2026屆高三微專題10.8圓錐曲線的綜合應(yīng)用一1.軌跡問題通常有以下兩類：一類是以定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法等為主,難度較低；另一類是綜合考查各種方法，難度較高.解題過程注意：=1\*GB2⑴區(qū)別“軌跡”、“軌跡方程”：求軌跡方程,求出方程即可；求軌跡,求出方程后，還應(yīng)指出方程所表示的曲線類型（定形、定位、定量）.

=2\*GB2⑵求出方程后，要確定軌跡范圍：=1\*GB3①準(zhǔn)確理解題意,挖掘隱含條件；=2\*GB3②列式不改變題意,并且要全面考慮各種情形；=3\*GB3③推理要嚴(yán)密,方程化簡要等價(jià)；=4\*GB3④消參時(shí)要保持范圍的等價(jià)性；=5\*GB3⑤數(shù)形結(jié)合,查“漏”補(bǔ)“缺”.

2.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題=1\*GB2⑴圓錐曲線中的定點(diǎn)問題

求解直線和曲線過定點(diǎn)問題的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，因方程對任意參數(shù)都成立，則參數(shù)的系數(shù)全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)，或者可以通過特例探求，再用一般化方法證明．=2\*GB2⑵圓錐曲線中的定值問題

定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值，求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

1.【人教A版選擇性必修一習(xí)題3.1第7題P115】2021年2月10日，天問一號探測器順利進(jìn)入火星的橢圓環(huán)火軌道(將火星近似看成一個(gè)球體，球心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)).2月15日17時(shí)，天問一號探測器成功實(shí)施捕獲軌道遠(yuǎn)火點(diǎn)(橢圓軌跡上距離火星表面最遠(yuǎn)的一點(diǎn))平面機(jī)動(dòng)，同時(shí)將近火點(diǎn)高度調(diào)整至約265?km.若此時(shí)遠(yuǎn)火點(diǎn)距離約為11945?km，火星半徑約為3395?km，則調(diào)整后天問一號的運(yùn)行軌跡(環(huán)火軌道曲線A.11680?km B.5840?km C.19000?km2.【人教A版選擇性必修一復(fù)習(xí)參考題3第11題P146】（多選）已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-5,0)、(5,0)，且AC、BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0)，則正確的是(

)A.當(dāng)-1<m<0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去與x軸的交點(diǎn))

B.當(dāng)m>0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去兩個(gè)頂點(diǎn))

C.當(dāng)m=-1時(shí)，點(diǎn)C在的軌跡為圓(除去與x軸的交點(diǎn))

D.當(dāng)m考點(diǎn)一圓錐曲線中的軌跡方程問題考點(diǎn)一圓錐曲線中的軌跡方程問題求軌跡方程常用方法：=1\*GB2⑴直接法：如果題且中的條件直明顯的等量關(guān)系,或者可以利用平面幾何的基本知識推出

等量關(guān)系,求方程時(shí)便可利用直接法。=2\*GB2⑵定義法：如果所給幾何條件能夠確定符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義,則可直接利用曲線定義寫出方程.

=3\*GB2⑶相關(guān)點(diǎn)法：如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(a,b),而Q(a,b)又在某一已知曲線上運(yùn)動(dòng),則可先列出關(guān)于x,y,a,b=4\*GB2⑷參數(shù)法：如果采用直接法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x,y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f(t)，=5\*GB2⑸交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用.=6\*GB2⑹幾何法:利用平面幾何或解析幾何的有關(guān)基礎(chǔ)知識去分析圖形性質(zhì),發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件,然后求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

