北京勁松第一中學(xué)初一數(shù)學(xué)上冊期末壓軸題匯編一、七年級上冊數(shù)學(xué)壓軸題1．已知：，、、是內(nèi)的射線．（1）如圖1，若平分，平分．當(dāng)射線繞點(diǎn)在內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，求的度數(shù)．（2）也是內(nèi)的射線，如圖2，若，平分，平分，當(dāng)射線繞點(diǎn)在內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，求的大小．答案：（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出和，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后根據(jù)計算即可得解．【詳解】解：（1）∵平分，∴∵平分，∴解析：（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出和，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后根據(jù)計算即可得解．【詳解】解：（1）∵平分，∴∵平分，∴∴（2）∵平分，∴，∵平分，∴∴=【點(diǎn)睛】本題考查了角的計算，角平分線的定義，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要注意整體思想的利用．2．已知在數(shù)軸上，一動點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)向左移動4個單位長度到達(dá)點(diǎn)A，再向右移動7個單位長度到達(dá)點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A、B表示的數(shù)；（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和為9，若存在，寫出點(diǎn)P表示的數(shù)；若不存在，說明理由；（3）若小蟲M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒0.5個單位長度沿數(shù)軸向右運(yùn)動，另一只小蟲N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒0.2個單位長度沿數(shù)軸向左運(yùn)動．設(shè)兩只小蟲在數(shù)軸上的點(diǎn)C處相遇，點(diǎn)C表示的數(shù)是多少？答案：（1）；（2）或；（3）【分析】（1）由數(shù)軸上的點(diǎn)的移動規(guī)律，左減右加，從而可得答案；（2）由題意得：再分當(dāng)時，當(dāng)＜＜時，當(dāng)時，三種情況討論，從而可得答案；（3）設(shè)兩只小蟲的相遇時運(yùn)動時解析：（1）；（2）或；（3）【分析】（1）由數(shù)軸上的點(diǎn)的移動規(guī)律，左減右加，從而可得答案；（2）由題意得：再分當(dāng)時，當(dāng)＜＜時，當(dāng)時，三種情況討論，從而可得答案；（3）設(shè)兩只小蟲的相遇時運(yùn)動時間為，結(jié)合題意可得：解方程求解時間，再求點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)即可．【詳解】解：（1）動點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)向左移動4個單位長度到達(dá)點(diǎn)A，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為：再向右移動7個單位長度到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為：（2）存在，理由如下：設(shè)對應(yīng)的數(shù)為：則由題意得：當(dāng)時，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，當(dāng)＜＜時，方程左邊此時方程無解，當(dāng)時，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，綜上：點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和為9時，或（3）設(shè)兩只小蟲的相遇時運(yùn)動時間為，結(jié)合題意可得：點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為：【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上動點(diǎn)問題，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，絕對值方程的解法，一元一次方程的應(yīng)用，掌握數(shù)軸上點(diǎn)運(yùn)動后對應(yīng)的數(shù)的表示規(guī)律，兩點(diǎn)間的距離，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．在數(shù)軸上，點(diǎn)A向右移動1個單位得到點(diǎn)B，點(diǎn)B向右移動（n為正整數(shù)）個單位得到點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，C分別表示有理數(shù)a，b，c；（1）當(dāng)時，①點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，a，b，c三個數(shù)的乘積為正數(shù)，數(shù)軸上原點(diǎn)的位置可能（）A．在點(diǎn)A左側(cè)或在A，B兩點(diǎn)之間B．在點(diǎn)C右側(cè)或在A，B兩點(diǎn)之間C．在點(diǎn)A左側(cè)或在B，C兩點(diǎn)之間D．在點(diǎn)C右側(cè)或在B，C兩點(diǎn)之間②若這三個數(shù)的和與其中的一個數(shù)相等，求a的值；（2）將點(diǎn)C向右移動個單位得到點(diǎn)D，點(diǎn)D表示有理數(shù)d，若a、b、c、d四個數(shù)的積為正數(shù)，這四個數(shù)的和與其中的兩個數(shù)的和相等，且a為整數(shù)，請寫出n與a的關(guān)系式．答案：（1）①C；②-2或或；（2）當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，【分析】（1）把代入即可得出，，再根據(jù)、、三個數(shù)的乘積為正數(shù)即可選擇出答案；（2）分兩種情況討論：當(dāng)為奇數(shù)時；當(dāng)為偶數(shù)時；用含的代數(shù)式表解析：（1）①C；②-2或或；（2）當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，【分析】（1）把代入即可得出，，再根據(jù)、、三個數(shù)的乘積為正數(shù)即可選擇出答案；（2）分兩種情況討論：當(dāng)為奇數(shù)時；當(dāng)為偶數(shù)時；用含的代數(shù)式表示即可．