13.3.1三角形的內(nèi)角人教版(2024)八年級上冊第十三章

三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1探索并證明三角形的內(nèi)角和定理2探索并掌握直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)回顧舊識在小學(xué)，通過度量或剪拼，我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和等于

180°，這樣的方法獲得的結(jié)論可靠嗎？由于測量常常有誤差，這樣驗證三角形的內(nèi)角和等于

180°，不能完全令人信服；又由于形狀不同的三角形有無數(shù)個，我們不可能用上述方法一一驗證所有三角形的內(nèi)角和等于

180°.因此，需要通過推理的方法去證明：任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°.探索新知探究你還記得在小學(xué)時如何通過剪拼的方法得出三角形的內(nèi)角和嗎？下圖給出了兩種剪拼的方法.從這個操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？BCABClBBAACl(1)(2)探索新知在(1)中，將△ABC

的∠B和∠C剪下，分別拼在∠A的左右，三個角合起來形成一個平角，出現(xiàn)一條過點

A的直線

l，移動后的∠B和∠C各有一條邊在直線

l上.想一想：直線

l與△ABC的邊

BC有什么關(guān)系？你能由這個圖想出證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的方法嗎？BCABClBBAACl(1)(2)l∥BC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)探索新知已知：△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：

過點

A作直線

l，使得

l∥BC.∵

l∥BC，∴∠2＝∠4.

(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)同理∠3＝∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角定義)，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代換).BCABCl12ABCl345由圖(2)你能給出這個定理的其他證法嗎？探索新知已知：△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：

延長

BC

到點

D，過點

C

作

CE∥BA，∵

CE∥BA，∴∠A＝∠1

(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，∠B＝∠2

(兩直線平行，同位角相等).∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角定義)，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代換).BBAAClED12CBA探索新知三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.12ABCl345思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？ED12CBA借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角(180°).借助這個核心同學(xué)們還有其他的證法嗎？典型例題例1如圖，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，

AD是

△ABC的角平分線.求

∠ADB的度數(shù).CABD解：由

∠BAC＝40°，AD是

△ABC的角平分線，得

∠BAD＝∠BAC＝20°.在

△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD

＝180°－75°－20°

＝85°.

典型例題例2如圖是

A，B，C三島的平面圖，C島在

A島的北偏東50°方向，B島在

A島的北偏東80°方向，C島在

B島的北偏西40°方向.從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB呢？分析：A，B，C三島的連線構(gòu)成

△ABC，所求的∠ACB是

△ABC的一個內(nèi)角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.50°40°30°典型例題解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.由

AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°.所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠CBE＝100°－40°＝60°.在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB

＝180°－60°－30°＝90°.答：從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是60°，從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB是90°.50°40°30°你還能給出其他解法嗎？典型例題解：過點

C作

CF∥BE，則

CF∥AD.所以∠ACF＝∠CAD＝50°，∠BCF＝∠CBE＝40°，所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝50°＋40°＝90°.因為∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°，所以在△ABC中，∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.答：從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是60°，從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB是90°.50°40°30°F探索新知直角三角形的性質(zhì)定理利用三角形的內(nèi)角和定理，可以得到一些特殊三角形的內(nèi)角的關(guān)系.如圖，在直角三角形

ABC

中，∠C＝90°，由三角形的內(nèi)角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.直角三角形的兩個銳角互余.直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形

ABC

可以寫成

Rt△ABC.ABC典型例題例3如圖，∠C＝∠D＝90°，AD，BC

相交于點

E，比較

∠CAE

與

∠DBE

的大小.解：在

Rt△ACE

中，∠CAE＝90°－∠AEC.在

Rt△BDE

中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.ABCDE探索新知思考我們知道，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形有兩個角互余.

反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？已知：△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：在△ABC中，因為∠A

＋∠B

＋∠C＝180°，又

∠A

＋∠B＝90°，所以∠C＝90°.即

△ABC是直角三角形.ABC探索新知直角三角形的判定定理有兩個角互余的三角形是直角三角形.ABC幾何語言：在△ABC中，∵∠A

＋∠B＝90°，∴△ABC

是直角三角形．證明一個三角形是直角三角形的方法1.證明三角形有一個內(nèi)角是90°(或證明三角形有兩條邊互相垂直).2.證明三角形的兩個銳角的和是90°.3.證明三角形中有一個內(nèi)角與已知的直角相等.當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測C當(dāng)堂檢測B當(dāng)堂檢測D當(dāng)堂檢測A當(dāng)堂檢測52°當(dāng)堂檢測135°當(dāng)堂檢測25°