中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)性質(zhì)考前復(fù)習(xí)提綱一、函數(shù)的概念與表示函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，理解函數(shù)的概念是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)。1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x稱為自變量，x的取值范圍A稱為函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值稱為函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}稱為函數(shù)的值域。*三要素：定義域、對應(yīng)法則、值域。三者缺一不可，判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，需同時(shí)滿足這三個(gè)要素完全相同。*核心：“任意”x∈A，“唯一”y∈B與之對應(yīng)。2.函數(shù)的表示方法：*解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點(diǎn)是精確、便于運(yùn)算和分析性質(zhì)。*列表法：通過列出自變量與對應(yīng)函數(shù)值的表格來表示函數(shù)關(guān)系。優(yōu)點(diǎn)是直觀、易用。*圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的圖形來表示函數(shù)關(guān)系。優(yōu)點(diǎn)是形象、能直觀反映函數(shù)的變化趨勢。*在解決問題時(shí)，常常需要將這三種方法結(jié)合起來使用，例如根據(jù)解析式畫出圖像，或根據(jù)圖像分析函數(shù)的解析式特征。3.定義域的求解：定義域是研究函數(shù)一切性質(zhì)的前提，必須優(yōu)先考慮。*分式函數(shù)：分母不為零。*偶次根式函數(shù)：被開方數(shù)非負(fù)。*對數(shù)函數(shù)：真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1。*實(shí)際問題：需考慮自變量的實(shí)際意義。*復(fù)合函數(shù)：需考慮內(nèi)外層函數(shù)定義域的制約關(guān)系。二、函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是描述函數(shù)行為特征的重要方面，也是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵依據(jù)。（一）單調(diào)性（增減性）1.定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。區(qū)間D稱為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增（或減）區(qū)間。*理解：單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)“區(qū)間”上的性質(zhì)，是一個(gè)局部概念，而非整體概念。談?wù)搯握{(diào)性時(shí)，必須指明對應(yīng)的區(qū)間。2.判斷與證明方法：*定義法：這是最基本也是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?。步驟：①設(shè)元：任取x?，x?∈D，且x?<x?；②作差：f(x?)-f(x?)；③變形：對差式進(jìn)行因式分解、配方等恒等變形，使其易于判斷符號(hào)；④定號(hào)：判斷變形后差式的符號(hào)；⑤結(jié)論：根據(jù)定義得出函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性。*圖像法：觀察函數(shù)圖像在某區(qū)間上是上升的（增函數(shù)）還是下降的（減函數(shù)）。*導(dǎo)數(shù)法：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上可導(dǎo)，當(dāng)f'(x)>0時(shí)，函數(shù)在D上單調(diào)遞增；當(dāng)f'(x)<0時(shí)，函數(shù)在D上單調(diào)遞減。（此方法在學(xué)完導(dǎo)數(shù)后尤為重要）*復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：遵循“同增異減”原則。即若內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性不同，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。*利用已知函數(shù)的單調(diào)性：例如，一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)性可直接應(yīng)用。3.單調(diào)性的應(yīng)用：*比較函數(shù)值的大小（需在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)）。*解不等式（利用函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系）。*求函數(shù)的最值（在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得）。*判斷函數(shù)圖像的走勢。（二）奇偶性1.定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于任意x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做偶函數(shù)；如果對于任意x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做奇函數(shù)。*前提：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件。若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。2.圖像特征：*偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。*奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。*若奇函數(shù)y=f(x)在x=0處有定義，則f(0)=0。這是一個(gè)常用的隱含條件。3.判斷方法：*定義法：首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱，則非奇非偶；若對稱，再判斷f(-x)與f(x)或-f(x)的關(guān)系。*圖像法：觀察圖像是否關(guān)于y軸（偶函數(shù)）或原點(diǎn)（奇函數(shù)）對稱。*性質(zhì)法：奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)。（注意：除法類似，需考慮分母不為零）4.奇偶性的應(yīng)用：*簡化函數(shù)圖像的繪制（只需畫出一半，另一半可根據(jù)對稱性畫出）。*簡化函數(shù)性質(zhì)的研究（例如，已知奇函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性，可推知其在對稱區(qū)間上的單調(diào)性）。