【詳解】解：（1）①把代入即可得出，，、、三個數(shù)的乘積為正數(shù)，從而可得出在點(diǎn)左側(cè)或在、兩點(diǎn)之間．故選；②，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；（2）依據(jù)題意得，，，．、、、四個數(shù)的積為正數(shù)，且這四個數(shù)的和與其中的兩個數(shù)的和相等，或．或；為整數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，我們把數(shù)和點(diǎn)對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．4．如圖，圖中數(shù)軸的單位長度為1，請回答下列問題：（1）如果點(diǎn)A，B表示的數(shù)是互為相反數(shù)，那么點(diǎn)C表示的數(shù)是_______，在此基礎(chǔ)上，在數(shù)軸上與點(diǎn)C的距離是3個單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)是__________（2）如果點(diǎn)D，B表示的數(shù)是互為相反數(shù)，那么點(diǎn)E表示的數(shù)是_______（3）在第（1）問的基礎(chǔ)上解答：若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)B的方向勻速運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A的方向勻速運(yùn)動．則兩個點(diǎn)相遇時點(diǎn)P所表示的數(shù)是多少？答案：（1）-1；-4或2；（2）；（3）-1【分析】（1）由的長度結(jié)合點(diǎn)，表示的數(shù)是互為相反數(shù)，即可得出點(diǎn)，表示的數(shù)，由且點(diǎn)在點(diǎn)的右邊可得出點(diǎn)表示的數(shù)，再利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式可求出在數(shù)軸上與點(diǎn)解析：（1）-1；-4或2；（2）；（3）-1【分析】（1）由的長度結(jié)合點(diǎn)，表示的數(shù)是互為相反數(shù)，即可得出點(diǎn)，表示的數(shù)，由且點(diǎn)在點(diǎn)的右邊可得出點(diǎn)表示的數(shù)，再利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式可求出在數(shù)軸上與點(diǎn)的距離是3個單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)；（2）由的長度結(jié)合點(diǎn)，表示的數(shù)是互為相反數(shù)，即可得出點(diǎn)表示的數(shù)，由且點(diǎn)在點(diǎn)的右邊可得出點(diǎn)表示的數(shù)；（3）當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，由點(diǎn)，相遇可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值，再將其代入中即可得出兩個點(diǎn)相遇時點(diǎn)所表示的數(shù)．【詳解】解：（1），且點(diǎn)，表示的數(shù)是互為相反數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為3，點(diǎn)表示的數(shù)為．，，在數(shù)軸上與點(diǎn)的距離是3個單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)是或2．故答案為：；或2．（2），且點(diǎn)，表示的數(shù)是互為相反數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為．故答案為：．（3）當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，，，．答：兩個點(diǎn)相遇時點(diǎn)所表示的數(shù)是．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸以及相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是：（1）由線段的長度結(jié)合點(diǎn)，表示的數(shù)互為相反數(shù)，找出點(diǎn)表示的數(shù)；（2）由線段的長度結(jié)合點(diǎn)，表示的數(shù)互為相反數(shù)，找出點(diǎn)表示的數(shù)；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．5．閱讀下面的材料并解答問題：點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離記為線段的長，線段的長可以用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)表示，即．若是最小的正整數(shù)，且滿足．（1）_________，__________．（2）若將數(shù)軸折疊，使得與點(diǎn)重合：①點(diǎn)與數(shù)_________表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為2018（在的左側(cè)），且兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則兩點(diǎn)表示的數(shù)是_______、__________．（3）點(diǎn)開始在數(shù)軸上運(yùn)動，若點(diǎn)以每秒2個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒，試探索：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求出其值．答案：（1）1，5；（2）①3；②-1007，1011；（3）不變，值為8【分析】（1）利用非負(fù)性可求解；（2）①由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求AC的中點(diǎn)表示的數(shù)是2，由折疊的性質(zhì)可求解；

