第頁5.1任意角和弧度制思維導(dǎo)圖新課標(biāo)要求了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性。知識梳理一、任意角1．角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形．2．角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角α的頂點．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．3．角的分類：名稱定義圖示正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角二、角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個角，－α為角α的相反角．(1)α＋β：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．三、象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．四、終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．五、度量角的兩種單位制1．角度制：(1)定義：用度作為單位來度量角的單位制．(2)1度的角：周角的eq\f(1,360).2．弧度制：(1)定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角．六、弧度數(shù)的計算七、角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)八、弧度制下的弧長與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR.(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.名師導(dǎo)學(xué)知識點1任意角的概念理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小．另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可．【例1-1】下列說法正確的是（

）A．終邊相同的角相等 B．相等的角終邊相同C．小于的角是銳角 D．第一象限的角是正角【變式訓(xùn)練1-1】下列命題中正確的是（

）A．第一象限角一定不是負(fù)角 B．小于的角一定是銳角C．鈍角一定是第二象限的角 D．終邊相同的角一定相等知識點2終邊相同的角（重點）終邊相同的角的表示(1)終邊相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．(2)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍．【例2-1】下列角中與20°終邊相同的角是（

）A．200° B．-340° C．-20° D．340°【例2-2】如果角與角x＋45°具有相同的終邊，角與角x－45°具有相同的終邊，那么與之間的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2-1】終邊落在直線上的角的集合為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2-2】下列各角中，與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2-3】將軸正半軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到角，則下列與終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2-4】與終邊相同的最小正角是____.知識點3象限角與區(qū)域角(1)象限角的判定方法①根據(jù)圖象判定．利用圖象實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的思想，因為0°～360°之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．②將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°之間沒有兩個角終邊是相同的．(2)表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．【例3-1】已知角，則角的終邊落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例3-2】已知，則角的終邊落在的陰影部分是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3-1】給出四個命題：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角.其中正確的有（

）個.A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練3-2】若α是第二象限角，則180°－α是第______象限角．【變式訓(xùn)練3-3】如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合.(1)(2)知識點4角度制與弧度制的互化角度與弧度互化技巧在進(jìn)行角度與弧度的換算時，抓住關(guān)系式πrad＝180°是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)．【例4-1】將下列角度化為弧度，弧度轉(zhuǎn)化為角度(1)(2)(3)(4)(5)(6)【變式訓(xùn)練4-1】角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練4-2】把化成角度制是（

）A．36° B．30° C．24° D．12°【變式訓(xùn)練4-3】下列結(jié)論錯誤的是（

）A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°C．化成弧度是 D．化成度是15°知識點5與扇形的弧長、面積有關(guān)的計算（重難點）扇形的弧長和面積的求解策略(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2(其中l(wèi)是扇形的弧長，R是扇形的半徑，α是扇形圓心角的弧度數(shù)，0<α<2π)．(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解．【例5-1】已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長為.(1)若，，求扇形的弧長；(2)若扇形的周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大，并求出此時扇形面積的最大值.【例5-2】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，其中《方田》章給出了“弧田”，“弦”和“矢”的定義，“弧田”(如圖陰影部分所示)是由圓弧和弦圍成，“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.（1）當(dāng)圓心角為，矢為2的弧田，求：弧田(如圖陰影部分所示)的面積；（2）已知如圖該扇形圓心角是，半徑為，若該扇形周長是一定值當(dāng)為多少弧度時，該扇形面積最大？【變式訓(xùn)練5-1】如果2弧度的圓心角所對的弦長為4，那么這個圓心角所對的弧長為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練5-2】在半徑為1的單位圓中，一條弦的長度為，則弦所對的圓心角是（

）A． B． C． D．=【變式訓(xùn)練5-3】玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊(yùn)，數(shù)千年來始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人．某扇形玉雕壁畫尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練5-4】碭山被譽(yù)為“酥梨之鄉(xiāng)”，每逢四月，萬樹梨花開，游客八方來．如圖1，梨花廣場的標(biāo)志性建筑就是根據(jù)梨花的形狀進(jìn)行設(shè)計的，建筑的五個“花瓣”中的每一個都可以近似看作由兩個對稱的弓形組成，圖2為其中的一個“花瓣”平面圖，設(shè)弓形的圓弧所在圓的半徑為，弦長為，則一個“花瓣”的面積為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練5-5】已知某扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為___________；面積為___________.【變式訓(xùn)練5-6】扇形的面積是，它的弧長是，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為___________；弦的長為___________.【變式訓(xùn)練5-7】已知扇形的半徑為，弧長為，圓心角為.(1)若扇形的面積為定值，求扇形周長的最小值及對應(yīng)的圓心角的值；(2)若扇形的周長為定值，求扇形面積的最大值及對應(yīng)的圓心角的值.名師導(dǎo)練A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．將分針撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角是（

）A． B． C． D．2．平面直角坐標(biāo)系中，取角的頂點為坐標(biāo)原點，角的始邊為x軸的非負(fù)半軸，下列說法正確的是（

）A．第一象限角一定不是負(fù)角B．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．鈍角的終邊在第二象限3．下列選項中與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．4．已知角，則符合條件的最大負(fù)角為（

）A．–22o B．–220o C．–202o D．–158o5．《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間（如圖）．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為，肩寬約為，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m6．設(shè)集合，，則集合M，N的關(guān)系為（

）A． B． C． D．7．已知扇形的面積為8，且圓心角弧度數(shù)為2，則扇形的周長為（

）A．32 B．24 C． D．8．（多選）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角9．（多選）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（多選）已知扇形的周長是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．311．的角化為角度制的結(jié)果為_______．12．與終邊相同的角可以為___________.（填寫一個符合題意的角即可）13．如圖，用弧度制表示終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合：______.14．魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.它的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，機(jī)械加工業(yè)上利用這個性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來.如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧的長度為，則該魯洛克斯三角形的面積為______.15．求與角終邊相同的最小正角和最大負(fù)角，并指出角是第幾象限角.16．已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．B組-[素養(yǎng)提升]1．月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，南北距離的長大約m，則該月牙泉的面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m22．彝