應(yīng)用統(tǒng)計(jì)保研真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B2.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^2)\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)，則\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)服從（）分布A.\(N(0,1)\)B.\(\chi^2(n)\)C.\(\chi^2(n-1)\)D.\(t(n-1)\)答案：C3.設(shè)\(A\)、\(B\)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，若\(P(A|B)=P(A)\)，則（）A.\(P(B|A)=P(B)\)B.\(A\)與\(B\)互斥C.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)D.\(A\)與\(B\)對(duì)立答案：A4.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(X\)的數(shù)學(xué)期望\(E(X)\)為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：B5.設(shè)總體\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x;\theta)\)，\(\theta\)為未知參數(shù)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的一個(gè)估計(jì)量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的（）A.有效估計(jì)量B.一致估計(jì)量C.無(wú)偏估計(jì)量D.最大似然估計(jì)量答案：C6.在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)（）A.都有可能成立B.都有可能不成立C.只有一個(gè)成立而且必有一個(gè)成立D.原假設(shè)一定成立，備擇假設(shè)不一定成立答案：C7.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(2,9)\)，則\(Z=X-2Y\)的方差\(D(Z)\)為（）A.40B.36C.32D.28答案：A8.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，總體\(X\)的均值為\(\mu\)，樣本均值為\(\overline{X}\)，則\(\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})=\)（）A.\(n\overline{X}\)B.0C.\(n\mu\)D.\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)答案：B9.已知隨機(jī)變量\(X\)的分布列為\(P(X=k)=\frac{c}{k(k+1)},k=1,2,\cdots\)，則常數(shù)\(c\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：A10.設(shè)總體\(X\)服從均勻分布\(U[a,b]\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，則\(a\)和\(b\)的矩估計(jì)量分別為（）A.\(\overline{X}-S,\overline{X}+S\)B.\(\overline{X}-\sqrt{3}S,\overline{X}+\sqrt{3}S\)C.\(\overline{X}-2S,\overline{X}+2S\)D.\(\overline{X}-3S,\overline{X}+3S\)答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列關(guān)于概率的性質(zhì)，正確的有（）A.\(0\leqP(A)\leq1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqP(B)\)答案：ABCD2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(F(x)\)具有以下性質(zhì)（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(x)\)單調(diào)不減C.\(\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0\)D.\(\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=1\)答案：ABCD3.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，且\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，\(Cov(X,Y)=3\)，則（）A.相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=\frac{1}{2}\)B.\(D(X+Y)=16\)C.\(D(X-Y)=4\)D.\(Cov(X,X)=4\)答案：ABD4.設(shè)總體\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，以下哪些是統(tǒng)計(jì)量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)答案：ABD5.以下關(guān)于參數(shù)估計(jì)的說(shuō)法正確的有（）A.點(diǎn)估計(jì)有矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法等B.區(qū)間估計(jì)能給出參數(shù)的一個(gè)取值范圍C.無(wú)偏估計(jì)量一定是有效估計(jì)量D.一致估計(jì)量是當(dāng)樣本容量趨于無(wú)窮時(shí)，估計(jì)量依概率收斂于被估計(jì)參數(shù)答案：ABD6.設(shè)\(A\)、\(B\)、\(C\)為三個(gè)隨機(jī)事件，則（）A.\(A\cupB=B\cupA\)B.\((A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)\)C.\(A(B\cupC)=(AB)\cup(AC)\)D.\(\overline{A\cupB}=\overline{A}\cap\overline{B}\)答案：ABCD7.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，則（）A.\(E(X)=np\)B.\(D(X)=np(1-p)\)C.\(P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n\)D.當(dāng)\(n\)很大，\(p\)很小時(shí)，\(B(n,p)\)近似服從泊松分布\(P(np)\)答案：ABCD8.設(shè)總體\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x;\theta)\)，\(\theta\)為未知參數(shù)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，關(guān)于最大似然估計(jì)量，下列說(shuō)法正確的是（）A.是基于使樣本出現(xiàn)的概率最大的原則得到的B.一定是無(wú)偏估計(jì)量C.若\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的最大似然估計(jì)量，\(g(\theta)\)是\(\theta\)的單調(diào)函數(shù)，則\(g(\hat{\theta})\)是\(g(\theta)\)的最大似然估計(jì)量D.計(jì)算時(shí)需要構(gòu)造似然函數(shù)答案：ACD9.在假設(shè)檢驗(yàn)中，可能犯的錯(cuò)誤有（）A.第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）B.第二類錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤）C.第三類錯(cuò)誤D.第四類錯(cuò)誤答案：AB10.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合概率分布為\(P(X=i,Y=j)=p_{ij},i=1,2,j=1,2\)，則（）A.\(\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}p_{ij}=1\)B.\(P(X=i)=\sum_{j=1}^{2}p_{ij},i=1,2\)C.\(P(Y=j)=\sum_{i=1}^{2}p_{ij},j=1,2\)D.若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則\(p_{ij}=P(X=i)P(Y=j)\)答案：ABCD三、判斷題1.概率為\(0\)的事件一定是不可能事件。（）答案：錯(cuò)誤2.若隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立。（）答案：錯(cuò)誤3.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無(wú)偏估計(jì)量。（）答案：正確4.在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平\(\alpha\)就是犯第一類錯(cuò)誤的概率。（）答案：正確5.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(Y=aX+b\)（\(a\neq0\)）也服從正態(tài)分布。（）答案：正確6.若\(A\)和\(B\)是互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）答案：正確7.總體方差\(\sigma^2\)的無(wú)偏估計(jì)量是樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)。（）答案：正確8.隨機(jī)變量的分布函數(shù)\(F(x)\)在\(x\)處的導(dǎo)數(shù)就是\(x\)處的概率密度函數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤（僅當(dāng)\(F(x)\)在\(x\)處可導(dǎo)時(shí)成立）9.最大似然估計(jì)量一定是唯一的。（）答案：錯(cuò)誤10.若隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，則\(X+Y\)也服從正態(tài)分布。（）答案：正確四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述概率的公理化定義。概率的公理化定義：設(shè)\(\Omega\)是樣本空間，\(F\)是\(\Omega\)的某些子集組成的一個(gè)事件域。對(duì)于\(F\)中的每一個(gè)事件\(A\)，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)\(P(A)\)，如果\(P(A)\)滿足以下三條公理：非負(fù)性，即\(P(A)\geq0\)；規(guī)范性，\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，對(duì)于兩兩互斥的事件\(A_1,A_2,\cdots\)，有\(zhòng)(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，則稱\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.簡(jiǎn)述矩估計(jì)法的基本思想。矩估計(jì)法的基本思想是用樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩。因?yàn)闃颖緛?lái)源于總體，樣本矩在一定程度上反映了總體矩的特征。一般步驟為：先求出總體的各階矩（如均值、方差等）關(guān)于未知參數(shù)的表達(dá)式，再令樣本的各階矩等于對(duì)應(yīng)的總體矩，得到一個(gè)關(guān)于未知參數(shù)的方程組，最后解這個(gè)方程組就可得到未知參數(shù)的矩估計(jì)量。3.簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟：首先提出原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)；然后選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其在原假設(shè)成立時(shí)的分布；接著根據(jù)給定的顯著性水平\(\alpha\)，確定拒絕域；之后計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值；最后將觀測(cè)值與拒絕域進(jìn)行比較，若觀測(cè)值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)\(H_0\)，否則接受原假設(shè)\(H_0\)。4.簡(jiǎn)述隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的意義。數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量取值的一個(gè)“中心位置”的度量。它體現(xiàn)了隨機(jī)變量長(zhǎng)期取值的平均結(jié)果。方差則衡量了隨機(jī)變量取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度。方差越大，說(shuō)明隨機(jī)變量的取值越分散、波動(dòng)越大；方差越小，說(shuō)明隨機(jī)變量的取值越集中在均值附近，穩(wěn)定性越好。五、討論題1.討論在實(shí)際應(yīng)用中，如何根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)選擇合適的概率分布模型。在實(shí)際應(yīng)用中，選擇合適的概率分布模型需綜合多方面因素。首先要分析數(shù)據(jù)的特征，如數(shù)據(jù)是否離散或連續(xù)。若是離散數(shù)據(jù)，可考慮泊松分布（適用于單位時(shí)間或空間內(nèi)稀有事件發(fā)生次數(shù)）、二項(xiàng)分布（用于\(n\)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功次數(shù)）等。對(duì)于連續(xù)數(shù)據(jù)，正態(tài)分布應(yīng)用廣泛，若數(shù)據(jù)呈現(xiàn)中間多、兩邊少且對(duì)稱的特點(diǎn)，可優(yōu)先考慮。還需結(jié)合實(shí)際背景，如產(chǎn)品壽命可能符合指數(shù)分布。同時(shí)，可通過(guò)繪制數(shù)據(jù)的直方圖等直觀方式來(lái)初步判斷分布類型，再用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)等方法進(jìn)一步驗(yàn)證。2.討論參數(shù)估計(jì)中無(wú)偏性、有效性和一致性的含義及它們之間的關(guān)系。無(wú)偏性是指估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)參數(shù)，即估計(jì)量在平均意義下是正確的。有效性是指在無(wú)偏估計(jì)量中，方差越小越有效，反映估計(jì)量的波動(dòng)程度。一致性是指當(dāng)樣