專題25排列組合二項(xiàng)式定理歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：有順序模型：書架插書法 1題型二：先分組再排列：球放盒子模型 3題型三：不相鄰與相鄰型：人坐座位模型 4題型四：多重限制模型 6題型五：相同元素模型：數(shù)字化法 8題型六：平均分配型 10題型七：空車位型 12題型八：地圖染色 14題型九：走樓梯型 16題型十：擋板法 17題型十一：公交車與電梯型 19題型十二：立體幾何空間型 20題型十三：跳棋模型 22題型十四：不定方程模型 23題型十五：二項(xiàng)式：賦值法 25題型十六：換元型賦值 27題型十七：系數(shù)最大 29題型十八：三項(xiàng)式展開 31題型一：有順序模型：書架插書法“書架插書”模型“書架插書”模型書架插書法：、書架上原有書的順序不變；（2）、新書要一本一本插；（3）、也可以把有順序的“書”最后放，先放沒順序得，但是得從“總座位”中選（百分比法）1．（22-23高二下·云南·期中）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為A．42 B．30 C．20 D．12【答案】A【詳解】原定的5個(gè)節(jié)目之間有6個(gè)位．當(dāng)插入的這兩個(gè)新節(jié)目在一起時(shí)，有插法；當(dāng)插入的這兩個(gè)新節(jié)目不在一起時(shí)，有插法，所以總的不同插法的種數(shù)為種．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)于排列和組合的題目，常用到捆綁法和插位法．捆綁法是將一些對(duì)象看作一個(gè)對(duì)象進(jìn)行排列；插位法是將一些對(duì)象進(jìn)行排列后，再對(duì)剩下的對(duì)象進(jìn)行排列．2．（21-22高二上·黑龍江鶴崗·期末）有10本不同的書緊貼著依次立放在書架上，擺成上層3本下層7本，現(xiàn)要從下層7本中任取2本再隨機(jī)分別調(diào)整到上層，若其他書本的相對(duì)順序不變，則上層新增的2本書不相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：從下層7本中任取2本再隨機(jī)分別調(diào)整到上層，若其他書本的相對(duì)順序不變，共種方法，若新增的兩本書不相鄰，則共有種方法，所以，故選A．考點(diǎn)：1．古典概型；2．排列，組合．【方法點(diǎn)睛】主要涉及排列組合的問題，屬于基礎(chǔ)題型，對(duì)于總體中部分元素順序一定的問題，比如總體有n個(gè)元素，其中m個(gè)元素的順序一定，那方法一，先不排這m個(gè)元素，，最后這m個(gè)元素只有1種方法，或是n個(gè)元素的全排列，再除以種順序方法，對(duì)于新增的兩本書不相鄰，那就選擇插空法，，最后按古典概型求概率．3．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來5本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【答案】C【分析】依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求得不同的插法種數(shù).【詳解】將新買的3本書逐一插進(jìn)去：第1本書插入5本書形成的6個(gè)空隙中的1個(gè)，有6種插法；第2本書插入6本書形成的7個(gè)空隙中的1個(gè)，有7種插法；最后1本書插入7本書形成的8個(gè)空隙中的1個(gè)，有8種插法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的插法種數(shù)為6×7×8=336.故選：C4．（22-23高二下·上海浦東新·期中）書架上某層有8本書，新買2本插進(jìn)去，要保持原有8本書的順序，則有種不同的插法（具體數(shù)字作答）【答案】90【分析】利用定序相除法進(jìn)行求解，先求10本書的所有排法，再求原來8本書的排法，相除可得結(jié)果.【詳解】原來的8本書，加上新買的2本書，隨意排列共有種排法，原來的8本書隨意排列共有種排法，而原來特有的順序只有1種，所以共有種方法.故答案為：90.5．（23-24高二下·四川廣安·期中）班會(huì)課上原定有3位同學(xué)依次發(fā)言，現(xiàn)臨時(shí)加入甲、乙2位同學(xué)也發(fā)言，若保持原來3位同學(xué)發(fā)言的相對(duì)順序不變，且甲、乙的發(fā)言順序不能相鄰，則不同的發(fā)言順序種數(shù)為（用數(shù)字作答）【答案】12【分析】甲乙不能相鄰，則采用插空法分析即可.【詳解】在原來三位同學(xué)的發(fā)言順序一定時(shí)，他們之間及兩邊會(huì)形成4個(gè)空位，插入甲、乙2位同學(xué)，有（種）方法．故答案為：12.題型二：先分組再排列：球放盒子模型先分組后排列模型：又稱“球放盒子”先分組后排列模型：又稱“球放盒子”基礎(chǔ)型：冪指數(shù)型如四個(gè)不同的球放三個(gè)不同的盒子，有多少種方法？特征：1.先分組再排列（盡量遵循這個(gè)，否則容易出現(xiàn)重復(fù)）2.分組時(shí)候要注意是否存在“平均分配”的情況1．（2023·廣西南寧·一模）將紅、黑、藍(lán)、黃個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法的種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將4個(gè)小球分成三組，一組2個(gè)球，另外兩組分別為1個(gè)球，然后將三組球分配到個(gè)不同的盒子，有種放法，而紅球和藍(lán)球恰好放在同一個(gè)盒子里有種放法，利用間接法即可求解.【詳解】解：由題意，將4個(gè)小球分成三組，一組2個(gè)球，另外兩組分別為1個(gè)球，有種分組方法，再將三組球分配到個(gè)不同的盒子，有種分法，所以將紅、黑、藍(lán)、黃個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，有種放法，而紅球和藍(lán)球恰好放在同一個(gè)盒子里有種放法，所以紅球和藍(lán)球不能放到同一個(gè)盒子里的不同放法種數(shù)為，故選：C.2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）將A，B，C，D四個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球且A，B不能放入同一個(gè)盒子中，則不同的放法種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．20 D．42【答案】B【分析】按照放入同一盒子的球進(jìn)行分類，最后由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．【詳解】當(dāng)放入一個(gè)盒子的是時(shí)，有種不同的放法當(dāng)放入一個(gè)盒子的是時(shí)，有種不同的放法當(dāng)放入一個(gè)盒子的是時(shí)，有種不同的放法當(dāng)放入一個(gè)盒子的是時(shí)，有種不同的放法當(dāng)放入一個(gè)盒子的是時(shí)，有種不同的放法則共有種不同的放法故選B3．（20-21高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)小球和編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)盒子，現(xiàn)將這5個(gè)小球放入5個(gè)盒子中．每個(gè)盒子內(nèi)投入1個(gè)球，并且至多有1個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)是相同的，則有（

