專題06導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用真題特點分析：1.【2022年中科大3】已知，（1）求滿足什么條件恒成立。（2）若存在,使得則滿足什么條件。答案：，q=0解析：（1）令故即.的區(qū)間只有兩段.故當(dāng).即，則有四重根，即經(jīng)過對比系數(shù)，可知.故當(dāng).即，則有兩個不同根。于是只能一個是三重根，是一重根。即綜上所述，.2【2021年清華4】恰有一個實數(shù)使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（）．A． B． C． D．答案：B解析：當(dāng)x=0不是方程解方程可以變形為，令，如圖所示，實數(shù)的取值范圍為3.【2020年清華17．】已知函數(shù)，則的最大值與最小值的和是（）．A．2 B． C．3 D．4答案:A解析：考慮為奇函數(shù)，因而的最大值與最小值的和為0，可得的最大值與最小值的和為2二、知識要點拓展一．導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若極限（*）存在，則稱函數(shù)在點可導(dǎo)，并稱其極限值為函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)，記作。若令，則（*）式可改寫為。二．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)是曲線在點處切線的斜率。若表示這個切線與軸正向的夾角，則。三．基本求導(dǎo)法則：①；②，（為常數(shù)）；③；④反函數(shù)導(dǎo)數(shù)；⑤復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)。四．基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式①（為常數(shù)）；②（為任何實數(shù)）；③，，，，，；④，；⑤；⑥。五.原函數(shù)：設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在函數(shù)，對任意都有，則稱是的一個原函數(shù)。一個函數(shù)若存在原函數(shù)，它必定有無窮多個原函數(shù)，若是的一個原函數(shù)，則表示的全體原函數(shù).六．不定積分：設(shè)是的一個原函數(shù)，則稱的全體原函數(shù)為的不定積分。記為，即。七.不定積分的性質(zhì)：①；②，③，④。八．常見積分公式，，，，，，，，。九．函數(shù)的單調(diào)性：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是（），。三、典例精講類型一：導(dǎo)數(shù)的定義例1．已知在處可導(dǎo)，且，求下列極限：（1）；（2）分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量的形式是多種多樣，但不論選擇哪種形式，也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解答：（1）（2）練習(xí)1：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且則的值為（）A．B．C．D．答案：B解答：練習(xí)2：（2000上海交大）已知在處可導(dǎo)，則。答案：解答：由導(dǎo)數(shù)定義知。類型二：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解答：練習(xí)3.,若,則的值等于（） B．C．D．答案：D解答：例3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_________________；解答：例4．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解答：。例5．觀察，，，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解答：若為偶函數(shù)令∴可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)另證：類型三：導(dǎo)數(shù)證明不等式例6．求證下列不等式（1）（相減）（2）（相除）（3）證明：（1）∴為上∴恒成立∴∴在上∴恒成立（2）原式令∴∴∴（3）令∴∴例7．已知函數(shù)，，（1）證明：當(dāng)時，恒有（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍;解答：（1）設(shè)，則=，當(dāng)時，，所以函數(shù)在（0，單調(diào)遞增，又在處連續(xù)，所以，即，所以。（2）設(shè)，則在（0，恒大于0，，，的根為0和即在區(qū)間（0，上，的根為0和若，則在單調(diào)遞減，且，與在（0，恒大于0矛盾；若，在（0，單調(diào)遞增，且，滿足題設(shè)條件，所以，所以。類型四：利用導(dǎo)數(shù)求和例8．利用導(dǎo)數(shù)求和：（1）；（2）。分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷。解答：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)得：即（2）∵，兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)得。令得：，即。類型五：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用例9．已知函數(shù)，是方程的兩個根，是的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）證明：對任意的正整數(shù)，都有；（3）記（），求數(shù)列的前項和。解答：（1）∵，是方程f(x)=0的兩個根，∴；（2），=，∵，∴有基本不等式可知（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），∴同，樣，……，（），（3），而，即，，同理，，又∴強基真題訓(xùn)練1.若，則（）A．B．C．D．1.D2.（上海交大）設(shè)，則（）-2（B）2（C）-4（D）42.D由導(dǎo)數(shù)定義知=2+2=4.3.與是定義在R上的兩個可導(dǎo)函數(shù)，若,滿足,則與滿足（）A．B．為常數(shù)函數(shù)C． D．為常數(shù)函數(shù)3.B,的常數(shù)項可以任意.4.若,則等于（）A． B．C． D．4.A5.若函數(shù)的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)的圖象是（）5.A對稱軸，直線過第一、三、四象限.6.于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有（）A．B.C.D.6.C當(dāng)時，，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，在上是減函數(shù)，故當(dāng)時取得最小值，即有得7.函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是()A．B．C．D．7.D8.設(shè)(是兩兩不等的常數(shù)),則的值是______________.8.，，9.證明下面不等式：（1）已知：，求證；（2）已知：，求證：。9.（1）令，由，∴，原不等式等價于，令，∵當(dāng)時，有，∴函數(shù)在遞增∴ 即另令，則有∴在上遞增，∴∴綜上得（2）由（1）令并相加得即得10.已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；（Ⅱ）當(dāng)時，求證:10.（Ⅰ）解：,令得當(dāng)時，當(dāng)時，又當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值0（Ⅱ）證明：由（1）知又11.設(shè)的定義域為,的導(dǎo)函數(shù)為,且對任意正數(shù)均有，(Ⅰ)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；(Ⅱ)設(shè)，，比較與的大小，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)，，，若，比較與的大小，并證明你的結(jié)論.11.解：(Ⅰ)由于得，，而，則，則，因此在上是增函數(shù).(Ⅱ)由于，，則，而在上是增函數(shù)，則，即，∴（1），同理（2）（1）+（2）得：，而，因此.（Ⅲ）證法1:由于，，則，而在上是增函數(shù)，則，即，∴同理……………以上個不等式相加得：而證法2：數(shù)學(xué)歸納法（1）當(dāng)時，由（Ⅱ）知，不等式成立；（2）當(dāng)時，不等式成立，即成立，則當(dāng)時，+再由(Ⅱ)的結(jié)論,++因此不等式對任意的自然數(shù)均成立.12.