②由折疊的性質(zhì)可求解解析：（1）1，5；（2）①3；②-1007，1011；（3）不變，值為8【分析】（1）利用非負(fù)性可求解；（2）①由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求AC的中點(diǎn)表示的數(shù)是2，由折疊的性質(zhì)可求解；

②由折疊的性質(zhì)可求解；

（3）利用兩點(diǎn)距離公式分別求出AC，AB，表示出3AC-5AB，再化簡即可求解．【詳解】解：（1）∵b是最小的正整數(shù)，∴b=1，

∵（c-5）2+|a+b|=0．∴c=5，a=-b=-1，

故答案為：1，5；

（2）①∵將數(shù)軸折疊，使得A與C點(diǎn)重合：

∴AC的中點(diǎn)表示的數(shù)是（-1+5）÷2=2，∴與點(diǎn)B重合的數(shù)=2-1+2=3；②點(diǎn)P表示的數(shù)為2-2018÷2=-1007，點(diǎn)Q表示的數(shù)為2+2018÷2=1011，故答案為：-1007，1011；（3）3AC-5AB的值不變．理由是：點(diǎn)A表示的數(shù)為：-1-2t，點(diǎn)B表示的數(shù)為：1+t，點(diǎn)C表示的數(shù)為：5+3t，∴AC=5+3t-（-1-2t）=6+5t，AB=1+t-（-1-2t）=2+3t，3AC-5AB=3（6+5t）-5（2+3t）=8，所以3AC-5AB的值不變，為8．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，非負(fù)性，折疊的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．6．在數(shù)軸上，點(diǎn)A代表的數(shù)是-12，點(diǎn)B代表的數(shù)是2，AB表示點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離．（1）①若點(diǎn)P為數(shù)軸上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的一個點(diǎn)，且AP=6，則BP=_____；②若點(diǎn)P為數(shù)軸上一點(diǎn)，且BP=2，則AP=_____；（2）若C點(diǎn)為數(shù)軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)C到點(diǎn)A點(diǎn)的距離與點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離的和是20，求C點(diǎn)表示的數(shù)；（3）若點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，且M、N同時向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，M點(diǎn)的運(yùn)動速度是每秒6個單位長度，N點(diǎn)的運(yùn)動速度是每秒8個單位長度，當(dāng)MN=2時求運(yùn)動時間t的值．答案：（1）①8；②16；（2）-15或5；（3）6或8【分析】（1）①根據(jù)題目要求，P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間，所以根據(jù)BP=AB-AP進(jìn)行求解②需要考慮兩種情況，即P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時和當(dāng)P不在解析：（1）①8；②16；（2）-15或5；（3）6或8【分析】（1）①根據(jù)題目要求，P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間，所以根據(jù)BP=AB-AP進(jìn)行求解②需要考慮兩種情況，即P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時和當(dāng)P不在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時．當(dāng)P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時，AP=AB-BP．當(dāng)P不在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時，此時有兩種情況，一種是超越A點(diǎn)，在A點(diǎn)左側(cè)，此時BP＞14，不符合題目要求．另一種情況是P在B點(diǎn)右側(cè)，此時根據(jù)AP=AB+BP作答．（2）根據(jù)前面分析，C不可能在AB之間，所以，C要么在A左側(cè)，要么在B右側(cè)．根據(jù)這兩種情況分別進(jìn)行討論計算．（3）分點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)和點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)，兩種情況分別列出方程求解．【詳解】解：（1）①∵AB總距離是2-（-12）=14，P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間，∴BP=AB-AP=14-6=8，故答案為：8．②P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時，AP=AB-BP=14-2=12；當(dāng)P不在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時，因?yàn)锳B=14，所以P只能在B右側(cè)，此時BP=2，AP=AB+BP=14+2=16，故答案為：16．（2）假設(shè)C為x，當(dāng)C在A左側(cè)時，AC=-12-x，BC=2-x，AC+BC=20，則-12-x+2-x=20，解得x=-15，當(dāng)C在B右側(cè)時，AC=x-（-12），BC=x-2，AC+BC=20，則x-（-12）+x-2=20，解得x=5，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為-15或5；（3）當(dāng)M在點(diǎn)N左側(cè)時，2-8t-（-12-6t）=2，解得：t=6；當(dāng)M在點(diǎn)N右側(cè)時，-12-6t-（2-8t）=2，解得：t=8，∴MN=2時，t的值為6或8．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題，一元一次方程的應(yīng)用．在充分理解題目要求的基礎(chǔ)上，可借助數(shù)軸用數(shù)形結(jié)合的方法求解．在解答過程中，注意動點(diǎn)問題的多解可能，并針對每一種可能進(jìn)行討論分析．7．已知數(shù)軸上三點(diǎn)，，對應(yīng)的數(shù)分別為，0，3，點(diǎn)為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為．（1）如果點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等，那么的值是______．（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和是8？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（3）如果點(diǎn)以每分鐘1個單位長度的速度從點(diǎn)向右運(yùn)動，同時另一點(diǎn)從點(diǎn)以每分鐘2個單位長度的速度向左運(yùn)動．設(shè)分鐘時點(diǎn)和點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則的值為______．