）投放方法A．45種 B．53種 C．96種 D．89種【答案】D【分析】至多有1個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)是相同的，可以分為兩種情形：第一種，五個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)全不同，第二種，恰有一球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，把兩種情形的投放方法數(shù)求出，然后再根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理相加即可.【詳解】由題意知，至多有1個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)是相同的，可以分為兩種情形：第一種，五個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)全不同的放法有種，第二種，恰有一球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法有，所以至多有1個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)是相同的投放方法有種.故選：D.4．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）桌子上有5個(gè)除顏色外完全相同的球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球，隨機(jī)拿起兩個(gè)球放入一個(gè)盒子中，則放入的球均是紅球的概率為．【答案】【分析】對(duì)5個(gè)球編號(hào)，列出所有隨機(jī)拿起兩個(gè)球取法，再求出兩球都是紅球的取法個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率求法，即可求解.【詳解】3個(gè)紅球記為，2個(gè)白球記為，隨機(jī)拿起兩個(gè)球放入一個(gè)盒子所有情況，，共有10種取法，其中都是紅球有3種，放入的球均是紅球的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.5．（22-23高二下·浙江溫州·期中）4個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不大于盒子的編號(hào)，則共有種方法（用數(shù)字作答）．【答案】175【分析】根據(jù)題意，分4種情況討論：①四個(gè)盒子都放，②4個(gè)球放到三個(gè)盒子里，③4個(gè)球放到兩個(gè)盒子里，④4個(gè)球放一個(gè)盒子，分別求出每種情況下的放法，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分4種情況討論：①四個(gè)盒子都放，每個(gè)盒子里都放1個(gè)球，將4個(gè)球全排列即可：有種情況，②4個(gè)球分組為放到三個(gè)盒子里，有種情況，③4個(gè)球分組為或放到兩個(gè)盒子里，有種情況，④4個(gè)球放一個(gè)盒子，只能放在編號(hào)為4的盒子里，有1種情況，所以共有種放法；故答案為：．題型三：不相鄰與相鄰型：人坐座位模型一人一位；一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來；5、必要時(shí)，座位拆遷，剩余座位隨人排列特征：相鄰：捆綁法捆綁的新的“大人”內(nèi)部有排列（小排列）不相鄰：插空法，一般不相鄰插入別的空隙限制條件較多。特多的限制條件，稱為“多重限制型題”，要有“主次”。屬于超難題1．（22-23高二下·湖南長(zhǎng)沙·期末）雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在剛剛結(jié)束的2022到2023賽季中國(guó)高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊(duì)員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎(jiǎng)儀式上，女籃隊(duì)員12人（其中1人為隊(duì)長(zhǎng)），教練組3人，站成一排照相，要求隊(duì)長(zhǎng)必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)捆綁法以及特殊元素優(yōu)先安排的原則，即可由排列組合以及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】選擇左右兩邊其中一邊將教練組3人捆綁看作一個(gè)整體安排共有種排法，將剩余的11名隊(duì)員全排列共有，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的站法有，故選:B.2．（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教師和4名學(xué)生排成一排照相，每位教師互不相鄰，且教師甲和學(xué)生乙必須相鄰，一共有多少種不同的排法？（

）A．144 B．288 C．576 D．720【答案】C【分析】利用捆綁法和插空法結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】先將教師甲和學(xué)生乙捆綁成一個(gè)元素，與另外3名學(xué)生全排列，則有種方法，再將剩下的兩名教師插入除去與教師甲相鄰的四個(gè)空位中，有種方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有種不同的排法，故選：C3．（21-22高二下·福建泉州·期中）2022年2月4日，中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾．衡陽市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識(shí)展板分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（

）A．24 B．48 C．144 D．244【答案】C【分析】將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排列，然后“清明”與“驚蟄”去插空即可【詳解】根據(jù)題意先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排列，有4個(gè)空，然后“清明”與“驚蟄”去插空，所以不同的放置方式有種.故選：C4．（24-25高三·上?！ふn堂例題）、、、、五人排成一排，如果必須站在的右邊，且、不相鄰，則不同的排法共有種．【答案】36【分析】先計(jì)算站在的右邊的排法，再減去、相鄰且站在的右邊的排法可得答案.【詳解】站在的右邊的排法有，、相鄰且站在的右邊的排法有，所以必須站在的右邊，且、不相鄰，則不同的排法共有種.故答案為：36.5．（23-24高二下·浙江·期中）甲乙丙丁戊5個(gè)人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相鄰，則共有種不同的排法.【答案】【分析】根據(jù)甲在中間位置以及最后一個(gè)位置，結(jié)合排列組合，即可由計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】若甲在第2，3，4位置中選擇一個(gè)位置安排甲，有種選擇，接下來安排乙，則有種方法，再安排剩余三個(gè)人，有,故一共有種方法，若甲在最后一位，則由種方法，因此一共有,故答案為：題型四：多重限制模型多重限制型，屬于“人坐座位”模型多重限制型，屬于“人坐座位”模型特征：一人一位；有順序；座位可能空；人是否都來；要時(shí)，座位拆遷，剩余座位隨人排列難題特征：相鄰：捆綁法捆綁的新的“大人”內(nèi)部有排列（小排列）不相鄰：插空法限制條件較多。特多的限制條件，稱為“多重限制型題”，屬于超難題1．（22-23高二下·河南開封·期中）三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有A．72種 B．108種 C．36種 D．144種【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用捆綁法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出結(jié)果．【詳解】解：先將男生甲與男生乙“捆綁”，有種方法，再與另一個(gè)男生排列，則有種方法，三名女生任選兩名“捆綁”，有種方法，再將兩組女生插空，插入男生3個(gè)空位中，則有種方法，利用分步乘法原理，共有種.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查乘法原理的運(yùn)用和排列知識(shí)，還運(yùn)用了捆綁法和插空法解決相鄰和不相鄰問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力．2．（21-22高三上·北京通州·期中）中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué)．