設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;(Ⅱ)對任意的實數(shù)x,證明＞(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.12.（Ⅰ）解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項，這項是（Ⅱ）證法一：因證法二：因而故只需對和進(jìn)行比較。令，有由，得因為當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時，，從而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（Ⅲ）對，且有又因，故∵，從而有成立，即存在，使得恒成立。五、強化訓(xùn)練A組1.函數(shù)的極小值、極大值分別為（）A.極小值0，極大值4B.極小值-16，極大值4C.極小值-1，極大值4D.極小值0，極大值1分析：對函數(shù)求導(dǎo)，，令是兩個駐點。因為時，；時，；時，，所以對應(yīng)極大值，對應(yīng)極小值。時，；時，答案：A2.設(shè)，則（）A.B.C.D.分析：由導(dǎo)數(shù)定義可得答案：D3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為____________分析：對函數(shù)求導(dǎo)，，則時，；時，；時，，又函數(shù)的定義域為，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為答案：4.若四次函數(shù)有四個根，則它的導(dǎo)函數(shù)有多少個根？分析：令的四個根為，且不妨設(shè)的最高次項系數(shù)大于0，則時。所以在上，在上，在上，在上，在上。所以的導(dǎo)函數(shù)有3個極值點，即有3個根答案：至多3個根5.若方程有3個不同實根，求實數(shù)的取值范圍分析：記，有3個不同實根，則應(yīng)該有2個不同實根。設(shè)，令，則時，有極大值，所以；時，有極小值，所以。所以答案：6.已知三次方程只有一個實根是正的，求的取值范圍分析：令，則(1）恒成立與題設(shè)矛盾（2）恒成立顯然不可能（3），因為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則答案：7.已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)的奇偶性（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍分析：（1）對進(jìn)行討論，為偶函數(shù)，則，為非奇非偶函數(shù)（2）由題意，在時，所以答案：（1）時為偶函數(shù)，時為非奇非偶函數(shù)；（2）8.已知三次曲線的圖象關(guān)于點中心對稱（1）求常數(shù)（2）若曲線與直線相切，求曲線的方程分析：（1）由題意，若在曲線上，則也在曲線上，即由于恒成立，所以（2）由（1）知令是的切點在該點的切線斜率為4由，又，所以，，從而答案：（1）；（2）B組1.一元三次函數(shù)的三次項系數(shù)為，的解集為（1）若有兩個相等實根，求的解析式（2）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍分析：設(shè)，則，。又因為的解集為，所以，對比系數(shù)可得（1），因為有兩個相等實根，所以（2），要使得在上單調(diào)遞減，只需在上恒成立即可。所以答案：（1）；（2）2.設(shè)三次函數(shù)，在處取得極值，其圖象在處的切線的斜率為（1）求證：（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍分析：（1），由題意可得（2）由（1）可知的，所以方程有兩個不同實根。又。所以，當(dāng)或時，；當(dāng)時，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，即答案：（1）略；（2）3.已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中，設(shè)兩曲線，有公共點，且在公共點處的切線相同（1）若，求的值（2）用表示，并求的最大值分析：（1），設(shè)與在公共點處的切線相同，由題意可知（2），設(shè)與在公共點處的切線相同，由題意可知所以令，則當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，，所以在的最大值為答案：（1）；（2），最大值為4.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為0，且，已知，求證：；分析：（1）要使函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在內(nèi)恒大于0或恒小于0當(dāng)時，在內(nèi)恒成立當(dāng)時，要使恒成立，則當(dāng)時，恒成立所以綜上所述，（2）根據(jù)題意得所以用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)時，，不等式成立假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即則當(dāng)時，所以不等式也成立。綜上所述，可得證。答案：（1）；（2）略六、高考真題訓(xùn)練1．(2022高考北京卷·第20題)已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意，有．【答案】解析:(1)因為，所以，即切點坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：因為，所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴上單調(diào)遞增．原不等式等價于，令，，即證，∵，，由(2)知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因為，∴，所以命題得證．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系【題目來源】2022高考北京卷·第20題2．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)·第21題)已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則環(huán)．【答案】(1)(2)證明見的解析【解析】(1)的定義域為，令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即，所以的取值范圍為(2)由題知,一個零點小于1,一個零點大于1不妨設(shè)要證,即證因為,即證因為,即證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以．【題目欄目】【題目來源】2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)·第21題3．(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·第22題)設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：(ⅰ)若，則；(ⅱ)若，則．(注：是自然對數(shù)的底數(shù))【答案】解析:(1)，當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為．(2)(ⅰ)因為過有三條不同的切線，設(shè)切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故(ⅱ)當(dāng)時，同(ⅰ)中討論可得：故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：，因為，故，又，設(shè)，，則方程即為：即為，記則為有三個不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設(shè)，則即，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系【題目來源】2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·第22題4．(2022新高考全國II卷·第22題)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．(2)(3)見解析解析:(1)當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為．