第頁拓展二：空間向量基底法在立體幾何問題中的應(yīng)用空間向量在解決立體幾何有關(guān)位置關(guān)系及其延伸出來的相關(guān)問題中有著比較廣泛的應(yīng)用.在解題過程中，學(xué)生通常較偏愛于用坐標(biāo)法來解決問題，實(shí)際上，利用向量基底法求解不僅過程簡(jiǎn)潔，而且在許多問題中其往往更具有優(yōu)越性.通過向量基底法在上述平行垂直證明、角度問題、距離問題和位置關(guān)系判斷等問題中的應(yīng)用，我們發(fā)現(xiàn)合適基底的選擇是十分重要的.在計(jì)算問題中，應(yīng)該盡量選擇模已知的向量，且三個(gè)向量間的夾角也易求，而在證明問題中，這些條件可以適當(dāng)放寬.縱觀近些年的高考試卷，立體幾何解答題往往會(huì)在已知中給出兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條線段，這種方便建系的考查方式讓同學(xué)們習(xí)慣了空間直角坐標(biāo)系下的機(jī)械運(yùn)算，空間想象能力和邏輯推理能力大幅度降低.不僅如此，有時(shí)考題甚至找不到這樣的三條線段，以致于許多同學(xué)因?yàn)闊o法合理建系導(dǎo)致解題失敗.因此，也建議教師在教學(xué)中可以適當(dāng)補(bǔ)充一些向量基底法的知識(shí)，以便讓同學(xué)們充分體會(huì)到基底法使用的廣泛性和靈活性，領(lǐng)略到立體幾何學(xué)習(xí)的樂趣.知識(shí)點(diǎn)1“三個(gè)”定理共線向量定理共面向量定理空間向量基本定理對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，則稱xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.知識(shí)點(diǎn)2空間平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量．(1)線線平行：l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.(2)線面平行：l1∥α?u1⊥n1?u1·n1＝0.(3)面面平行：α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.(4)線線垂直：l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.(5)線面垂直：l1⊥α?u1∥n1??λ∈R，使得u1＝λn1.(6)面面垂直：α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.知識(shí)點(diǎn)3空間距離及向量求法分類點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到平面的距離圖形語言文字語言設(shè)u為直線l的單位方向向量，A∈l，P?l，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up7(→))，則PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2)設(shè)已知平面α的法向量為n，A∈α，P?α，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)知識(shí)點(diǎn)4空間角及向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，兩直線的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩平面的夾角平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角稱為這兩個(gè)平面的夾角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，兩平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))考點(diǎn)一平行垂直問題解題方略：對(duì)于平行垂直關(guān)系的證明，一般是結(jié)合相關(guān)空間定理和性質(zhì)，借助直觀的空間觀察和想象.當(dāng)直觀想象難以為繼，卻又不想利用坐標(biāo)化以致有殺雞用牛刀之嫌的情況下，采用向量基底法不失為一個(gè)好的選擇.【例1-1】如圖，平面，，，，，．求證：平面；【例1-2】如圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，．求證：．考點(diǎn)二角度問題解題方略：通過建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)化進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算是解決立體幾何中角度問題的"慣例"，這也是對(duì)考生數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)處理等核心素養(yǎng)的考驗(yàn).但往往建系不方便或者運(yùn)算量偏大時(shí)，向量基底法的適時(shí)引入往往能夠起到柳暗花明的效果.【例2-1】在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【例2-2】如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，．若，求二面角的正弦值．考點(diǎn)三距離問題解題方略：距離問題常以給出角度求距離的方式變相考查角度問題，另外在角度問題中涉及到的向量求模問題也是對(duì)距離問題的一種隱性考查.【例3-1】如圖，且，，且，且，平面，．若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角為，求線段的長(zhǎng)．【例3-2】如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，是的中點(diǎn)．則點(diǎn)到平面的距離為．考點(diǎn)四位置關(guān)系問題解題方略：空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判斷或證明實(shí)際是許多同學(xué)比較畏懼的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因?yàn)槠渫窍鄬?duì)抽象的空間公理的直接應(yīng)用.對(duì)于多點(diǎn)共面、多線共面和線面關(guān)系等問題的解決，向量基底法往往顯得更為形象和具體.【例4-1】如圖，在四棱錐中，平面，，，，．為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)在上，且．判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．【例4-2】圖1是由矩形、和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1、【多選】如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（

）A．AC1=6B．AC1⊥DBC．向量與的夾角是60°D．BD1與AC所成角的余弦值為2、在三棱錐中，是的中點(diǎn)，在上，且，，，，（1）試用，，表示向量；（2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的長(zhǎng).3、如圖所示，在平行四邊形中，，，沿它的對(duì)角線將折起，使與成角，求此時(shí)兩點(diǎn)間的距離．4、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)．求證：．5、如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：（1）；（2）.6、在所有棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求證:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.7、如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，求證：平面．8、如圖，正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，設(shè)，，.(1)用，，分別表示向量，；(2)求異面直線與所成角的余弦值.9、如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面，且，為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求與所成角的余弦值.題組B能力提升練1、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E是線段CD的中點(diǎn)，O在線段BE上，且，設(shè)，，．以為基底，用向量法解決下列問題．（1）用基底表示向量；（2）證明：平面BCD；（3）求點(diǎn)A到平面BCD的距離．2、二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為_________.3、如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，若G是的中點(diǎn)，，，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A．6π B．10π C．8π D．12π4、如圖，在平行六面體中，，，，，為與的交點(diǎn).若，，.(1)用，，表示，并求的長(zhǎng)；(2)求異面直線與所成角的余弦值.5、如圖，三棱錐各棱的棱長(zhǎng)都是1，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱OC上，且