7.3*復(fù)數(shù)的三角表示7.3.1復(fù)數(shù)的三角表示式7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義【課前預(yù)習(xí)】知識點一1.模輻角三角形式代數(shù)形式2.0≤θ<2πargz3.輻角的主值知識點二1.(1)r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)](2)r1r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-2.逆θ2|θ2|r2順θ2|θ2|1診斷分析(1)×(2)√(3)√(4)√【課中探究】探究點一例1(1)D(2)B(3)190°[解析](1)復(fù)數(shù)的三角形式為z=r(cosθ+isinθ),其滿足的條件為:①r≥0;②加號連接;③cosθ在前,sinθ在后;④θ前后一致,可取任意值.A不滿足②,故A不正確;B不滿足③,故B不正確;C不滿足①,故C不正確.故選D.(2)由輻角的主值的定義,知復(fù)數(shù)z=cosπ4+isinπ4的輻角的主值是π4.(3)因為復(fù)數(shù)z=-sin100°+icos100°=cos190°+isin190°,所以復(fù)數(shù)z的輻角的主值是190°.探究點二例2解:(1)復(fù)數(shù)1+i所對應(yīng)的向量如圖①所示,則r=12+12=2,cosθ=22.因為與復(fù)數(shù)1+i對應(yīng)的點在第一象限,所以arg(1+i)=π①(2)復(fù)數(shù)-12+32i所對應(yīng)的向量如圖②所示,則r=-122+322=1,cosθ=-12.因為與復(fù)數(shù)-12+32i對應(yīng)的點在第二象限,所以arg-12②例3解:(1)復(fù)數(shù)cosπ2+isinπ2的模r=1,一個輻角θ=π2,對應(yīng)的向量如圖①所示,cosπ2①(2)復(fù)數(shù)2cosπ6+isinπ6的模r=2,一個輻角θ=π6,對應(yīng)的向量如圖②所示,2cosπ6+isinπ6=2cosπ②變式(1)A(2)B[解析](1)復(fù)數(shù)32+12i的模為1,一個輻角為π6,所以復(fù)數(shù)32+12i的三角形式為cosπ6(2)z=4cos3π4+isin3π4=4×-22+4×2探究點三例4解:(1)原式=6cosπ12+π4+isinπ12+(2)原式=84cos7π6-π3+isin變式(1)3i(2)43+4i(3)52+5[解析](1)12(cos60°-isin240°)×6(cos30°-isin210°)=12(cos60°+isin60°)×6(cos30°+isin30°)=3[cos(60°+30°)+isin(60°+30°)]=3(cos90°+isin(2)原式=2cos4π3+isin4π3×4cos5π6+isin(3)原式=10cos2π3+isin2π3÷2cosπ3+isinπ3=探究點四例5解:連接OC,OB,要求點C對應(yīng)的復(fù)數(shù),即求向量OC對應(yīng)的復(fù)數(shù),結(jié)合圖形知OC=OB+BC,故可以先求向量BC對應(yīng)的復(fù)數(shù).向量BC可以看作由向量BA的長度擴大為原來的3倍,并繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的,因為向量BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(-1+2i)-(1+i)=-2+i,所以向量BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(-2+i)×3×[cos(-90°)+isin(-90°)]=3+23i,于是點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3+23i)+(1+i)=(3+1)+(23+1)i.同理可得點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-1)+(23+2)i.例6解:由題意知向量P1P2對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z2-z由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得,向量