6.2.2向量的減法運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量減法運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則,并理解其幾何意義.2.會(huì)作出兩個(gè)向量的差.◆知識(shí)點(diǎn)一相反向量定義與向量a長(zhǎng)度,方向的向量,叫作a的相反向量,記作-a

性質(zhì)-(-a)=

零向量的相反向量仍是零向量a+(-a)=(-a)+a=

如果a,b互為相反向量,那么a=,b=,a+b=

【診斷分析】判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)相反向量就是方向相反的向量. ()(2)向量AB與BA互為相反向量. ()(3)-AB=BA,-(-a)=a. ()◆知識(shí)點(diǎn)二向量減法及其幾何意義1.向量減法的定義向量a加上b的,叫作a與b的差,即a-b=.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫作向量的.

2.向量減法的幾何意義如圖所示,已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,則OA-OB==a-b,即a-b可以表示為從指向的向量.

3.|a-b|與|a|,|b|之間的關(guān)系(1)對(duì)于任意向量a,b,都有≤|a-b|≤;

(2)當(dāng)a,b共線且同向時(shí),有|a-b|=或;

(3)當(dāng)a,b共線且反向時(shí),有|a-b|=.

【診斷分析】1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量. ()(2)向量a和向量b的差與向量b和向量a的差互為相反向量. ()2.如圖所示,在四邊形ABCD中,設(shè)AB=a,AD=b,BC=c,則向量DC可用a,b,c表示為.

◆探究點(diǎn)一向量的減法及其幾何意義例1如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c.變式如圖所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.[素養(yǎng)小結(jié)]求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行,如a-b,可以先作a,-b,然后作a+(-b)即可.(2)也可以直接用向量減法的幾何意義,即使兩向量的起點(diǎn)重合,則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn),指向被減向量的終點(diǎn)的向量.◆探究點(diǎn)二向量加減法的基本運(yùn)算例2(1)下列不能化簡(jiǎn)為PQ的是 ()A.QC-QP+CQB.AB+(PA+BQ)C.(AB+PC)+(BA-QC)D.PA+AB-BQ(2)化簡(jiǎn):①(AB-CD)-(AC-BD);②(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB).變式化簡(jiǎn):(1)MN-MP+NQ-PQ=;

(2)BD+DC+AB-AC=;

(3)MB-BA+BO+OM=.

[素養(yǎng)小結(jié)](1)向量減法運(yùn)算的常用方法(2)向量加減法化簡(jiǎn)的兩種形式①首尾相連且為和;②起點(diǎn)相同且為差.做題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式,同時(shí)要注意逆向應(yīng)用.◆探究點(diǎn)三向量減法及其幾何意義的應(yīng)用例3如圖所示,在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB和BC的中點(diǎn),G為AC與BD的交點(diǎn).(1)若|AB|=|AB+BC+CD|,則四邊形ABCD是什么特殊的平行四邊形?說明理由.(2)化簡(jiǎn)AD-GC-EB,并在圖中作出表示該化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.變式(1)已知平面內(nèi)的四邊形ABCD和點(diǎn)O,設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,若a+c=b+d,試判斷四邊形ABCD的形狀.(2)已知非零向量a,b滿足|a|=7+1,|b|=7-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值.[素養(yǎng)小結(jié)]向量減法的幾何意義:兩向量相減,表示兩向量起點(diǎn)的字母必須相同,這樣兩向量的差向量以減向量的終點(diǎn)字母為起點(diǎn)字母,以被減向