1/11.1集合的概念思維導(dǎo)圖新課標(biāo)要求1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的“屬于”關(guān)系。2.針對具體問題，能夠在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合。知識梳理一、元素與集合的概念1.元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母a,b,c…表示.2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示.3.集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的.4.集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的，無序的.二、元素與集合的關(guān)系1.屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作.2.不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作.三、常見的數(shù)集及符號表示名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN*或N＋ZQR四、集合的表示法1.列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法.2.描述法：一般地，設(shè)A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法.名師導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)1集合的概念判斷一組對象是否能構(gòu)成集合的三個依據(jù)(1)確定性：負(fù)責(zé)判斷這組元素是否能構(gòu)成集合．(2)互異性：負(fù)責(zé)判斷構(gòu)成集合的元素的個數(shù)．(3)無序性：表示只要一個集合的元素確定，則這個集合也隨之確定，與元素之間的排列順序無關(guān)．【例1】下列各對象可以組成集合的是（

）A．與非常接近的全體實數(shù)B．北大附中云南實驗學(xué)校學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生C．高一年級視力比較好的同學(xué)D．高一年級很有才華的老師【答案】B【解析】對于ACD，集合中的元素具有確定性，但ACD中的元素不確定，故不能構(gòu)成集合，ACD錯誤；B中的元素滿足集合中元素的特點(diǎn)，可以構(gòu)成集合，B正確.故選：B.【變式訓(xùn)練1-1】下列說法中正確的是（

）A．與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合B．由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個數(shù)為5C．一個集合中有三個元素a，b，c，其中a，b，c是的三邊長，則不可能是等邊三角形D．高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合【答案】C【解析】解：對于A：與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)在線段的中垂線上，故可以組成集合，即A錯誤；對于B：由集合元素的互異性可知，由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個數(shù)為4，故B錯誤；對于C：因為集合的元素具有互異性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等邊三角形，即C正確；對于D：游泳能手模棱兩可，不具有確定性，故D錯誤；故選：C【變式訓(xùn)練1-2】下列能構(gòu)成集合的是（

）A．中央電視臺著名節(jié)目主持人 B．我市跑得快的汽車C．上海市所有的中學(xué)生 D．?dāng)?shù)學(xué)必修第一冊課本中所有的難題【答案】C【解析】構(gòu)成集合的元素具有確定性，選項ABD中沒有明確標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合定義，選項C正確.故選：C.【變式訓(xùn)練1-3】（多選）給出下列說法，其中正確的有（）A．中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個集合；B．高一（1）班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個集合；C．正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個集合；D．大于2011且小于2016的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合．【答案】AC【解析】中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個集合，A正確；高一（1）班較胖的同學(xué)不具有確定性，不能構(gòu)成集合，B錯誤；正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個集合，C正確；大于2011且小于2016的所有整數(shù)能構(gòu)成集合，D錯誤.故選：AC.知識點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法：集合中的元素是直接給出的．(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．【例2-1】給出下列關(guān)系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】是實數(shù)，①正確；是無理數(shù)，②錯誤；－3是整數(shù)，③錯誤；－是無理數(shù)，④正確.所以正確的個數(shù)為2.故選：B.【例2-2】下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是（）A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1?Z【答案】A【解析】0是自然數(shù)，是無理數(shù)，不是有理數(shù)，是整數(shù)，根據(jù)元素和集合的關(guān)系可知，只有A正確；故選：A【變式訓(xùn)練2-1】已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由集合，即集合是所有的偶數(shù)構(gòu)成的集合.所以，，，故選：D【變式訓(xùn)練2-2】用“”或“”填空．___________N；___________Z；___________Q；___________R．【答案】

?

∈

?