(2)設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾．若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立．由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以．當(dāng)時，有，所以在上為減函數(shù)，所以．綜上，．(3)取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立．所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2022新高考全國II卷·第22題5．(2022新高考全國I卷·第22題)已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見解析解析：(1)的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故．的定義域為，而．當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故．當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故．因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為．綜上，．(2)由(1)可得和的最小值為．當(dāng)時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù)．設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2．設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2．當(dāng)，由(1)討論可得、僅有一個零點，當(dāng)時，由(1)討論可得、均無零點，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則．設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個零點，且：當(dāng)時，即即，當(dāng)時，即即，因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，故，此時有兩個不同的零點，此時有兩個不同的零點，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性\含參函數(shù)的單調(diào)性問題【題目來源】2022新高考全國I卷·第22題6．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)·第21題)已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)解析：【小問1詳解】的定義域為當(dāng)時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為【小問2詳解】設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng)當(dāng)所以在上有唯一零點又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減有而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點,上無零點即在上有唯一零點所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)·第21題7．(2021年高考浙江卷·第22題)設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；(3)當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足．(注：是自然對數(shù)的底數(shù))【答案】(1)時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見解析．解析:(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增．綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，令，則，記，記，又，所以時，時，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，．即實數(shù)的取值范圍是．(3)有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù)．由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時為正，從而題中的不等式得證．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2021年高考浙江卷·第22題8．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第22題)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)從下面兩個條件中選一個，證明：有一個零點①；②．【答案】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)從下面兩個條件中選一個，證明：有一個零點①；②．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2021年新高考全國Ⅱ卷·第22題9．(2021年新高考Ⅰ卷·第22題)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．【答案】解析：(1)函數(shù)的定義域為，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．(2)因為，故，即，故，設(shè)，由(1)可知不妨設(shè)．因為時，，時，，故．先證：，若，必成立．若，要證：，即證，而，故即證，即證：，其中．設(shè)，則，因為，故，故，所以，故在為增函數(shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立．設(shè)，則，結(jié)合，可得：，即：，故，要證：，即證，即證，即證：，即證：，令，則，先證明一個不等式：．設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故成立由上述不等式可得當(dāng)時，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故成立，即成立．綜上所述，．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2021年新高考Ⅰ卷·第22題10．(2021年高考全國乙卷理科·第20題)設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．(1)求a；(2)設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】；證明見詳解解析：(1)由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；(2)由(1)得，，且，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時，，單減，假設(shè)能取到，則，故；當(dāng)時，，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立【點睛】本題為難題，根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問解法并不唯一，分類討論對函數(shù)進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2021年高考全國乙卷理科·第20題11．(2021年高考全國甲卷理科·第21題)已知且，函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】(1)上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；(2)．解析：(1)當(dāng)時，,令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；(2),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，關(guān)鍵是將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2021年高考全國甲卷理科·第21題12．