（直接寫出答案）答案：（1）1（2）存在，或（3）或【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離列方程求解即可；（2）分兩種情況求解即可；（3）分點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇時和點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)M的左側(cè)時兩種情況解析：（1）1（2）存在，或（3）或【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離列方程求解即可；（2）分兩種情況求解即可；（3）分點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇時和點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)M的左側(cè)時兩種情況求解．【詳解】解：（1）由題意得3-x=x-(-1)，解得x=1；（2）存在，∵M(jìn)N=3-(-1)=4，∴點(diǎn)P不可能在M、N之間．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的左側(cè)時，(-1-x)+(3-x)=8，解得x=-3；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時，x-(-1)+(x-3)=8，解得x=5；∴或；（3）當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇時，t+2t=3，解得t=1；當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)M的左側(cè)時，t+1=2t-4，解得t=5；∴或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，分類討論得出是解題關(guān)鍵．8．已知，A，B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分用a，b表示，且，數(shù)軸上動點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)用x表示.(1)在數(shù)軸上標(biāo)出A、B的位置，并直接寫出A、B之間的距離；(2)寫出的最小值；(3)已知點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)且BC＝9，當(dāng)數(shù)軸上有點(diǎn)P滿足PB＝2PC時，①求P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)的值；②數(shù)軸上另一動點(diǎn)Q從原點(diǎn)開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度，…點(diǎn)Q能移動到與①中的點(diǎn)P重合的位置嗎？若都不能，請直接回答.若能，請直接指出，第幾次移動可以重合。答案：（1）A、B位置見解析，AB=30；（2）30；（3）①8或-4；②能，第8次【分析】（1）求出a、b的值，在數(shù)軸表示即可，求出AB的距離；（2）|x-20|+|x+10|的最小值，就是數(shù)軸上解析：（1）A、B位置見解析，AB=30；（2）30；（3）①8或-4；②能，第8次【分析】（1）求出a、b的值，在數(shù)軸表示即可，求出AB的距離；（2）|x-20|+|x+10|的最小值，就是數(shù)軸上表示20的點(diǎn)，與表示-10的點(diǎn)之間的距離；（3）①求出c的值，設(shè)出點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)，用距離列方程求解即可；②點(diǎn)Q移動時，每一次對應(yīng)的數(shù)分別列舉出來，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】解：（1）|a-20|+（b+10）2=0，解得：a=20，b=-10；∴AB=20-（-10）=30；（2）|x-a|+|x-b|=|x-20|+|x+10|，當(dāng)x位于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間時，即，-10≤x≤20時，|x-20|+|x+10|的值最小，最小值為AB=30，答：|x-20|+|x+10|的最小值為30；（3）①點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)且|BC|=9，因此點(diǎn)C所表示的數(shù)為-1，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，|x+10|=2|x+1|，解得x=8或x=-4；②點(diǎn)Q每次移動對應(yīng)在數(shù)軸上的數(shù)，第1次：-1，第3次：-3，第5次：-5，……第2次：2，第4次：4，第6次：6，……因此點(diǎn)Q能移動到與①中的點(diǎn)P重合的位置，與8重合時，移動第8次，不可能與-4重合，答：點(diǎn)Q能移動到與①中的點(diǎn)P重合的位置，移動的次數(shù)為8次．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸表示數(shù)的意義和方法，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計算方法，是解決問題的關(guān)鍵．9．（閱讀理解）若為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍，我們就稱點(diǎn)是()的優(yōu)點(diǎn)．例如，如圖1，點(diǎn)表示的數(shù)為-1，點(diǎn)表示的數(shù)為2，表示1的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是2，到點(diǎn)的距離是1，那么點(diǎn)是()的優(yōu)點(diǎn)：又如，表示0的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是1，到點(diǎn)的距離是2，那么點(diǎn)就不是()的優(yōu)點(diǎn)，但點(diǎn)是()的優(yōu)點(diǎn)．（知識運(yùn)用）如圖2，為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)所表示的數(shù)為-2，點(diǎn)所表示的數(shù)為4．（1）數(shù)所表示的點(diǎn)是()的優(yōu)點(diǎn)：（2）如圖3，為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)所表示的數(shù)為-20，點(diǎn)所表示的數(shù)為40.現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，以3個單位每秒的速度向左運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)停止．當(dāng)為何值時，和中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)？(請直接與出答案)答案：（1）x＝2或x＝10；（2）或或10．【分析】（1）設(shè)所求數(shù)為x，根據(jù)優(yōu)點(diǎn)的定義列出方程x?（?2）＝2(4?x）或x?（?2）＝2（x?4），解方程即可；（2）根據(jù)題意點(diǎn)P在線段AB上，由解析：（1）x＝2或x＝10；（2）或或10．【分析】（1）設(shè)所求數(shù)為x，根據(jù)優(yōu)點(diǎn)的定義列出方程x?（?2）＝2(4?x）或x?（?2）＝2（x?4），解方程即可；（2）根據(jù)題意點(diǎn)P在線段AB上，由優(yōu)點(diǎn)的定義可分4種情況：①P為(A，B)的優(yōu)點(diǎn)；②A為(B，P)的優(yōu)點(diǎn)；③P為(B，A)的優(yōu)點(diǎn)；④B為(A，P)的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為y，根據(jù)優(yōu)點(diǎn)的定義列出方程，進(jìn)而得出t的值．【詳解】解：（1）設(shè)所求數(shù)為x，由題意得x?（?2）＝2（4?x）或x?（?2）＝2（x?4），