*利用奇偶性求函數(shù)值或解析式（若已知函數(shù)在x>0時(shí)的解析式，可利用奇偶性求出x<0時(shí)的解析式）。*解與奇偶性相關(guān)的方程或不等式。（三）周期性1.定義：對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。*理解：并非所有周期函數(shù)都有最小正周期（如常函數(shù)）。若T是函數(shù)的周期，則kT（k∈Z，k≠0）也是函數(shù)的周期。2.常見周期函數(shù)：*正弦函數(shù)、余弦函數(shù)：最小正周期為2π。*正切函數(shù)：最小正周期為π。*函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B、y=Acos(ωx+φ)+B的最小正周期為|2π/ω|；y=Atan(ωx+φ)+B的最小正周期為|π/ω|。3.周期的判斷與應(yīng)用：*若f(x+a)=f(x-b)，則函數(shù)周期T=a+b。*若f(x+a)=-f(x)，則函數(shù)周期T=2a。*若f(x+a)=1/f(x)(f(x)≠0)，則函數(shù)周期T=2a。*利用周期性可以將不在已知區(qū)間內(nèi)的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間內(nèi)，從而利用已知條件求解。*周期性常與奇偶性、單調(diào)性結(jié)合考查，解決函數(shù)值的計(jì)算、圖像的繪制等問題。（四）最值（最大值與最小值）1.定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對于任意的x∈I，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），且存在x?∈I，使得f(x?)=M，那么稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值（或最小值）。2.求最值的常用方法：*利用單調(diào)性：若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f(a)為最小值，f(b)為最大值；若單調(diào)遞減，則f(a)為最大值，f(b)為最小值。*利用二次函數(shù)的性質(zhì)：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，當(dāng)a>0時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最小值；當(dāng)a<0時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最大值。注意自變量的取值范圍是否為全體實(shí)數(shù)。*利用基本不等式：對于滿足“一正、二定、三相等”條件的代數(shù)式，可利用基本不等式a+b≥2√(ab)(a,b>0)求最值。*利用函數(shù)的圖像：通過觀察函數(shù)圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)來確定最值。*導(dǎo)數(shù)法：求導(dǎo)，找極值點(diǎn)，比較極值與端點(diǎn)值，確定最值。（學(xué)完導(dǎo)數(shù)后重點(diǎn)掌握）*換元法：將復(fù)雜函數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)（如二次函數(shù)）來求最值，注意新元的取值范圍。3.最值的應(yīng)用：解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題，如成本最低、利潤最大、用料最省等。三、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用與聯(lián)系函數(shù)的各個(gè)性質(zhì)并非孤立存在，它們之間常常相互關(guān)聯(lián)，在解決復(fù)雜問題時(shí)需要綜合運(yùn)用。1.單調(diào)性與奇偶性的聯(lián)系：*奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性。*偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性。2.單調(diào)性與最值的聯(lián)系：如前所述，閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得。對于非單調(diào)函數(shù)，則需要結(jié)合單調(diào)性的變化（即極值點(diǎn)）來判斷最值。3.周期性與奇偶性的聯(lián)系：某些函數(shù)同時(shí)具有周期性和奇偶性，它們的圖像和性質(zhì)會(huì)更加特殊。例如，若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且周期為T，則f(T/2)=0（若在x=T/2處有定義）。4.綜合題的解題思路：*仔細(xì)審題，明確已知條件和所求問題。*優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域。*分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想可能具有的性質(zhì)（如奇偶性、周期性）。*若給出函數(shù)圖像，要充分利用圖像的直觀性，獲取單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)等信息。*將所求問題與函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系起來，選擇合適的方法求解。*注意分類討論思想的應(yīng)用（如含參數(shù)的函數(shù)性質(zhì)討論）。四、復(fù)習(xí)建議與應(yīng)試技巧1.回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)：函數(shù)的定義、性質(zhì)的概念是根本，務(wù)必吃透課本上的定義、定理和例題。2.梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：將函數(shù)的概念、三要素、圖像、性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值）以及基本初等函數(shù)（一次、二次、反比例、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)）的性質(zhì)串聯(lián)起來，形成知識(shí)體系。3.強(qiáng)化題型訓(xùn)練，總結(jié)方法：針對每種性質(zhì)，練習(xí)典型例題，總結(jié)判斷方法、證明步驟和應(yīng)用技巧。例如，單調(diào)性證明的定義法步驟，奇偶性判斷的定義域優(yōu)先原則等。4.注重?cái)?shù)形結(jié)合：函數(shù)圖像是理解函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，畫圖、識(shí)圖、用圖是學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵。養(yǎng)成畫圖分析問題的習(xí)慣。5.關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)：*討論單調(diào)性時(shí)忘記注明區(qū)間。*判斷奇偶性時(shí)忽略定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提。*求復(fù)合函