(2021高考北京·第19題)已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】(1)；(2)函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為．解析：(1)當(dāng)時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；(2)因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，，．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值\具體函數(shù)的最值問題【題目來源】2021高考北京·第19題13．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·第21題)已知函數(shù)．(1)當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥x3+1，求a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增．(2)【解析】(1)當(dāng)時，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增．(2)由得，，其中，①．當(dāng)x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②．當(dāng)時，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是．【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·第21題14．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第21題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x．(1)討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；(2)證明：；(3)設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤【答案】(1)當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增．(2)證明見解析；(3)證明見解析．解析：(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增(2)注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計算可得：，，，據(jù)此可得：，，即．(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有：．【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第21題15．(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷理科·第21題)設(shè)函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．(1)求b．(2)若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．【答案】(1)；(2)證明見解析解析：(1)因為，由題意，，即則；(2)由(1)可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點中存在一個絕對值大于1零點，則或，即或．當(dāng)時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點的絕對值都不大于1．【點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷理科·第21題16．(2020年新高考全國Ⅰ卷(山東)·第21題)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a取值范圍．【答案】(1)(2)解析：(1)，，．，∴切點坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為;(2)解法一：,，且．設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，,∴,∴成立．當(dāng)時，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時，∴不是恒成立．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞)．解法二：等價于,令,上述不等式等價于,顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價于，即，令,則在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，∴,，∴a的取值范圍是[1,+∞)．【題目欄目】【題目來源】2020年新高考全國Ⅰ卷(山東)·第21題17．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)(海南)·第22題)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)解析：(1)，，．，∴切點坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為;(2)解法一：,，且．設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，,∴,∴成立．當(dāng)時，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時，∴不是恒成立．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞)．解法二：等價于,令,上述不等式等價于,顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價于，即，令,則在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，∴,，∴a的取值范圍是[1,+∞)．【題目欄目】【題目來源】2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)(海南)·第22題18．(2020天津高考·第20題)已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)時，(i)求曲線在點處的切線方程；(ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)當(dāng)時，求證：對任意的，且，有．【答案】【答案】(Ⅰ)(i)；(ii)的極小值為，無極大值；(Ⅱ)證明見解析．【解析】(Ⅰ)(i)當(dāng)時，，．可得，，所以曲線在點處的切線方程為，即．(ii)依題意，．從而可得，整理可得：，令，解得．當(dāng)變化時，的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；的極小值為，無極大值．(Ⅱ)證明：由，得．對任意的，且，令，則．①令．當(dāng)時，，由此可得在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即．因為，，，所以．②由(Ⅰ)(ii)可知，當(dāng)時，，即，故③由①②③可得．所以，當(dāng)時，任意的，且，有．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2020天津高考·第20題19．(2020北京高考·第19題)已知函數(shù)．(Ⅰ)求曲線的斜率等于的切線方程；(Ⅱ)設(shè)曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)因為，所以，設(shè)切點為，則，即，所以切點為，由點斜式可得切線方程：，即．(Ⅱ)顯然，因為在點處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時，取得極小值，也是最小值為．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的概念及運算\導(dǎo)數(shù)的幾何意義【題目來源】2020北京高考·第19題20．(2019年高考浙江·第22題)已知實數(shù)，設(shè)函數(shù)，．(Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)對任意均有，求的取值范圍．注：為自然對數(shù)的底數(shù)．【答案】【意圖】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運算及其應(yīng)用，同時考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力。