某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次．講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．192種 D．120種【答案】A【分析】首先對(duì)六藝全排列，減去“射”排在第一次的情況，再減去“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的情況，最后再加上“射”排在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的情況即可求解.【詳解】將六藝全排列，有種，當(dāng)“射”排在第一次有種，“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的情況有種，“射”排在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的情況有種，所以“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰的排法有種，故選：A.3．（22-23高二下·湖南·期末）弘揚(yáng)國(guó)學(xué)經(jīng)典，傳承中華文化，國(guó)學(xué)乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經(jīng)”是國(guó)學(xué)經(jīng)典著作，“五經(jīng)”指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》．小明準(zhǔn)備學(xué)習(xí)“五經(jīng)”，現(xiàn)安排連續(xù)四天進(jìn)行學(xué)習(xí)且每天學(xué)習(xí)一種，每天學(xué)習(xí)的書都不一樣，其中《詩經(jīng)》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學(xué)習(xí)，《周易》不能安排在第一天學(xué)習(xí)，則不同安排的方式有（）A．32種 B．48種C．56種 D．68種【答案】D【分析】利用排列組合分別討論不排《周易》，排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》只安排一個(gè)，三種情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理將所有情況相加即可.【詳解】①若《周易》不排，先將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，則共有種安排方式．②若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，在《尚書》和《春秋》中先選1種，然后將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，共有種安排方式；③若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》只安排一個(gè)，先在《詩經(jīng)》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，最后將剩下的3種書全排列即可，共有種安排方式．所以共有種安排方式．故選：D4．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）陽春三月，草長(zhǎng)鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個(gè)家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春.在沿行一條小溪時(shí)，為了安全起見，他們排隊(duì)前進(jìn)，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數(shù)共有種（用數(shù)字作答）.【答案】288【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合相鄰與不相鄰問題，列式計(jì)算即得.【詳解】第一步：先將3名母親作全排列，共有種排法；第二步：將3名女寶“捆綁”在一起，共有種排法；第三步：將“捆綁”在一起的3名女寶作為一個(gè)元素，在第一步形成的2個(gè)空中選擇1個(gè)插入，有種排法；第四步：首先將2名男寶之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個(gè)媽媽中間，然后將另一個(gè)男寶插入由女寶與媽媽形成的2個(gè)空中的其中1個(gè)，共有種排法.所以不同的排法種數(shù)有：（種）.故答案為：2885．（2021·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）某校高二年級(jí)共有10個(gè)班級(jí)，5位教學(xué)教師，每位教師教兩個(gè)班級(jí)，其中姜老師一定教1班，張老師一定教3班，王老師一定教8班，秋老師至少教9班和10班中的一個(gè)班，曲老師不教2班和6班，王老師不教5班，則不同的排課方法種數(shù)．【答案】236【分析】按照特殊元素優(yōu)先處理原則，分類討論秋老師教9班，秋老師教10班的排課方法種數(shù)，但這兩種重復(fù)了秋老師同時(shí)教9班和10班的排課方法種數(shù)，減去即可得到答案.【詳解】（1）秋老師教9班，曲老師可在4,5,7,10班中選兩班，再分兩小類：①曲老師不教5班，則曲老師可選（種）；王老師可選（種）；剩余的3個(gè)班3個(gè)老師全排列安排有（種）；按分步相乘計(jì)數(shù)原理有：（種）；②曲老師教5班，則曲老師可選（種）；剩余的4個(gè)班4個(gè)老師全排列安排有（種）；按分步相乘計(jì)數(shù)原理有：（種）.按分類相加計(jì)數(shù)原理，秋老師教9班有：（種）；（2）秋老師教10班，同理也有126（種）；（3）秋老師同時(shí)教9班和10班，曲老師可在4,5,7班中選兩班，再分兩小類：①曲老師不教5班，則曲老師教4班和7班，王老師再從2,6班選一個(gè)，可選（種）；剩余的2個(gè)班2個(gè)老師全排列安排有（種）；按分步相乘計(jì)數(shù)原理有：（種）；②曲老師教5班，則曲老師可選（種）；剩余的3個(gè)班3個(gè)老師全排列安排有（種）；按分步相乘計(jì)數(shù)原理有：（種）.按分類相加計(jì)數(shù)原理，秋老師同時(shí)教9班和10班有：（種）；但秋老師同時(shí)教9班和10班在（1）和（2）兩種分類里都涉及到，所以重復(fù)需減去，故不同的排課方法種數(shù)有：（種）.故答案為：236題型五：相同元素模型：數(shù)字化法數(shù)字化法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合。特別適用于“相同元素”1．（2022·新疆·一模）如圖，一次移動(dòng)是指：從某一格開始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動(dòng)路線，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線條數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】分類分步排列即可.【詳解】由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線：（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6條，故選：B.2．（22-23高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】先求出由到的最短路徑的條數(shù)，然后求出由到且經(jīng)過的最短路徑的條數(shù)，最后相減即可.【詳解】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，所以由到不經(jīng)過的最短路徑有.故選：D.3．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A．24 B．18 C．12 D．9【答案】B【詳解】解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22＝6種走法．同理從F到G，最短的走法，有C31C22＝3種走法．∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3＝18種走法．故選B．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理、組合【名師點(diǎn)睛】分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是相互獨(dú)立的；分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相互關(guān)聯(lián)的．4．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，小明從街道的出發(fā)，選擇一條最短路徑到達(dá)處，但處正在維修不通，則不同的路線有（