解得：x＝2或x＝10；

（2）設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為y，分四種情況：

①P為(A，B)的優(yōu)點(diǎn)．

由題意，得y?（?20）＝2（40?y），

解得y＝20，

t＝（40?20）÷3＝（秒）；②A為(B，P)的優(yōu)點(diǎn)．

由題意，得40?（?20）＝2[y?（?20）]，

解得y＝10，

t＝（40?10）÷3＝10（秒）；

③P為(B，A)的優(yōu)點(diǎn)．

由題意，得40?y＝2[y?（?20）]，

解得y＝0，

t＝（40?0）÷3＝（秒）；④B為(A，P)的優(yōu)點(diǎn)40-(-20)=2(40-x)，解得：x=10t=(40-10)÷3=10（秒）．

綜上可知，當(dāng)t為10秒、秒或秒時，P、A和B中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)．故答案為：或或10．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸及一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，理解優(yōu)點(diǎn)的定義，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．10．已知射線在的內(nèi)部，射線平分，射線平分．（1）如圖1，若，則__________度；（2）若，①如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求的度數(shù)；②若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中、均是指小于180°的角），其余條件不變，請借助圖3探究的大小，直接寫出的度數(shù)．答案：（1）60；（2）①∠EOF=α；②當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平解析：（1）60；（2）①∠EOF=α；②當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出∠EOC和∠FOC的度數(shù)，求和即可得出答案；（2）①根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；②分兩種情況：當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時，根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時，根據(jù)角平分線定義得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．【詳解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，

∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，

∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．故答案為：60；（2）①∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，

∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；②分以下兩種情況：當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時，如圖3①，∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=α．當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時，如圖3②，

∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=180°-α．綜上所述，當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外面時，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時，∠EOF=180°-α．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的計算，角平分線的定義，熟知從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．注意分類思想的運(yùn)用．11．已知是內(nèi)部的一條射線，分別為上的點(diǎn)，線段同時分別以的速度繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．（1）如圖①，若，當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn)到處，①若旋轉(zhuǎn)時間t為2時，則______；②若平分平分_____；（2）如圖②，若分別在內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）若在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)時，求t的值．答案：（1）①40°；②60°；（2）∠COM=3∠BON，理由見解析；（3）3秒或5秒【分析】（1）①先求出、，再表示出、，然后相加并根據(jù)計算即可得解；②先由角平分線求出，，再求出，即；（2）設(shè)解析：（1）①40°；②60°；（2）∠COM=3∠BON，理由見解析；（3）3秒或5秒【分析】（1）①先求出、，再表示出、，然后相加并根據(jù)計算即可得解；②先由角平分線求出，，再求出，即；（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為，表示出、，然后列方程求解得到、的關(guān)系，再整理即可得解；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為，表示出、，然后得到，再列方程求解得到的關(guān)系，整理即可得解．【詳解】解：（1）線段、分別以、的速度繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，；故答案為：；②平分，平分，，，，即；（2），理由如下：設(shè)，則，，旋轉(zhuǎn)秒后，，，，，；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)秒后，，，，，可得，可得：，解得：秒或秒，故答案為：3秒或5秒．【點(diǎn)睛】此題考查了角的計算，讀懂題目信息，準(zhǔn)確識圖并表示出相關(guān)的角度，然后列出方程是解題的關(guān)鍵．12．如果兩個角的差的絕對值等于60°，就稱這兩個角互為“伙伴角”，其中一個角叫做另一個角的“伙伴角”（本題所有的角都指大于0°小于180°的角），例如，，，則和互為“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．（1）如圖1．O為直線上一點(diǎn)，，，則的“伙伴角”是_______________．（2）如圖2，O為直線上一點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)得，同時射線從射線的位置出發(fā)繞點(diǎn)O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時旋轉(zhuǎn)同時停止，若設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，求當(dāng)t何值時，與互為“伙伴角”．（3）如圖3，，射線從的位置出發(fā)繞點(diǎn)O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，射線平分，射線平分，射線平分．問：是否存在t的值使得與互為“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．答案：（1）；（2）t為35或15；（3）存在，當(dāng)t=或時，與互為“伙伴角”．【分析】（1）按照“伙伴角”的定義寫出式子，解方程即可求解；（2）通過時間t把與表示出來，根據(jù)與互為“伙伴角”，列出方程解析：（1）；（2）t為35或15；（3）存在，當(dāng)t=或時，與互為“伙伴角”．【分析】（1）按照“伙伴角”的定義寫出式子，解方程即可求解；（2）通過時間t把與表示出來，根據(jù)與互為“伙伴角”，列出方程，解出時間t；（3）根據(jù)OI在∠AOB的內(nèi)部和外部以及∠AOP和∠AOI的大小分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，由旋轉(zhuǎn)得出經(jīng)過t秒旋轉(zhuǎn)角的大小，角的和差，利用角平分線的定義分別表示出∠AOI和∠POI及“伙伴角”的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）∵兩個角差的絕對值為60°，則此兩個角互為“伙伴角”，而，∴設(shè)其伙伴角為，，則，由圖知，∴的伙伴角是．（2）∵繞O點(diǎn)，每秒1°逆時針旋轉(zhuǎn)得，則t秒旋轉(zhuǎn)了，而從開始逆時針繞O旋轉(zhuǎn)且每秒4°，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴此時，，又與重合時旋轉(zhuǎn)同時停止，∴，（秒），又與互為伙伴角，∴，∴，∴，秒或15秒．答：t為35或15時，與互為伙伴角．（3）①若OI在∠AOB的內(nèi)部且OI在OP左側(cè)時，即∠AOP＞∠AOI，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時6t＜160解得：t＜∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠POM－∠IOM=40°－3t根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合實(shí)際，舍去）∴此時∠AOI=6×=°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=＞∠AOI，符合前提條件∴t=符合題意；②若OI在∠AOB的內(nèi)部且OI在OP右側(cè)時，即∠AOP＜∠AOI，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時6t＜160解得：t＜∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合實(shí)際，舍去）∴此時∠AOI=6×=40°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=60°＞∠AOI，不符合前提條件∴t=不符合題意，舍去；③若OI在∠AOB的外部但OI運(yùn)動的角度不超過180°時，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時解得：＜t≤30∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM－∠ION=（－）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根據(jù)題意可得即解得：t=（不符合前提條件，舍去）或（不符合實(shí)際，舍去）∴此時不存在t值滿足題意；④若OI運(yùn)動的角度超過180°且OI在OP右側(cè)時，即∠AOI＞∠AOP如下圖所示此時解得：t＞30∵從出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==180°－3t∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°∵射線平分∴∠POM==50°∴∠POI=∠IOM－∠POM=130°－3t根據(jù)題意可得即解得：t=（不符合，舍去）或（不符合，舍去）∴此時不存在t值滿足題意；⑤若OI運(yùn)動的角度超過180°且OI在OP左側(cè)時，即∠AOI＜∠AOP，如下圖所示此時解得：t＞30∵從出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==180°－3t∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°∵射線平分∴∠POM==50°∴∠POI=∠POM－∠IOM=3t－130°根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合，舍去）∴此時∠AOI=360°－6×=°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=180°－（3×）°＋50°=°＞∠AOI，符合前提條件∴t=符合題意；綜上：當(dāng)t=或時，與互為“伙伴角”．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元一次方程的運(yùn)用及角平分線性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解．