∈知識點(diǎn)3集合的表示法（重點(diǎn)）1.用列舉法表示集合的3個步驟(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．(3)用花括號括起來．注意：二元方程組的解集，函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合都是點(diǎn)的集合，一定要寫成實數(shù)對的形式，元素與元素之間用“，”隔開．如{(2,3)，(5，－1)}．2.利用描述法表示集合的關(guān)注點(diǎn)(1)寫清楚該集合代表元素的符號．例如，集合{x∈R|x<1}不能寫成{x<1}．(2)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，這種表達(dá)方式就不符合要求，需將k∈Z也寫進(jìn)花括號內(nèi)，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母．(4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實數(shù)集時可以省略不寫．例如，方程x2－2x＋1＝0的實數(shù)解集可表示為{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可寫成{x|x2－2x＋1＝0}．【例3-1】用列舉法表示下列集合：（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；（2）方程x2＝2x的所有實數(shù)解組成的集合；（3）直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；（4）由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合．【解】（1）因為不大于10是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0，2，4，6，8，10}．（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解組成的集合為{0，2}．（3）將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0，1)，故交點(diǎn)組成的集合是{(0，1)}．（4）正整數(shù)有1，2，3，…，所求集合為{1，2，3，…}．【例3-2】用描述法表示下列集合．（1）小于5的正有理數(shù)組成的集合：______；（2）平面直角坐標(biāo)系中第一、三象限角平分線上的所有點(diǎn)組成的集合：______；（3）偶數(shù)集：______；（4）拋物線上的所有點(diǎn)組成的集合：______．【答案】

【解析】（1）由描述可得：集合為.（2）第一、三象限角平分線上的所有點(diǎn)都在上，故集合為.（3）由偶數(shù)可表示為，故集合為.（4）由描述知：集合為.故答案為：，，，.【變式訓(xùn)練3-1】集合用列舉法表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】且，所有可能的取值為，.故選：A.【變式訓(xùn)練3-2】表示方程的根的集合，用列舉法可以表示為______，用描述法可表示為______.【答案】

（答案不唯一）【解析】由，得，解得，或，所以方程根的集合用列舉法可以表示為，用描述法可表示為（答案不唯一）故答案為：，（答案不唯一）【變式訓(xùn)練3-3】若用描述法表示所有負(fù)偶數(shù)構(gòu)成的集合M，則__________________.【答案】【解析】所有負(fù)偶數(shù)構(gòu)成的集合M，則.故答案為：.【變式訓(xùn)練3-4】用列舉法表示下列集合：（1）；（2）{(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．【解】(1)因為，所以是6的因數(shù)，則，即x＝1，3，4，0，－1，5，－4，8.所以原集合可用列舉法表示為{－4，－1，0，1，3，4，5，8}；(2)因為x∈N且1≤x<5，所以x＝1，2，3，4，其對應(yīng)的y的值分別為3，6，9，12.所以原集合可用列舉法表示為{(1，3)，(2，6)，(3，9)，(4，12)}．【變式訓(xùn)練3-5】選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合A；(2)所有正奇數(shù)組成的集合B；(3)絕對值不大于3的所有整數(shù)組成的集合C；(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點(diǎn)組成的集合D．【解析】(1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)有，用列舉法表示：；(2)所有正奇數(shù)有無數(shù)個，用描述法表示：；(3)絕對值不大于3的所有整數(shù)只有，用列舉法表示：；(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點(diǎn)，用描述法表示：．知識點(diǎn)4集合性質(zhì)的應(yīng)用（難點(diǎn)、易錯點(diǎn)）利用集合中元素的確定性、互異性求參數(shù)的策略及注意點(diǎn)(1)策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性對求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗．(2)注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時，要注意分類討論思想的應(yīng)用．【例4-1】若，則的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【解析】，則，符合題設(shè)；時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；時，則，符合題設(shè)；∴或均可以.故選：C【例4-2】若，則中的元素應(yīng)滿足什么條件？【解】根據(jù)集合中元素的互異性可得：，解得且且，所以應(yīng)滿足且且.【變式訓(xùn)練4-1】若，則a的值為（

）A．或1或2 B．或1 C．或2 D．2【答案】D【解析】因為，所以或3或，當(dāng)時，即，此時集合中元素為1,3,1，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時，即，此時集合中元素為1,3,1，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時，解得或（舍去），此時集合中元素為1,3,4，符合題意.故選：D【變式訓(xùn)練4-2】已知集合，若，則實數(shù)的值構(gòu)成的集合為_________．【答案】【解析】因為集合，且所以或（1）當(dāng)時，此時，符合題意.（2）當(dāng)時，解得或當(dāng)時，與集合元素的互相性矛盾，舍去；當(dāng)時，符合題意.綜上可知實數(shù)的值構(gòu)成的集合為故答案為：【變式訓(xùn)練4-3】已知集合，，且，求集合．【解】根據(jù)題意，當(dāng)時，.若，則，根據(jù)互異性可知，不滿足題意；若，則，此時，.而當(dāng)時，集合中，根據(jù)互異性可知，不滿足題意.綜上，.A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．下面給出的四類對象中，構(gòu)成集合的是（

