6.2.3向量的數(shù)乘運算【課前預習】知識點一1.向量向量的數(shù)乘λa(1)|λ||a|(2)相同相反0任意2.(1)(λμ)a(2)λa+μa(3)λa+λb3.(1)加、減、數(shù)乘(2)λμ1a±λμ2b診斷分析1.(1)×(2)×(3)×2.2b-a[解析]原式=112(4a+16b-16a+8b)=112(-12a+24b)=知識點二存在唯一b=λa診斷分析1.(1)×(2)√2.解:若a=b=0,則實數(shù)λ可以是任意實數(shù);若a=0,b≠0,則不存在實數(shù)λ,使得b=λa.為了保證λ的唯一性,所以定理中規(guī)定a≠0.【課中探究】探究點一例1(1)ABC[解析]∵2>0,∴2a與a的方向相同,又|2a|=2|a|,∴A正確;∵5>0,∴5a與a的方向相同,∵-2<0,∴-2a與a的方向相反,∴5a與-2a的方向相反,又|5a|=5|a|,|-2a|=2|a|,∴-2a的模是5a的模的25,∴B正確;由相反向量的定義可知C正確,D不正確.故選ABC(2)解:如圖a,因為點C在線段AB的延長線上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.①如圖b,向量AB與BC的方向相同,所以AB=2BC.②如圖c,向量AC與CB的方向相反,所以AC=-3CB.探究點二例2(1)①-2a-24b②0③53a-1118b[解析]①4(a-3b)+6(-2b-a)=4a-12b-12b-6a=-2a-②原式=25a-25b-23a-43b+41525-23+4③23(4a-3b)+1(2)解:由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.變式(1)-a-c(2)3a+2b4a+3b[解析](1)(5a-4b+c)-2(3a-2b+c)=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.(2)由題知3x-2y=a①,-4x+3y=b②,由①×3+②×2,得x=3a+2b,代入①得3(3a+2b)-2y=a,所以y=4a+3b.探究點三例3解:(1)∵CA=3a,CB=2b,∴AB=CB-CA=2b-3a,又D,E為邊AB上的三等分點,∴AD=13AB,AE=23AB,故CD=CA+AD=CA+13AB=3a+23b-a=2a+23b,CE=CA+AE=CA+23AB(2)∵點O是AC與BD的交點,點G是DO的中點,∴BG=34BD=34(AD∴AG=AB+BG=AB+34(AD-AB)=14AB∴AG=14a+3變式C[解析]因為BC=AC-AB=b-a,BD=2DC,所以BD=23BC=23(b-a),則AD=AB+BD=a+23(b-a)=23b+13a,又因為AE=4ED,所以DE=15DA=-1523b+13a=-215b-115a,所以BE=BD+DE=23探究點四例4解:(1)若AB,CD的方向相反,則存在負數(shù)λ使得AB=λCD,所以ke1-4e2=λ(-e1+ke2)=-λe1+kλe2,所以k=-λ,-4=kλ故k的值為2.(2)由A,C,D三點共線,得存在μ∈R,使得AD=μCD,因為AD=AB+BC+CD=(ke1-4e2)-(e1+2e2)+(-e1+ke2)=(k-2)e1+(k-6)e2,所以(k-2)e1+(k-6)e2=μ(-e1+ke2)=-μe1+kμe2,所以k-2=-μ故k的值為-2或3.變式(1)A(2)A[解析](1)由題意可得,BD=BC+CD=2a+8b=2AB,所以向量BD與AB共線,又BD與AB有公共點B,所以A,B,D三點一定共線.故選A.(2)因為A,B,P三點共線,所以向量AB與AP共線,所以存在實數(shù)λ,使AP=λAB,即OP-OA=λ(OB-OA),所以O(shè)P=(1-λ)OA+λOB,故x=1-λ,y=λ,即x+y=1.拓展證明:因為BP=13BC,所以AP-AB=13AC-13AB,即又因為O