滿分15分?！窘馕觥?Ⅰ)當(dāng)時，，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(Ⅱ)由，得當(dāng)時，，等價于令，則設(shè)，則(ⅰ)當(dāng)時，則記，則列表討論：10單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增(1)當(dāng)時，令，則，故在上單調(diào)遞增，，由得，，由知對任意，，，即對任意，均有，綜上所述，所求的的取值范圍是．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2019年高考浙江·第22題21．(2019年高考天津理·第20題)設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時，證明；(Ⅲ)設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點，其中，證明．【答案】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、不等式證明、運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法．考查函數(shù)思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想．考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力．滿分14分．(Ⅰ)解：由已知，有．因此，當(dāng)時，有，得，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，得，則單調(diào)遞增．所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．(Ⅱ)證明：記．依題意及(Ⅰ)，有，從而．當(dāng)時，，故．因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而．所以，當(dāng)時，．(Ⅲ)證明：依題意，，即．記，則，且．由及(Ⅰ)，得．由(Ⅱ)知，當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，因此．又由(Ⅱ)知，，故．所以，．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2019年高考天津理·第20題22．(2019年高考全國Ⅲ理·第20題)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由．【答案】【答案】(1)見詳解；(2)或．【官方解析】(1)． 令，得或． 若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； 若時，在單調(diào)遞增； 若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． (2)滿足題設(shè)條件的存在．(ⅰ)當(dāng)時，由(1)知，在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，最大值為．此時滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即．(ⅱ)當(dāng)時，由(1)知，在單調(diào)遞減，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為．此時滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即．(ⅲ)當(dāng)時，由(1)知，在的最小值為，最大值為或．若，則，與矛盾．若，則或或，與矛盾．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)或，在最小值為，最大值為1．【點評】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計算．思考量不大，計算量略大．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2019年高考全國Ⅲ理·第20題23．(2019年高考全國Ⅱ理·第20題)已知函數(shù)．討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點；設(shè)是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．【答案】【答案】函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；證明見解析.【官方解析】的定義域為.因為，所以在和上是單調(diào)遞增.因為，，所以在有唯一零點，即．又，，故在有唯一零點．綜上，有且僅有兩個零點．因為，故點在曲線上．由題設(shè)知，即，故直線的斜率．曲線在點處切線的斜率是，曲線在點處切線的斜率也是，所以曲線在點處的切線也是曲線的切線．【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；先求出曲線在處的切線，然后求出當(dāng)曲線切線的斜率與斜率相等時，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.【解析】函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)的定義域為，所以，因此函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)，時，，而，顯然當(dāng)，函數(shù)有零點，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)有唯一的零點；當(dāng)時，，因為，所以函數(shù)在必有一零點，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)有唯一的零點綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個零點；因為是的一個零點，所以，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.設(shè)曲線的切點為，過切點為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為，當(dāng)切線的斜率等于直線的斜率時，即，切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線.【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學(xué)運算能力.【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2019年高考全國Ⅱ理·第20題24．(2019年高考全國Ⅰ理·第20題)已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：(1)在區(qū)間存在唯一極大值點；(2)有且僅有2個零點．【答案】解：(1)設(shè)，則，．當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點，設(shè)為．則當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點．(2)的定義域為．(i)當(dāng)時，由(1)知，在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點．(ii)當(dāng)時，由(1)知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．又，，所以當(dāng)時，．從而在沒有零點．(iii)當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減．而，，所以在有唯一零點．(iv)當(dāng)時，，所以<0，從而在沒有零點．綜上，有且僅有2個零點．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2019年高考全國Ⅰ理·第20題25．(2019年高考江蘇·第19題)設(shè)函數(shù)、為的導(dǎo)函數(shù)．(1)若，，求的值；(2)若，且和的零點均在集合中，求的極小值；(3)若，且的極大值為，求證:．【答案】【答案】見解析【解析】(1)因為，所以．因為，所以，解得．(2)因為，所以，從而．令，得或．因為，都在集合中，且，所以．此時，．令，得或．列表如下：－31+0–0+極大值極小值所以的極小值為．(3)因為，所以，．因為，所以，則有2個不同的零點，設(shè)為．由，得．列表如下：+0–0+極大值極小值所以的極大值．解法一：．因此解法二：因為，所以當(dāng)時，令，則．