）種

A．66 B．86 C．106 D．126【答案】B【分析】求出從A到C不同的路線總數(shù)，減去從A到C的過程中途經(jīng)B處的路線數(shù)，即可得出答案.【詳解】要使A到C的路徑最短，則小明到達(dá)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)后只能選擇向右或向上走到下一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，且選擇向右的次數(shù)為5，選擇向上的次數(shù)為4，總共9次選擇，所以從A到C總共有種不同的路線，同樣，從A到B相當(dāng)于在4次選擇中3次向右，1次向上，所以A到B總共有種不同的路線，從B到C相當(dāng)于在5次選擇中2次向右，3次向上，所以B到C總共有種不同的路線，故從A到C的過程中途經(jīng)B處的路線數(shù)為4×10＝40種，但B處正在維修不通，則不同的路線有126－40＝86種．故選：B.5．（21-22高二下·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動(dòng)．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F事件B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)起點(diǎn)走向終點(diǎn)所需要向上、向右走的總步數(shù)，并確定向上或向右各走的步數(shù)，則最短路徑的走法有，再利用古典概率及條件概率求法，求小明到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率、小明經(jīng)過F且從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊的概率即可.【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動(dòng)，而不能向下、向左移動(dòng)，對(duì)于①，小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數(shù)為條，錯(cuò)誤；對(duì)于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為條，正確；對(duì)于③，小明到的最短路徑走法有條，再從F處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老年公寓共有條，所以到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為，正確；對(duì)于④，由題意知：事件的走法有18條即，事件的概率，所以，錯(cuò)誤.故說法正確的個(gè)數(shù)是2.故選：B.題型六：平均分配型平均分成幾組，就除以幾組數(shù)的階乘，如果既有平均分組又有不平均分組的，也要除以相同組的組數(shù)的階乘平均分成幾組，就除以幾組數(shù)的階乘，如果既有平均分組又有不平均分組的，也要除以相同組的組數(shù)的階乘1．（【全國(guó)校級(jí)聯(lián)考】山西省臨汾一中、忻州一中、長(zhǎng)治二中、康杰中學(xué)2016-2017學(xué)校高二4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會(huì)”、“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”五個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這6個(gè)人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為A．4680 B．4770 C．5040 D．5200【答案】C【詳解】若有人參加“演講團(tuán)”，則從人選人參加該社團(tuán)，其余人去剩下個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有種情況：和，故人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為，若無人參加“演講團(tuán)”，則人參加剩下個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排安排有種情況：和，故無人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為，故滿足條件的方法數(shù)為，故選C.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分組分配問題及排列組合的綜合應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】先將紅球從數(shù)量分成，1,1,1兩種類型的分組，在分兩類研究以上不同形式下紅球放入三個(gè)不同的袋中的方法數(shù)，最后袋中不重上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)，將兩類情況的方法總數(shù)相加即可.【詳解】將個(gè)紅球分成組，每組球的數(shù)量最多個(gè)最少個(gè)，則有，1,1,1兩種組合形式，當(dāng)紅球分組形式為時(shí)，將紅球放入三個(gè)不同的袋中有放法，此時(shí)三個(gè)不同的袋中依次補(bǔ)充上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)即可.當(dāng)紅球分組形式為1,1,1時(shí)，將紅球放入三個(gè)不同的袋中有種放法，此時(shí)三個(gè)不同的袋中依次補(bǔ)充上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)即可.綜上所述：將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，不同的裝法種數(shù)為種.故選：A.3．（20-21高二·全國(guó)·單元測(cè)試）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，該書介紹了我國(guó)古代14種算法，其中積算（即籌算）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了知算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算13種均需要計(jì)算器械.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理這13種計(jì)算器械的相關(guān)資料，其中一人搜集5種，另兩人每人搜集4種，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】按先分組后分配的方法計(jì)算出不同的分配方法種數(shù).【詳解】依題意，先將13種計(jì)算器械分為3組，方法種數(shù)為，再分配給3個(gè)人，方法種數(shù)為.故選：A.4．（2021·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【分析】分析可得可以將5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，分別計(jì)算每種放球方法種數(shù)，再利用分類相加計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛蛩?個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中（1）5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中，因?yàn)槊總€(gè)盒子中至少放一個(gè)小球，所以在三個(gè)盒子中有兩種方法：各放1個(gè)，2個(gè)，2個(gè)的方法有種.各放3個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有種.（2）5個(gè)球放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，則各放2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有種.綜上，總的放球方法數(shù)為種.故選：C【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查排列組合的部分均勻分組，解題時(shí)一定要注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后一點(diǎn)要除以，考查學(xué)生的邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.5．（2024高三·全國(guó)·模擬）3名醫(yī)生和6名護(hù)士分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，有種分配方法.【答案】【分析】把3名醫(yī)生和6名護(hù)士按每組1名醫(yī)生2名護(hù)士，進(jìn)行平均分3組.注意除以均分組數(shù)的全排列.再將3個(gè)小組作為3個(gè)元素分到3所學(xué)校，這樣就有一個(gè)全排列.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.【詳解】屬于平均分組且排序型，共有.故答案為：540.【點(diǎn)睛】本題考查了平均分組分配問題，屬于基礎(chǔ)題.題型七：空車位型1．（21-22北京模擬）一個(gè)停車場(chǎng)有5個(gè)排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進(jìn)這個(gè)停車場(chǎng)，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車位空著，則不同的停車方法共有A．6種 B．12種 C．36種 D．72種【答案】B【分析】分類討論,利用捆綁法、插空法,即可得出結(jié)論.【詳解】把空著的2個(gè)相鄰的停車位看成一個(gè)整體，即2輛不同的車可以停進(jìn)4個(gè)停車場(chǎng)，由題意,若2輛不同的車相鄰,則有種方法若2輛不同的車不相鄰,則利用插空法,2個(gè)相鄰的停車位空著,利用捆綁法,所以有種方法，不同的停車方法共有：種，綜上,共有12種方法，所以B選項(xiàng)是正確的.本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用,注意空位是相同的,是關(guān)鍵.2．（22-23高二下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·階段練習(xí)）某電影院第一排共有9個(gè)座位，現(xiàn)有3名觀眾前來就座，若他們每?jī)扇硕疾荒芟噜彛乙竺咳俗笥抑炼鄡蓚€(gè)空位，則不同的坐法共有A．36種 B．42種 C．48種 D．96種【答案】C【詳解】試題分析：共有6個(gè)空位，如果3人旁邊有三個(gè)位置時(shí)空位，那就是222的空位組合，共有種情況，當(dāng)3人旁邊有4個(gè)位置有空位，那空位組合就是1122的組合，采用插空法，共有種情況，所以不同的做法就是12+36=48種情況，故選C.考點(diǎn)：1.排列；2.組合.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查的排列的方法，屬于基礎(chǔ)題型，對(duì)于不相鄰問題，一般采用插空法，例，有個(gè)不同元素，其中個(gè)不同元素不相鄰，那么排列方法種數(shù)就是，但本題還有其他的條件，每人左右至多2個(gè)空位，所以對(duì)可先對(duì)空位進(jìn)行分類，空位看成相同元素，只有個(gè)數(shù)的區(qū)分，所以可以均分為3組空位，或4組空位，任何再在空位之間排列3人，最后相加即得結(jié)果.3．（22-23高二下·河北·期末）一條長(zhǎng)椅上有6個(gè)座位，3個(gè)人坐．要求3個(gè)空位中恰有2個(gè)空位相鄰，則坐法的種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．72 D．96【答案】C【分析】分兩個(gè)相鄰空位包括最左端或最右端時(shí)和不含最左端或最右端時(shí)，兩種情況求出坐法后相加即可.【詳解】先考慮相鄰的2個(gè)空位，當(dāng)兩個(gè)相鄰空位包括最左端或最右端時(shí)，有2種情況，與空位相鄰的座位需要安排一個(gè)人，有3種選擇，剩余的3個(gè)座位，安排2個(gè)人，有種選擇，則有種選擇，當(dāng)兩個(gè)相鄰空位不含最左端或最右端時(shí)，此時(shí)有3種情況，與空位相鄰的左右座位需要安排兩個(gè)人，有種選擇，最后一個(gè)人有2種選擇，則有種選擇，綜上：坐法的種數(shù)共有個(gè).故選：C4．（16-17高二下·陜西西安·期中）某公共汽車站有6個(gè)候車位排成一排，甲、乙、丙三個(gè)乘客在該汽車站等候228路公交車的到來，由于市內(nèi)堵車，228路公交車一直沒到站，三人決定在座位上候車，且每人只能坐一個(gè)位置，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是A．48 B．54 C．72 D．84【答案】C【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將3名乘客全排列，②3名乘客排好后，有4個(gè)空位，在4個(gè)空位中任選1個(gè)，安排2個(gè)連續(xù)空座位，再在剩下的3個(gè)空位中任選1個(gè)，安排1個(gè)空座位，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將3名乘客全排列，有種情況，②3名乘客排好后，有4個(gè)空位，在4個(gè)空位中任選1個(gè)，安排2個(gè)連續(xù)空座位，有4種情況，在剩下的3個(gè)空位中任選1個(gè)，安排1個(gè)空座位，有3種情況，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車方式有種；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）地面上有并排的七個(gè)汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時(shí)倒車入庫.當(dāng)停車完畢后，恰有兩個(gè)連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有種.【答案】336【解析】根據(jù)題意從反面考慮，恰有兩個(gè)連續(xù)空車位的排法，再算出恰有兩個(gè)連續(xù)空車位，且紅、白兩車相鄰時(shí)的排法，兩數(shù)作差即可求解.【詳解】從反面考慮，恰有兩個(gè)連續(xù)空車位時(shí)有（種）情況；恰有兩個(gè)連續(xù)空車位，且紅、白兩車相鄰時(shí)有（種）情況，故所求情況有（種）故答案為：336【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，考查了捆綁法，屬于中檔題.題型八：地圖染色染色問題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：染色問題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：1.用了幾種顏色。如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓?fù)洹鞭D(zhuǎn)化染色的地圖，還要從“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”來轉(zhuǎn)化以下這倆圖，就是“拓?fù)洹币恢碌慕Y(jié)構(gòu)1．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（

