）、B（0，3）代入y=kx+b得，

，

∴，

∴一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+3；

（3）①1；

②m=2.???????

24.【答案】解：（1）

補全a中頻數(shù)分布直方圖如下：

（2）88.5；94；

（3）（份），

答：估計這兩個小區(qū)的居委會大約一共需要準(zhǔn)備1900份小獎品．

25.【答案】a=3.6；

圖象見解答部分；

①5.5（答案不唯一）；

②2.5（答案不唯一）．

26.【答案】A（2，-3）；

a＜2或a＞4．

27.【答案】（1）證明：在△ABC中，∠BAC=α，P為線段BC上的動點（不與點C重合），將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AQ，

∴AP=AQ，∠QAP=α=∠BAC，

∵AB=AC，點P是BC中點，

∴∠BAP=∠BAC=∠QAP，

∴∠BAP=∠BAQ，

∵AB=AB，

∴△BAP≌△BAQ（SAS），

∴BP=BQ；

（2）解：作圖如圖2：

；

∠MQN=90°；理由如下：

連接BQ，作QB=QD，交CN于點D，

∵AP=AQ，∠QAP