注意：在處理軌跡問題時(shí),要特別注意運(yùn)用平面幾何知識,其作用主要有：=1\*GB3①題中沒有給出明顯的條件式時(shí),可幫助列式；=2\*GB3②簡化條件式；=3\*GB3③轉(zhuǎn)化化歸.【典例精講】例1.(2025·遼寧省沈陽市·模擬題)若圓C:x2+y2-6x=0A.x24-y25=1 B.例2.(2025·浙江省·月考試卷)已知點(diǎn)O(0,0)，A(-2,0)，B(2,0).設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2，且P為函數(shù)yA.222 B.4105 例3.(2025·廣西壯族自治區(qū)河池市·模擬題)已知F1(-3,0),F2(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1-PFA.73 B.2 C.53 【拓展提升】練1-1.(2025·福建省·聯(lián)考)已知圓O:x2+y2=4，點(diǎn)P(0,1)，點(diǎn)Q在圓O上運(yùn)動(dòng)，線段PQ的中垂線與OQ交于點(diǎn)MA.x23+y-1224=1練1-2.(2024·廣東省佛山市期末)已知雙曲線x2-y2=1與直線l:y=kx+m(k≠±1)有唯一的公共點(diǎn)A，過點(diǎn)A且與l垂直的直線分別交x軸、練1-3.(2024·湖南省衡陽市模擬題)點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面DCC1D1A.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分練1-4.(2025·浙江省紹興市·模擬題)已知點(diǎn)P在圓O:x2+y2=4上，作PD垂直于y軸，垂足為(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)直線l:y=kx+m與y軸交于點(diǎn)Q，與E交于A、B考點(diǎn)二圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題【考點(diǎn)二圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題1.定點(diǎn)問題=1\*GB2⑴參數(shù)法：根據(jù)題意引入?yún)?shù)，一般為點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的夾角等；結(jié)合條件，表示出對應(yīng)的直線方程y-y0=kx-x0,或曲線的方程fx,y+(2)特殊到一般法：從特殊位置入手，找到定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).同理，對于定值問題，可以根據(jù)特殊情況先找到這個(gè)定值，明確了解決問題的目標(biāo)，然后進(jìn)行一般情況下的推理證明.=1\*GB3①研究特殊情形從問題的特殊情形出發(fā)，如直線的斜率不存在，或直線過原點(diǎn)等，得到目標(biāo)關(guān)系所要探求的定點(diǎn)（定值）；=2\*GB3②探究一般情況；=3\*GB3③下結(jié)論綜合上面兩種情況定結(jié)論.2.定值問題=1\*GB2⑴參數(shù)法：根據(jù)問題特征,合理設(shè)定參數(shù)，=1\*GB3①參數(shù)可能為點(diǎn),若所設(shè)點(diǎn)為兩個(gè)參數(shù)時(shí),則其橫坐標(biāo)必須滿足圓錐曲線的方程，=2\*GB3②參數(shù)可能為角,題目常常將圓錐曲線上的點(diǎn)設(shè)為角的形式；=3\*GB3③參數(shù)可能為直線斜率,此時(shí)需要考慮直線斜率是否存在.用參數(shù)表示求定值的式子，聯(lián)立方程,整體代入,消去參數(shù).

=2\*GB2⑵特殊到一般法：通過考查特殊位置，探索出“定值”是多少，然后再證明這個(gè)值與變量無關(guān).【典例精講】

例4.(2025·廣東省汕頭市·模擬題)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求直線PA1、(2)過A1作直線l1⊥PA1，過A2作直線l2⊥P例5.(2025·安徽省阜陽市·月考試卷)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(1)求雙曲線C的方程；(2)記點(diǎn)A在x軸上的射影為點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線l與C交于M,N兩點(diǎn)．探究：1BM【拓展提升】練2-1.(2025·北京市·模擬題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為：(x+1)2+y2=16，定點(diǎn)F(1,0)，B是圓C上任意一點(diǎn)，線段BF的垂直平分線l和半徑BC相交于點(diǎn)T．

(1)求點(diǎn)T的軌跡W的方程；

(2)已知點(diǎn)A(-2,0)，過點(diǎn)F的一條直線，斜率不為0，交曲線W于P、Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別與直線x=3交于練2-2.(2024·湖北省黃岡市模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>0,b>0的離心率為e，點(diǎn)1,e在橢圓E上，A，B分別是橢圓(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，且三角形OMN的面積是1，設(shè)直線OM的斜率為k1，直線ON的斜率為k2，問：k1與1.(2025·廣東省揭陽市·模擬題)已知A(-2,0)，B(2,0)，設(shè)點(diǎn)P是圓x2+y2=1上的點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)Q滿足：QP?A.x2-y23=1 B.x2.(2025·全國·模擬題)已知P為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，A，B為橢圓的左，右頂點(diǎn)，令∠PAB=α，∠A.tanαtanβ B.S·tanγ C.3.(2025·湖南省長沙市·模擬題)已知雙曲線C:x2a2-(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)M(-1,0)作直線l，與C的左支相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，問：直線【答案解析】1.【人教A版選擇性必修一習(xí)題3.1第7題P115】解：設(shè)橢圓的方程為x2由橢圓的性質(zhì)可知橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為a-c，最大值為根據(jù)題意可得近火點(diǎn)滿足a-c=3395+265=3660=1\*GB3①，遠(yuǎn)火點(diǎn)滿足a+c=3395+11945=15340=2\*GB3②，

由=1\*GB3①-=2\*GB3②得2c=11680．

故選A．2.【人教A版選擇性必修一復(fù)習(xí)參考題3第11題P146】（多選）解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)，由題意知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-5,0)、(5,0)，

則直線AC的斜率kAC=yx+5(x≠-5)，直線BC的斜率kBC=yx-5(x≠5)，

因?yàn)閗AC?kBC=m，所以yx+5×yx-5=m(x≠±5)，即x225-y225m=1(x≠±5)，

對于A，當(dāng)-1<m<0時(shí)，0<-25m<25，

所以點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去與x軸的交點(diǎn))，故A錯(cuò)誤；

對于B，當(dāng)m>0時(shí)，25m>0，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去兩個(gè)頂點(diǎn))，

故B例1.解：由圓C:x2所以圓心C(3,0)，半徑為r若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線ax+by+1=0則滿足圓心到直線的距離恰好為2，即|3a+1|a2設(shè)x=5a+3y=5b，則a代入5a2-整理得x24-y2故選：A．例2.解:點(diǎn)O(0,0)，A(-2,0)，B(2,0)．

點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2，

所以點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右半支，

設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1a>0,b>0，

其中c=2,2a=2?a=1,b2=c2-a2=3，

即點(diǎn)例3.解：已知F1(-3,0),F根據(jù)雙曲線的定義可得，由于PF所以P點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，且2a即a=2，則b則P點(diǎn)的軌跡方程為x24-設(shè)Q(x,y)整理得Q點(diǎn)軌跡方程為x=所以|PQ故選：C．練1-1.解：如圖，易知|PM|=|MQ|，由橢圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以O(shè),P為焦點(diǎn)，且長軸長為2，焦距為而焦點(diǎn)在y上，長軸長為2，焦距為1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2又點(diǎn)M的軌跡的中心為(0,12)，所以點(diǎn)M的軌跡方程為x練1-2.解：聯(lián)立直線與雙曲線方程x2-y2=1y=kx+m得，(k2-1)x2+2kmx+m2+1=0，

因?yàn)閥=kx+m與雙曲線相切于A點(diǎn)，△=0，

所以△=(2km)2-4(k2-1)(m2+1)=0，化簡得m2=k練1-3.解：由正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，△APD與△BCP是直角三角形，且|AD|=|BC|，

∴△APD與△BCP的面積之比等于2，即PDPC=2，

如圖在平面DCC1D1中建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，

則D(0,0)，C(1,0)，設(shè)P(練1-4.解：(1)由題意，設(shè)點(diǎn)Px0,y0因?yàn)辄c(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)，則x=x0因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O:x2+y因此，點(diǎn)M的軌跡E的方程為x2(2)由已知可得Q(0,m)，設(shè)點(diǎn)A聯(lián)立y=kx+m4x2由已知可得，得k2+4-由韋達(dá)定理可得x1+x因?yàn)锳Q=3QB，即(-x1,-所以3(x1+x當(dāng)m2=1時(shí)，所以k2=4-m2解得1<m2<4，因此，m例4.解：(1)設(shè)P(x0,y因?yàn)殡p曲線的離心率e=3所以b2設(shè)直線PA1的斜率為kPA1所以，所以直線PA1、PA(2)證明：設(shè)Q(直線PA1的方程為y直線PA2的方程為y①×②得y2所以動(dòng)點(diǎn)Q在橢圓y2故存在兩定點(diǎn)M0,3a與解：(1)設(shè)雙曲線的焦距為2c由題意得，1解得a=2b=1c=(2)

由題意得，B-當(dāng)直線MN的斜率為零時(shí)，則1BM當(dāng)直線MN的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線MN的方程為x=my-聯(lián)立x22-則m2-2≠0Δ=24m2所以y1所以1=1綜上，1BM練2-1.解：(1)由題可得，點(diǎn)T在線段BF的垂直平分線上，則|TB|=|TF|，

所以|TC|+|TF|=|TC|+|TB|

=|CB|=4>2=|CF|，

根據(jù)橢圓定義知，

點(diǎn)T的軌跡是以(±1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)方程為：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

則2a=4，c=1，b2=4-1=3，

所以點(diǎn)T的軌跡W的方程為：x24+y23=1；

(2)證明：如圖，設(shè)直線PQ：x=my