）種不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．360【答案】A【分析】通過分析題目給出的圖形，可知要完成給圖中、、、、、六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，最少需要3種顏色，即同色，同色，同色，由排列知識(shí)可得該類染色方法的種數(shù)；也可以4種顏色全部用上，即，，三組中有一組不同色，同樣利用排列組合知識(shí)求解該種染法的方法種數(shù)，最后利用分類加法求和．【詳解】解：要完成給圖中、、、、、六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，染色方法可分兩類，第一類是僅用三種顏色染色，即同色，同色，同色，則從四種顏色中取三種顏色有種取法，三種顏色染三個(gè)區(qū)域有種染法，共種染法；第二類是用四種顏色染色，即，，中有一組不同色，則有3種方案不同色或不同色或不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有種染法．由分類加法原理得總的染色種數(shù)為種．故選：A．2．（22-23高二下·上海嘉定·階段練習(xí)）如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)題意，分4步依次分析區(qū)域A、B、C、D、E的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算答案.【詳解】分4步進(jìn)行分析：①對(duì)于區(qū)域A，有5種顏色可選，②對(duì)于區(qū)域B，與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選;

③對(duì)于區(qū)域C，與A、B區(qū)域相鄰,有3種顏色可選;④,對(duì)于區(qū)域D、E,若D與B顏色相同，E區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，E區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D、E有種選擇,則不同的涂色方案有種;故選：B3．（23-24高二下·湖南·階段練習(xí)）給如圖所示的5塊區(qū)域A，B，C，D，E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、橙5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（

）A．120種 B．720種 C．840種 D．960種【答案】D【分析】依次給區(qū)域涂色，求出每一步的種數(shù)，由乘法分步原理即得解.【詳解】解：A有5種顏色可選，B有4種顏色可選，D有3種顏色可選，C有4種顏色可選，E有4種顏色可選，故共有5×4×3×4×4＝960種不同的涂色方法．故選：D．4．（22-23高三浙江·模擬）用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144【答案】B【分析】對(duì)于排列組合的染色問題通常采用分步計(jì)數(shù)原理，分別為各個(gè)區(qū)域染色，即可求解.【詳解】設(shè)四種顏料為，①先涂區(qū)域B，有4中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色1；②再涂區(qū)域C，有3中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色2；③再涂區(qū)域E，有2中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色3；④若區(qū)域A填涂顏色2，則區(qū)域D、F填涂顏色1，4，或4，3，若區(qū)域A填涂顏色4，則區(qū)域D、F填涂顏色1,3或4,3，共4中不同的填涂方法，綜合①②③④，由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的填涂法.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分步計(jì)數(shù)原理，以及排列組合的染色問題，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用分步計(jì)數(shù)原理分別為各個(gè)區(qū)域染色是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.5．（23-24高二下·山西臨汾·期中）如圖，這是一面含A，B，C，D，E，F(xiàn)六塊區(qū)域的墻，現(xiàn)有含甲的五種不同顏色的油漆，一位工人要對(duì)這面墻涂色，相鄰的區(qū)域不同色，則共有種不同的涂色方法；若區(qū)域D不能涂甲油漆，則共有種不同的涂色方法.

【答案】1200960【分析】直接由分類、分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】第一空：若C，E的涂色相同，則共有種方法；若C，E的涂色不相同，則共有種方法.故共有1200種不同的涂色方法.第二空：因?yàn)閰^(qū)域D不能涂甲油漆，所以區(qū)域D的涂色方法有4種.若C，E的涂色相同，則共有種方法；若C，E的涂色不相同，則共有種方法.故共有960種不同的涂色方法.故答案為：1200，960.題型九：走樓梯型走樓梯模型，可以轉(zhuǎn)化為“數(shù)字化”模型：一步一階設(shè)為數(shù)字1，一步兩階設(shè)為數(shù)字2，一步n階，記為數(shù)字n，則把n階臺(tái)階，變?yōu)閿?shù)字“和”形式。要注意數(shù)字的奇偶時(shí)是否能取到1．（20-21高二·全國(guó)·單元測(cè)試）某人在上樓梯時(shí)，一步上一個(gè)臺(tái)階或兩個(gè)臺(tái)階，設(shè)他從平地上到第一級(jí)臺(tái)階時(shí)有f（1）種走法，從平地上到第二級(jí)臺(tái)階時(shí)有f（2）種走法……則他從平地上到第n級(jí)(n≥3)臺(tái)階時(shí)的走法f(n)等于（

）A．f(n-1)+1 B．f(n-2)+2C．f(n-2)+1 D．f(n-1)+f(n-2)【答案】D【分析】確定他如何到達(dá)第級(jí)臺(tái)階即可：有兩種走法，在第級(jí)臺(tái)階跨兩步到達(dá)，或者在第級(jí)臺(tái)階跨一步到達(dá)，由此可得所求關(guān)系式．【詳解】解：要到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階有兩種走法：（1）在第n-2級(jí)的基礎(chǔ)上到達(dá)；（2）在第n-1級(jí)的基礎(chǔ)上到達(dá)．因此有．故選：D2．（22-23高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（

）A．45種 B．36種 C．28種 D．25種【答案】C【解析】由題意可知，10級(jí)樓梯要8步走完，這8步中有6步是一步上一級(jí)，2步是一步上兩級(jí)，所以此問題轉(zhuǎn)化為從8步中選2步即為答案.【詳解】由題意，這8步中有6步是一步上一級(jí)，2步是一步上兩級(jí)，只需確定這8步中，哪2步是一步上兩級(jí)即得答案為，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是看清楚這個(gè)實(shí)際問題相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的什么問題，注意轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.3．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）數(shù)學(xué)與自然、生活相伴相隨，無論是蜂的繁殖規(guī)律，樹的分枝，還是鋼琴音階的排列，當(dāng)中都蘊(yùn)含了一個(gè)美麗的數(shù)學(xué)模型Fibonacci（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，這個(gè)數(shù)列前兩項(xiàng)都是1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前面兩項(xiàng)之和，請(qǐng)你結(jié)合斐波那契數(shù)列，嘗試解答下面的問題：小明走樓梯，該樓梯一共6級(jí)臺(tái)階，小明每步可以上一級(jí)或二級(jí)，請(qǐng)問小明的不同走法種數(shù)是（

）A．20 B．13 C．12 D．15【答案】B【分析】設(shè)級(jí)臺(tái)階的走法為，找出數(shù)列的遞推公式，求的值.【詳解】設(shè)級(jí)臺(tái)階的走法為，則，（走法有每步上一級(jí)或一步二級(jí)，共2種走法），當(dāng)時(shí)，（可以從第級(jí)臺(tái)階跨一級(jí)到達(dá)第級(jí)，或從第級(jí)臺(tái)階跨二級(jí)到達(dá)第級(jí)）.所以：，，，.故選：B4．（22-23高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）某樓梯一共有8個(gè)臺(tái)階，甲同學(xué)每步可以登一個(gè)或兩個(gè)臺(tái)階，一共用6步登上該樓梯，則甲同學(xué)登上該樓梯的不同方法數(shù)是（