令，得．列表如下：+0–極大值所以當(dāng)時，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時，，因此．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2019年高考江蘇·第19題26．(2019年高考北京理·第19題)已知函數(shù)．(Ⅰ)求曲線的斜率為1的切線方程；(Ⅱ)當(dāng)時，求證：；(Ⅲ)設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為，當(dāng)最小時，求a的值．【答案】【解析】(Ⅰ)，令得或者．當(dāng)時，，此時切線方程為，即；當(dāng)時，，此時切線方程為，即；綜上可得所求切線方程為和．(Ⅱ)設(shè)，，令得或者，所以當(dāng)時，，增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；而，所以，即；又，所以，即，綜上可得．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，所以是中的較大者，若，即時，；若，即時，；所以當(dāng)最小時，，此時．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2019年高考北京理·第19題27．(2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷·第19題)(本小題滿分16分)記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點”．(1)證明：函數(shù)與不存在“S點”；(2)若函數(shù)與存在“S點”，求實數(shù)a的值；(3)已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點”，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)a的值為．(3)對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)存在“S點”．解析：(1)函數(shù)f(x)=x，g(x)=x2+2x-2，則f′(x)=1，g′(x)=2x+2．由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得，此方程組無解，因此，f(x)與g(x)不存在“S”點．(2)函數(shù)，，則，，設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S”點，由f(x0)與g(x0)且f′(x0)與g′(x0)，得，即，(*)解得，即，則，當(dāng)時，，滿足方程組(*)，即為f(x)與g(x)的“S”點．因此，a的值為．(3)對任意a>0，設(shè)，因為，，且h(x)的圖象是不間斷的，所以存在，使得，令，則b>0．函數(shù)，，則，，由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得，即(**)，此時滿足方程組(**)，即是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個“S點”．因此，對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)存在“S點”．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷·第19題28．(2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷·第22題)(本題滿分15分)已知函數(shù)．(1)若在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；(2)若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．【答案】【解法1】(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由得因為,所以．由基本不等式得因為,所以設(shè)則所以0+↘↗所以在上單調(diào)遞增,故,即(2)令,則所以,存在使,所以,對任意的及,直線曲線有公共點．由得設(shè)則其中．由(I)可知,又,故所以,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,因此方程至多1個實根．綜上，當(dāng)時，對于任意，直線與曲線有唯一公共點．【解法2】(1)，令，，，故在上單調(diào)遞增，(2)直線與曲線有唯一公共點，則有唯一解，即與有且只有一個交點，令，當(dāng)時，，，即，此時單調(diào)遞減，又時，時，，故單調(diào)且，即有唯一解，當(dāng)時，，又，即，此時，又，，，故，即．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點、方程的根的問題【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷·第22題29．(2018年高考數(shù)學(xué)天津(理)·第20題)(本小題滿分14分)已知函數(shù)，，其中．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，證明；(3)證明當(dāng)時，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線．【答案】(1)解：由已知，，則．令，解得．由，可知當(dāng)變化時，的變化情況如下表：↘極小值↗所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)證明：由可得曲線在點處的切線斜率為，由可得曲線在點處的切線斜率為因為這兩條切線平行，故有，即．兩邊取以為底的對數(shù)，得，所以．(3)證明：曲線在點處的切線，曲線在點處的切線，要證明當(dāng)時，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線．只需證明當(dāng)時，存在，使得與重合．即只需證明當(dāng)時，方程組有解，由①得，代入②，得因此只需證明當(dāng)時，關(guān)于的方程③存在實數(shù)解．設(shè)函數(shù)，既要證明當(dāng)時，函數(shù)存在零點．，可知當(dāng)時，；當(dāng)時，單調(diào)遞減，又，故存在唯一的，且，使得，即，由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值．因為，故，所以．下面證明存在實數(shù)，使得．由(1)可得，，當(dāng)時，有，所以存在實數(shù)，使得．因此，當(dāng)時，存在，使得．所以當(dāng)時，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的概念及運算\導(dǎo)數(shù)的幾何意義【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)天津(理)·第20題30．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第21題)已知函數(shù)．(1)若，證明：當(dāng)時，，當(dāng)時，；(2)若是的極大值點，求．【答案】【官方解析】當(dāng)時，，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增又，故當(dāng)時，；當(dāng)時，．(2)(i)若，由(1)知，當(dāng)時，這與是的極大值點矛盾(ii)若，設(shè)函數(shù)由于當(dāng)時，，故與符號相同又，故是的極大值點，當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點如果，則當(dāng)，且時，，故不是的極大值點如果，則存在根，故當(dāng)，且時，，所以不是的極大值點如果，則則當(dāng)時，；當(dāng)時，所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上．【民間解析】(1)法一：當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，此時記則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而所以當(dāng)時，，此時當(dāng)時，，此時法二：當(dāng)時，，則，①當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減所以時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增所以時，②當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增