13．如圖①，直線?相交于點(diǎn)O，射線，垂足為點(diǎn)O，過點(diǎn)O作射線使．（1）將圖①中的直線繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖②，在的內(nèi)部，當(dāng)平分時，是否平分，請說明理由；（2）將圖①中的直線繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖③，在的內(nèi)部，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若，將圖①中的直線繞點(diǎn)O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)度設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，當(dāng)與互余時，求t的值．答案：（1）平分，理由見解析；（2），理由見解析；（3）或時，與互余．【分析】（1）根據(jù)平分線的定義可得，根據(jù)，可得，從而得到，所以可得結(jié)論；（2）設(shè)為，根據(jù)可得，根據(jù)可得，從而得到與之間的數(shù)量關(guān)系解析：（1）平分，理由見解析；（2），理由見解析；（3）或時，與互余．【分析】（1）根據(jù)平分線的定義可得，根據(jù)，可得，從而得到，所以可得結(jié)論；（2）設(shè)為，根據(jù)可得，根據(jù)可得，從而得到與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)題意可知，因?yàn)椋钥傻?，可求出，根?jù)“直線繞點(diǎn)O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)”可得出，，，，然后分情況進(jìn)行討論：①時，②時，③時，，從而得出結(jié)果．【詳解】解：（1）平分，理由如下：∵且平分∴∵∴∴∴∴即平分（2），理由如下：設(shè)為，則∵∴∴即（3）∵且∴又∵∴∴∵直線繞點(diǎn)O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)∴①時，若與互余，則解得②時，若與互余，則此時無解③時，若與互余，則解得綜上所述，或時，與互余．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計算，角平分線有關(guān)的計算，余角相關(guān)計算．關(guān)鍵是認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系．14．我們知道，從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線，類似的我們給出一些新的概念：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)把這個角分成度數(shù)為的兩個角的射線，叫做這個角的三分線；從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)把這個角分成度數(shù)為的兩個角的射線，叫做這個角的四分線……顯然，一個角的三分線、四分線都有兩條．例如：如圖，若，則是的一條三分線；若，則是的另一條三分線．（1）如圖，是的三分線，，若，則；（2）如圖，，是的四分線，，過點(diǎn)作射線，當(dāng)剛好為三分線時，求的度數(shù)；（3）如圖，射線、是的兩條四分線，將繞點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線、、中恰好有一條射線是其它兩條射線組成夾角的四分線，請直接寫出的值．答案：（1）；（2）的度數(shù)為或；（3）的值為或或或【分析】（1）根據(jù)三分線的定義解答即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三分線的定義分類解答即可；（3）根據(jù)四分線的定義分類解答即可．【詳解】解：解析：（1）；（2）的度數(shù)為或；（3）的值為或或或【分析】（1）根據(jù)三分線的定義解答即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三分線的定義分類解答即可；（3）根據(jù)四分線的定義分類解答即可．【詳解】解：（1）∵是的三分線，，，∴，故答案為：；（2），是的四分線，，，為的三分線，①當(dāng)時，，，②當(dāng)時，，，綜上所述，的度數(shù)為或，（3）∵射線、是的兩條四分線，∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°，如①圖，當(dāng)OC是∠BOD的四分線時，∠BOC=,∠BOD=80°，∠COD=20°，α=30°-20°=10°；如②圖，當(dāng)OD是∠BOC的四分線且∠BOD>∠COD時，∠COD=∠BOC=15°，α=30°+15°=45°；如③圖，當(dāng)OD是∠BOC的四分線且∠BOD<∠COD時，∠COD=∠BOC=45°，α=30°+45°=75°；如④圖，當(dāng)OB是∠COD的四分線時，∠BOC=,∠COD=80°，α=30°+80°=110°；的值為或或或【點(diǎn)睛】本題考查了角的計算，解決問題的關(guān)鍵是掌握角的三分線、四分線的定義，利用分類討論思想．15．（學(xué)習(xí)概念）如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．（理解運(yùn)用）（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；（拓展提升）（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時停止旋轉(zhuǎn)．同時射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．答案：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時；分別求出解析：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)用的時間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，然后對PM和PQ的運(yùn)動情況進(jìn)行分析，可分為四種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的運(yùn)動時間，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據(jù)題意，PM運(yùn)動前∠MPN＝120°，設(shè)運(yùn)用的時間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，①當(dāng)時，如圖：∴，解得：；②當(dāng)，即時，如圖：∴，解得：；③當(dāng)，如圖：∴，解得：；④當(dāng)，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的角度運(yùn)算，角度的和差關(guān)系，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確掌握運(yùn)動狀態(tài)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．16．已知，OD為∠AOB內(nèi)部的一條射線．（1）如圖（1），若，OD為∠AOB內(nèi)部的一條射線，，OE平分∠AOB，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖（2），若OC、OD是∠AOB內(nèi)部的兩條射線，OM、ON分別平分∠AOD，∠BOC，且，求的值；（3）如圖（3），C1為射線OB的反向延長線上一點(diǎn)，將射線OB繞點(diǎn)O順時針以6°/s的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后OB對應(yīng)射線為OB1，旋轉(zhuǎn)時間為t秒（0＜t35），OE平分∠AOB1，OF為∠C1OB1的三等分線，，若，直接寫出t的值為_________．答案：（1）當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時，；當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)部時，；（2）的值為2；（3）3或15．【分析】（1）先根據(jù)當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時，當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)部時，求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出解析：（1）當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時，；當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)部時，；（2）的值為2；（3）3或15．