）A．10 B．15 C．20 D．30【答案】B【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算即可求解.【詳解】用6步走完8個(gè)臺(tái)階，則需要的每次的步數(shù)為2，2，1，1，1，1，即需要2次兩步，4次1步，故從6步中選擇一下子走2步的即可，故完成的方法數(shù)是：種，故選：B.5．（22-23·江西·階段練習(xí)）某幢樓從二樓到三樓的樓梯共11級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用7步走完，則上樓梯的方法有______種．【答案】35【分析】從二樓到三樓用7步走完11級(jí)，七次中選四步走兩級(jí)的組合，七步中肯定是三步一級(jí)，四步兩級(jí)，共有C74種結(jié)果．【詳解】∵從二樓到三樓的樓梯共11級(jí)，規(guī)定從二樓到三樓用7步走完∴七次中選四步走兩級(jí)的組合，七步中肯定是三步一級(jí)，四步兩級(jí)，共有C74＝35種結(jié)果，故答案為35【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，注意實(shí)際問題的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．題型十：擋板法擋板法，適用于“相同元素”分配。如三好學(xué)生指標(biāo)，相同小球，各種指標(biāo)名額等等擋板法，適用于“相同元素”分配。如三好學(xué)生指標(biāo)，相同小球，各種指標(biāo)名額等等1．（20-21高二·全國(guó)·單元測(cè)試）將20個(gè)完全相同的小球放入編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)，則不同的放法種數(shù)為（

）A．1615 B．1716C．286 D．364【答案】C【分析】先在編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放0，1，2，3個(gè)球，再利用插空法即可求解.【詳解】先在編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放0，1，2，3個(gè)球，再將剩下的14個(gè)小球分成四份分別放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子里．14個(gè)球之間有13個(gè)空隙，選出3個(gè)空隙放入隔板，所以有種放法．故選：C.2．（22-23高二下·安徽合肥·期末）將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（

）A．840 B．35 C．20 D．15【答案】C【分析】利用“隔板法”即可得解．【詳解】將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，即把7個(gè)相同的球分成4組，因?yàn)槊總€(gè)盒子都有球，所以每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，不妨將7個(gè)球擺成一排，中間形成6個(gè)空，只需在這6個(gè)空插入3個(gè)隔板將它們隔開，即分成4組，不同插入方法共有種，所以每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為20．故選：C．3．（21-22高三上·山東·期中）將10個(gè)完全相同的小球放入編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)，則不同的放法種數(shù)為（）A．10 B．12 C．13 D．15【答案】D【分析】根據(jù)題意，先在2號(hào)盒子里放入1個(gè)小球，3號(hào)盒子放入2個(gè)小球，分析可得原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的7個(gè)小球放入3個(gè)小盒，每個(gè)小盒至少放一個(gè)的問題，將剩下的7個(gè)小球排成一排，分析其可用的空位，由插空法分析即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，先在2號(hào)盒子里放入1個(gè)小球，3號(hào)盒子放入2個(gè)小球，原問題即可以轉(zhuǎn)化為將剩下的7個(gè)小球放入3個(gè)小盒，每個(gè)小盒至少放一個(gè)的問題，將剩下的7個(gè)小球排成一排，排好后有6個(gè)空位可選，在6個(gè)空位中任選2個(gè)，插入擋板即可，則有種不同的放法；故選：D．4．（2023高三·全國(guó)·模擬）把1995個(gè)不加區(qū)別的小球分別放在10個(gè)不同的盒子里，使得第個(gè)盒子中至少有個(gè)球（），則不同放法的總數(shù)是A． B． C． D．【答案】D【詳解】先在第個(gè)盒里放入個(gè)球，，即第1個(gè)盒里放1個(gè)球，第2個(gè)盒里放2個(gè)球，…，這時(shí)共放了個(gè)球，還余下個(gè)球.故轉(zhuǎn)化為把1940個(gè)球任意放入10個(gè)盒子里（允許有的盒子里不放球）.把這1940個(gè)球用9塊隔板隔開，每一種隔法就是一種球的放法，1940個(gè)球連同9塊隔板共占有1949個(gè)位置，相當(dāng)于從1949個(gè)位置中選9個(gè)位置放隔板，有種放法.選D.5．（21-22高二下·重慶萬州·期中）將個(gè)完全相同的小球放入編號(hào)分別為的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)，則不同的放法種數(shù)為.【答案】84【分析】先在編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放0，1，2，3個(gè)球，再利用插空法即可求解.【詳解】先在編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放0，1，2，3個(gè)球，再將剩下的10個(gè)小球分成四份分別放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子里．10個(gè)球之間有9個(gè)空隙，選出3個(gè)空隙放入隔板，所以有種放法．故答案為：84題型十一：公交車與電梯型公交車與電梯模型，可以轉(zhuǎn)化為球放盒子，然后先分組后排列。公交車與電梯模型，可以轉(zhuǎn)化為球放盒子，然后先分組后排列。要注意是否需要剔除掉“空”盒子1．（22-23高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）車上有6名乘客，沿途有3個(gè)車站，每名乘客可任選1個(gè)車站下車，則乘客不同的下車方法數(shù)為（

）A． B． C．120 D．20【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】每名乘客都有種選法，故總的方法數(shù)為.故選：B2．（20-21高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）某公共汽車上有10位乘客，沿途5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有（

）A．510種 B．105種C．50種 D．3024種【答案】A【解析】乘客下車這個(gè)事件可以考慮每個(gè)乘客的下車方式，應(yīng)用分步乘法原理求解．【詳解】每位乘客都有5種不同的下車方式，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有510種可能的下車方式，故選：A.．3．（2020·四川達(dá)州·三模）有3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯．如果電梯正常運(yùn)行，那么恰有兩人在第4樓走出電梯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結(jié)合分步乘法、排列組合的知識(shí)可得所有基本情況數(shù)及滿足要求的情況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯,共有種不同情況；恰有兩人在第4樓走出電梯，共有種不同情況；故所求概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查了古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.4．（2022高二下·浙江寧波·學(xué)業(yè)考試）通蘇嘉甬高速鐵路起自南通西站，經(jīng)蘇州市、嘉興市后跨越杭州灣進(jìn)入寧波市，全線正線運(yùn)營(yíng)長(zhǎng)度，其中新建線路長(zhǎng)度，是《中長(zhǎng)期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中“八縱八橫”高速鐵路主通道之一的沿海通道的重要組成部分，是長(zhǎng)江三角洲城市群的重要城際通道，沿途共設(shè)南通西、張家港、常熟西、蘇州北、汾湖、嘉興北、嘉興南、海鹽西、慈溪、莊橋等10座車站.假設(shè)甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西）同時(shí)上車，在沿途剩余9站中隨機(jī)下車，兩人互不影響，則甲、乙兩人在同一站下車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】甲、乙兩人下車包含的基本事件個(gè)數(shù)為，甲、乙兩人在同一車站下車包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此算出甲、乙兩人在同一站下車的概率.【詳解】解：甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西）同時(shí)上車，沿途經(jīng)過剩余9個(gè)車站，甲、乙兩人隨機(jī)下車，互不影響，故甲、乙兩人下車包含的基本事件個(gè)數(shù)為：設(shè)“甲、乙兩人在同一車站下車為事件M”，則事件M包含的基本事件個(gè)數(shù)為：.故選：D.5．（20-21高三上·陜西西安·階段練習(xí)）汽車上有5名乘客，沿途有3個(gè)車站，每人在3個(gè)車站中隨機(jī)任選一個(gè)下車，直到乘客全部下車，不同的下站方法有種．（用數(shù)字作答）【答案】243【分析】由每位乘客可以在任意的車站下車，得到每位乘客下車的情況有3種，然后利用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】因?yàn)槊课怀丝涂梢栽谌我獾能囌鞠萝?，所以每位乘客下車的情況有3種，所以5名乘客下客站的方法有種．故答案為：243【點(diǎn)睛】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.題型十二：立體幾何空間型立體型結(jié)構(gòu)，可以“拍扁了”，“拓?fù)洹睘槠矫嫘腿旧?，這是幾何體染色的一個(gè)小技巧所以注意這類圖形之間的互相轉(zhuǎn)化1．（21-22高二下·安徽安慶·期中）如圖所示，將四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為（