）A．某班視力較好的同學(xué) B．長壽的人 C．的近似值 D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)【答案】D【解析】對于A，視力較好不是一個明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于B，長壽也不是一個明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于C，的近似值沒有明確近似到小數(shù)點(diǎn)后面幾位，不是明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于D，倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確，只有1和-1，故可以構(gòu)成集合；故選：D.2．下列關(guān)系中正確的個數(shù)是（

）①，②，

③，

④A． B． C． D．【答案】B【解析】①錯誤②正確③錯誤④正確故選：B3．由，，可組成含個元素的集合，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由元素的互異性可得，解得且且.故選：C.4．集合的元素個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．10 D．12【答案】A【解析】由題意，集合中的元素滿足是自然數(shù)，且是自然數(shù)，由此可得=0，1，3，9；此時的值分別為：4，3，2，1，符合條件的共有4個，故選：A．5．集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴．又，∴．故選：A6．（多選）下列正確表示方程組的解集的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由，解得，所以該方程組的解集為或.故選BD．7．以下各組對象不能組成集合的是______（用題號填空）.①中國古代四大發(fā)明

②地球上的小河流③方程的實數(shù)解

④周長為10cm的三角形⑤接近于0的數(shù)【答案】②⑤【解析】①中國古代四大發(fā)明是造紙術(shù)，指南針，火藥和印刷術(shù)，是確定的，能構(gòu)成集合；②地球上的小河流，不確定，不能構(gòu)成集合；③方程的實數(shù)解是1或-1，是確定的，能構(gòu)成集合；④周長為10cm的三角形，是確定的，能構(gòu)成集合；⑤接近于0的數(shù)，不確定，不能構(gòu)成集合.故答案為：②⑤8．用符號“”和“”填空：（1）______N；

（2）1______；

（3）______R；（4）______；

（5）______N；

（6）0______．【答案】

【解析】由所表示的集合，由元素與集合的關(guān)系可判斷（1）（2）（3）（4）（5）（6）.故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.9．若，則實數(shù)____________.【答案】【解析】因為，所以，解得.故答案為：.10．集合可用列舉法表示為______，集合可用列舉法表示為______.【答案】

【解析】由，，，知x可取的值為0，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以集合；由題知集合B表示點(diǎn)集，所以.故答案為：，.11．已知集合中的元素滿足：，且，．若集合中恰有三個元素，則______，集合中的元素是______．【答案】

6

3，4，5【解析】因為，，，且集合P中恰有三個元素，所以，此時集合P中的元素是3，4，5．故答案為：6；3,4,512．判斷下列各組對象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理由．(1)北京各區(qū)縣的名稱；(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；(3)我們班身高大于1.7m的同學(xué)．【解】(1)因為北京各區(qū)縣的名稱是確定的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集合；因為北京各區(qū)縣是有限的，故該集合為有限集；(2)因為尾數(shù)是5的自然數(shù)是確定的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集合；因為尾數(shù)是5的自然數(shù)是無限的，故該集合為無限集；(3)因為我們班身高大于1.7m的同學(xué)是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學(xué)能構(gòu)成集合；因為我們班身高大于1.7m的同學(xué)是有限的，故該集合為有限集.13．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）方程的根的集合；（2）不等式的解集【解】（1）由可得或，所以方程的根的集合為（2）由可得，所以不等式的解集為B組-[素養(yǎng)提升]1．已知集合，則M中元素的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因為且，所以，即集合中只有一個元素．故選：A．2．已知集合，若，則實數(shù)的值為（

）．A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】，且，或⑴、當(dāng)即或，①、當(dāng)時，，，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；②、當(dāng)時，，，此時，符合題意；⑵、當(dāng)即時，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；綜上所述：實數(shù)的值為1.故選：B3．（多選）已知集合，則下列說法中正確的是（

）A．但B．若，其中，則C．若，其中，則D．若，其中，則【答案】BC【解析】，故，，所以，A錯誤；，其中，，故，B正確；，其中，，故，C正確；因為，若，此時無意義，故，D錯誤.故選：BC4．（多選）已知x，y，z為非零實數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】當(dāng)均為負(fù)數(shù)時，；當(dāng)兩負(fù)一正時，；當(dāng)兩正一負(fù)時，；當(dāng)