【分析】（1）先根據(jù)當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時，當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)部時，求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后根據(jù)角的和差即可得；（2）設(shè)，先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)角的和差化簡所求式子的分子分母即可得；（3）先依題意，找到兩個臨界位置：在AO的反向延長線上；與重合；然后根據(jù)角平分線的定義、角的和差倍分求解即可得．【詳解】（1）如圖1，當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時，，，平分，，，；當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)部時，，，平分，，，；（2）設(shè)，則，∴，，，，，故的值為2；（3），旋轉(zhuǎn)速度為，射線OB旋轉(zhuǎn)到OA即停止轉(zhuǎn)動，由題意得，，平分，，因，則有兩個臨界位置：在AO的反向延長線上，此時；與重合，此時，因此，分以下三種情況分析：如圖3-1，當(dāng)時，則，，解得，符合題設(shè)，②如圖3-2，當(dāng)時，則，，解得，符合題設(shè)，③如圖3-3，當(dāng)時，則，，解得或，均不符題設(shè)，舍去，綜上，t的值為3或15，故答案為：3或15．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、角的和差倍分，較難的是題（3），依據(jù)題意，找出兩個臨界位置，從而分三種情況討論構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．17．（閱讀理解）射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線．例如，如圖1，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線；若∠BOD＝∠COD，則稱射線OD是射線OB關(guān)于∠BOC的伴隨線．（知識運(yùn)用）如圖2，∠AOB＝120°．（1）射線OM是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線．則∠AOM＝_________°（2）射線ON是射線OB關(guān)于∠AOB的伴隨線，射線OQ是∠AOB的平分線，則∠NOQ的度數(shù)是_________°．（3）射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時，運(yùn)動停止．①是否存在某個時刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是20°，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．②當(dāng)t為多少秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．答案：（1）；（2）；（3）①當(dāng)t=20秒或28秒時，∠COD的度數(shù)是20°；②當(dāng)t為或或或秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．【分析】（1）根據(jù)伴隨線定義解析：（1）；（2）；（3）①當(dāng)t=20秒或28秒時，∠COD的度數(shù)是20°；②當(dāng)t為或或或秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．【分析】（1）根據(jù)伴隨線定義即可求解；（2）根據(jù)伴隨線定義結(jié)合角平分線的定義即可求解；（3）①利用分類討論思想，分相遇之前和之后進(jìn)行列式計算即可；②利用分類討論思想，分相遇之前和之后四個圖形進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）根據(jù)伴隨線定義得，∴；故答案為：；（2）如圖，根據(jù)伴隨線定義得，即，∵射線OQ是∠AOB的平分線，∴，∴；故答案為：；（2）射線OD與OA重合時，（秒），①當(dāng)∠COD的度數(shù)是20°時，有兩種可能：若在相遇之前，則120-3t-2t=20，∴t=20；若在相遇之后，則3t+2t-120=20，∴t=28；所以，綜上所述，當(dāng)t=20秒或28秒時，∠COD的度數(shù)是20°；②相遇之前，射線OC是射線OA關(guān)于∠AOD的伴隨線，則∠AOC=∠COD，即，解得：（秒）；相遇之前，射線OC是射線OD關(guān)于∠AOD的伴隨線，則∠COD=∠AOC，即，解得：（秒）；相遇之后，射線OD是射線OA關(guān)于∠AOC的伴隨線，則∠AOD=∠COD，即，解得：（秒）；相遇之后，射線OD是射線OC關(guān)于∠AOC的伴隨線，則∠COD=∠AOD，即，解得：（秒）；綜上，當(dāng)t為或或或秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是理解新定義，找到等量關(guān)系列出方程，難點(diǎn)是利用分類討論思想解決問題．18．如圖1，P點(diǎn)從點(diǎn)A開始以的速度沿的方向移動，Q點(diǎn)從點(diǎn)C開始以的速度沿的方向移動，在直角三角形中，，若，，，如果P，Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動時間．（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動，當(dāng)t為何值時，；（2）如圖2，點(diǎn)Q在上運(yùn)動，當(dāng)t為何值時，三角形的面積等于三角形面積的；（3）如圖3，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，當(dāng)t為何值時，線段的長度等于線段的長．答案：（1）4，（2）9，（3）或4【分析】（1）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動，Q在線段CA上運(yùn)動時，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）當(dāng)Q在解析：（1）4，（2）9，（3）或4【分析】（1）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動，Q在線段CA上運(yùn)動時，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）當(dāng)Q在線段CA上時，設(shè)CQ＝t，則AQ＝12﹣t，根據(jù)三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的，列出方程即可解決問題．（3）分三種情形討論即可①當(dāng)0＜t≤8時，P在線段AB上運(yùn)動，Q在線段CA上運(yùn)動．②當(dāng)8＜t≤12時，Q在線段CA上運(yùn)動，P在線段BC上運(yùn)動．③當(dāng)t＞12時，Q在線段AB上運(yùn)動，P在線段BC上運(yùn)動時，分別列出方程求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動，Q在線段CA上運(yùn)動時，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，∵AQ＝AP，∴12﹣t＝2t，∴t＝4．∴t＝4時，AQ＝AP．（2）當(dāng)Q在線段CA上時，設(shè)CQ＝t，則AQ＝12﹣t，∵三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的，∴?AB?AQ＝×?AB?AC，∴×16×（12﹣t）＝×16×12，解得t＝9．∴t＝9時，三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的．（3）由題意可知，Q在線段CA上運(yùn)動的時間為12秒，P在線段AB上運(yùn)動時間為8秒，①當(dāng)0＜t≤8時，P在線段AB上運(yùn)動，Q在線段CA上運(yùn)動，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4．②當(dāng)8＜t≤12時，Q在線段CA上運(yùn)動，P在線段BC上運(yùn)動，設(shè)CQ＝t，則AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝．③當(dāng)t＞12時，Q在線段AB上運(yùn)動，P在線段BC上運(yùn)動時，∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去），綜上所述，t＝或4時，AQ＝BP．【點(diǎn)睛】本題考查線段和差、一元一次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用方程的