）

A．120 B．96 C．72 D．48【答案】C【分析】分為同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三種情況，分別計(jì)算，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，求和即可得出答案.【詳解】由題意知，與任意一點(diǎn)均不同色.只用3種顏色，即同色，且同色，此時(shí)不同染色方法的種數(shù)為；用4種顏色，此時(shí)可能同色，而不同色或同色，而不同色.若同色，而不同色，此時(shí)不同染色方法的種數(shù)為；若同色，而不同色，此時(shí)不同染色方法的種數(shù)為.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同染色方法的種數(shù)為.故選：C.2．（20-21高二下·福建莆田·期中）正方體六個(gè)面上分別標(biāo)有A、B、C、D、E、F六個(gè)字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個(gè)面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（

）種.A．420 B．600 C．720 D．780【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)面的顏色是否相同，分①三對(duì)面染相同的顏色、②兩對(duì)面染相同顏色，另一對(duì)面染不同顏色、③一對(duì)面染相同顏色，另兩對(duì)面染不同顏色，分別求出不同的染色方案，最后加總即可.【詳解】分三類：1、若三對(duì)面染相同的顏色，則有種；2、若兩對(duì)面染相同顏色，另一對(duì)面染不同顏色，則有種；3、若一對(duì)面染相同顏色，另兩對(duì)面染不同顏色，則有種；∴共有種.故選：D3．（23-24·安徽·練習(xí)）如圖所示的幾何體是由一個(gè)正三棱錐P－ABC與正三棱柱ABC－A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有A．24種 B．18種 C．16種 D．12種【答案】D【解析】先對(duì)正三棱錐P－ABC三個(gè)表面染色，再對(duì)正三棱柱ABC－A1B1C1三個(gè)表面染色，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得結(jié)果.【詳解】先對(duì)正三棱錐P－ABC三個(gè)表面染色，有種,再對(duì)正三棱柱ABC－A1B1C1三個(gè)表面染色有種，所以共有種，選D.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4．（2022·江西撫州·模擬）已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，沒有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險(xiǎn)的現(xiàn)用編號(hào)為1，2，3的三個(gè)倉庫存放這6種化工產(chǎn)品，每個(gè)倉庫放2種，那么安全存放的不同方法種數(shù)為()A．12 B．24 C．36 D．48【答案】D【分析】先將種產(chǎn)品分成三組，然后存放在三個(gè)倉庫，由分步乘法計(jì)數(shù)原理求得安全存放的方法種數(shù).【詳解】設(shè)種產(chǎn)品分別為，畫出圖像如下圖所示，根據(jù)題意，安全的分組方法有，，，，共種，每一種分組方法安排到個(gè)倉庫，有種方法，故總的方法種數(shù)有種，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)單的排列組合問題，考查分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.5．（22-23高二下·山東·階段練習(xí)）現(xiàn)準(zhǔn)備給每面刻有不同點(diǎn)數(shù)的骰子涂色，每個(gè)面涂一種顏色，相鄰兩個(gè)面所涂顏色不能相同.若有5種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．720種 B．780種 C．600種 D．660種【答案】B【分析】從骰子的一面開始涂色，依次求出其他面的涂色情況即可.【詳解】先涂點(diǎn)數(shù)為2的區(qū)域，有5種選擇；再涂點(diǎn)數(shù)為4的區(qū)域，有4種選擇；再涂點(diǎn)數(shù)為6的區(qū)域，有3種選擇.當(dāng)點(diǎn)數(shù)為6的對(duì)面區(qū)域與點(diǎn)數(shù)為6的區(qū)域涂的顏色不同時(shí)，有兩種情況，剩下的區(qū)域分兩種情況討論：第一種情況，點(diǎn)數(shù)為4的對(duì)面區(qū)域與點(diǎn)數(shù)為4的區(qū)域涂的顏色不同，則剩下的一個(gè)區(qū)域只有1種選擇；第二種情況，點(diǎn)數(shù)為4的對(duì)面區(qū)域與點(diǎn)數(shù)為4的區(qū)域涂的顏色相同，則剩下的一個(gè)區(qū)域有2種選擇.當(dāng)點(diǎn)數(shù)為6的對(duì)面區(qū)域與點(diǎn)數(shù)為6的區(qū)域涂的顏色相同時(shí)，分兩種情況討論：第一種情況，點(diǎn)數(shù)為4的對(duì)面區(qū)域與點(diǎn)數(shù)為4的區(qū)域涂的顏色不同，有2種選擇，則剩下的一個(gè)區(qū)域也有2種選擇；第二種情況，點(diǎn)數(shù)為4的對(duì)面區(qū)域與點(diǎn)數(shù)為4的區(qū)域涂的顏色相同，則剩下的一個(gè)區(qū)域有3種選擇.故不同的涂色方案有種.故選：B題型十三：跳棋模型1．（22-23·全國(guó)·模擬）一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單位.若小青蛙經(jīng)過5次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不同的跳動(dòng)方式共有種.A．105 B．95 C．85 D．75【答案】A【詳解】分析：根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，由加法原理計(jì)算可得答案．詳解：根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，有C51=5種情況，②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，有C52=10種情況，③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，有C52A33=60種情況，④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，有C52C32=30種情況，則一共有5+10+60+30=105種情況，即有105種不同的跳動(dòng)方式．故選A．點(diǎn)睛：本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意分析青蛙左右跳動(dòng)的次數(shù)與單位．2．（23-24高三上·河南漯河·期末）一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過4次飛行后，停在位于數(shù)軸上實(shí)數(shù)3的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有（

）A．22 B．24 C．26 D．28【答案】B【分析】設(shè)出事件，分兩種情況，結(jié)合排列知識(shí)進(jìn)行求解，相加得到答案.【詳解】經(jīng)過4次飛行，停在位于數(shù)軸上實(shí)數(shù)3的點(diǎn)處，設(shè)向右飛行1個(gè)單位為事件，向右飛行2個(gè)單位為事件，情況一，滿足要求，此時(shí)只需安排好，故不同的飛行方式為種，情況二，滿足要求，此時(shí)只需安排好，故不同的飛行方式為種，綜上，小蜜蜂不同的飛行方式有種.故選：B3．（19-20高三上·北京大興·期末）動(dòng)點(diǎn)M位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，M每一次可以沿?cái)?shù)軸向左或者向右跳動(dòng)，每次可跳動(dòng)1個(gè)單位或者2個(gè)單位的距離，且每次至少跳動(dòng)1個(gè)單位的距離.經(jīng)過3次跳動(dòng)后，M在數(shù)軸上可能位置的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】D【分析】根據(jù)題意，分為動(dòng)點(diǎn)M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四種情況進(jìn)行討論，得到相應(yīng)的位置，從而得到答案.【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論：①，動(dòng)點(diǎn)M向左跳三次，3次均為1個(gè)單位，3次均為2個(gè)單位，2次一個(gè)單位，2次2個(gè)單位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，②，動(dòng)點(diǎn)M向右跳三次，3次均為1個(gè)單位，3次均為2個(gè)單位，2次一個(gè)單位，2次2個(gè)單位，故有6，5，4，3，③，動(dòng)點(diǎn)M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，④，動(dòng)點(diǎn)M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，故M在數(shù)軸上可能位置的個(gè)數(shù)為﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13個(gè)，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.4．（2023全國(guó)階段練習(xí)）一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā),每秒末必須向右、或向左、或向上、或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度,則此質(zhì)點(diǎn)在第秒末到達(dá)點(diǎn)的跳法共有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】分兩類情況討論：第一類，向右跳次，向上跳次，向下跳次，有種；第二類，向右跳次，向上跳次，向左跳次，有種；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，共有種方法，故選：B.5．（2021·湖北黃岡·模擬）點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每步走一個(gè)單位，方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥瑒t走10步時(shí)，所有可能終點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為A．66 B．45 C．55 D．72【答案】C【分析】分類討論，分別求得向右走0、1、2，…10步時(shí)，終點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用等差數(shù)列求和公式求和即可.【詳解】只向上走10步終點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，若只向右走1步，其余都向上，則終點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1；若只向右走2步，其余都向上，則終點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2；若只向右走3步，其余都向上，則終點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3；若只向右走4步，其余都向上，則終點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，…以此類推，若向右走10步，橫坐標(biāo)為10，所有可能的結(jié)果橫坐標(biāo)之和為：，故選C.題型十四：不定方程模型1．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）已知空間直角坐標(biāo)系中，，三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界）的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立不等式，再根據(jù)方程有正整數(shù)解，借助隔板法列式作答.【詳解】設(shè)三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

依題意，，，則，令，，，于是，令，即方程有正整數(shù)解，因此三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)（不包括邊界）的個(gè)數(shù)即為方程的正整數(shù)解個(gè)數(shù)，把8個(gè)相同小球排成一列，形成7個(gè)間隙，用3塊板子插入其中的3個(gè)間隙，將8個(gè)小球分成4部分，每種分法的各部分小球數(shù)即為方程的一個(gè)正整數(shù)解，共有種不同分法，所以三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)（不包括邊界）的個(gè)數(shù)為.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及形如不等式一正整數(shù)解個(gè)數(shù)問題，可以增加變量轉(zhuǎn)化為方程的不定解個(gè)數(shù)問題，再借助隔板法求解即可.2．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（

）A．833 B．884 C．5050 D．5151【答案】A【分析】利用隔板法，然后排除有兩個(gè)數(shù)相同的結(jié)果，再結(jié)合集合元素的無序性可得.【詳解】將100個(gè)小球排成一列，在101個(gè)空位（包括兩段的空位）中插入第一個(gè)擋板，再在產(chǎn)生的102個(gè)空位中插入第二個(gè)擋板，將小球分成三段，分別記每段中的小球個(gè)數(shù)為a、b、c，共有種結(jié)果，因?yàn)?，所以a、b、c中含有兩個(gè)0,1,2，…，50各有3種結(jié)果，所以a、b、c三個(gè)數(shù)各不相等的結(jié)果共有個(gè)因?yàn)槿齻€(gè)元素的每種取值有6種不同順序，所以，由集合元素的無序性可知符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A3．（22-23全國(guó)模擬）已知，則滿足的有序數(shù)組共有（

）個(gè)A． B． C． D．【答案】B【分析】從個(gè)位置中選2個(gè)位置填上或，其余位置填上0即可.【詳解】所有有序數(shù)組中,滿足的有序數(shù)組中包含個(gè)0，另外兩個(gè)數(shù)在或中選擇，每個(gè)位置有2種選擇，由乘法計(jì)數(shù)原理得不同的種數(shù)為.故選：B.4．（·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）滿足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（

）A．228 B．229 C．230 D．231【答案】D【分析】根據(jù)隔板法可求方程不同的整數(shù)解的個(gè)數(shù).【詳解】先考慮的有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)，由絕對(duì)值的和為3、4或5，可得個(gè)數(shù)為.若有一個(gè)為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，若有兩個(gè)為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，若全為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為個(gè)，故共有不同組數(shù)231.故選：D.5．（2018高三·全國(guó)·競(jìng)賽）是一個(gè)正整數(shù)，的整數(shù)組解的數(shù)目是A．4的倍數(shù) B．6的倍數(shù)C．2的倍數(shù) D．8的倍數(shù)【答案】B【詳解】如果是一組解，則，，，，也是解.由于,不全為零,則上述6組解是兩兩不相同的.選B.題型十五：二項(xiàng)式：賦值法賦值法原理：賦值法原理：1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，則的值為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】應(yīng)用賦值法得出奇偶項(xiàng)系數(shù)計(jì)算求值即可.【詳解】令，令x=1,令x=-1,，則.故選：C.2．（23-24高二下·湖南益陽·期末）已知，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令可得，令可得，即可求出，，再利用展開式的通項(xiàng)求出，即可求出，從而得解.【詳解】因?yàn)椋羁傻?，令可得，所以，，又，其中展開式的通項(xiàng)為（且），所以，所以，所以.故選：B3．（23-24高二下·廣東廣州·期中）已知，其中，則（

）A．16 B．32 C．24 D．48【答案】D【分析】由，寫出展開式的通項(xiàng)，從而得到展開式中含的項(xiàng)，即可求出，再利用賦值法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，其中展開式的通項(xiàng)為（且），所以展開式中含的項(xiàng)為，所以，解得，所以，令可得，令可得，所以.故選：D4．（23-24高二下·河北秦皇島·階段練習(xí)）已知，若，則（

）A．240 B．－240C．280 D．－280【答案】D【分析】借助賦值法令可計(jì)算出，再借助二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得解.【詳解】令，則有，即，故，即有，對(duì)，有，令，則有，即.