北師大版9年級數學上冊期末試卷考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題24分）一、單選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、已知關于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有兩個不相等的實數根x1，x2，則x12+x22的值是（）A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣22、在正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．如圖，△ABC是格點三角形，在圖中的6×6正方形網格中作出格點三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格點三角形△ADE只算一個），這樣的格點三角形一共有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個3、如圖所示，雙曲線y＝上有一動點A，連接OA，以O為頂點、OA為直角邊，構造等腰直角三角形OAB，則△OAB面積的最小值為（

）A． B． C．2 D．24、如果，那么的結果是（

）A． B． C． D．5、下列說法中不正確的是（）A．任意兩個等邊三角形相似 B．有一個銳角是40°的兩個直角三角形相似C．有一個角是30°的兩個等腰三角形相似 D．任意兩個正方形相似6、如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點A的坐標為A（3，0），∠COA=60°，D為邊AB的中點，反比例函數y=（x>0）的圖象經過C，D兩點，直線CD與y軸相交于點E，則點E的坐標為（

）A．（0，2） B．（0，3） C．（0，5） D．（0，6）二、多選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、如圖所示是△ABC位似圖形的幾種畫法，正確的是（）A． B．C． D．2、如圖，在□ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于點E，F為DC的中點，連結EF，BF.下列結論正確的是(

)A．∠ABC=2∠ABF B．EF=BF C．S四邊形DEBC=2S△EFB D．∠CFE=4∠DEF3、用配方法解下列方程，配方錯誤的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為4、下列命題是真命題的是（）A．過線段中點的直線是線段的垂直平分線B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C．三角形的中位線將三角形的面積分成1：2兩部分D．對角線互相垂直的矩形是正方形5、如圖，反比例函數與一次函數的圖象交于A，B兩點，一次函數的圖象經過點A．下列結論正確的是（

）A． B．點B的坐標為C．連接OB，則D．點C為y軸上一動點，當△ABC的周長最小時，點C的坐標是6、如圖，在正方形中，，點在邊上，且．將沿對折至，點落在正方形內部點處，延長交邊于點，連接，．下列結論正確的是（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題76分）三、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，則m＝________．2、若函數是反比例函數，那么k的值是_____．3、寫出一個一元二次方程，使它有兩個不相等的實數根______．4、一菱形的對角線長分別為24cm和10cm，則此菱形的周長為________，面積為________．5、如圖，點E是菱形ABCD邊AB的中點，點F為邊AD上一動點，連接EF，將△AEF沿直線EF折疊得到△A'EF，連接A'D，A'C．已知BC＝4，∠B＝120°，當△A'CD為直角三角形時，線段AF的長為______．6、在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中．面積最大的三角形的斜邊長是_____．7、一個直角三角形的兩條直角邊相差5cm，面積是7cm2，則其斜邊的長是___．8、如圖，正方形ABCO的邊長為，OA與x軸正半軸的夾角為15°，點B在第一象限，點D在x軸的負半軸上，且滿足∠BDO＝15°，直線y＝kx+b經過B、D兩點，則b﹣k＝_____．四、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、如圖，在矩形中，．動點P從點A開始沿邊以的速度運動，動點Q從點C開始沿邊以的速度運動．點P和點Q分別從點A和點C同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設動點的運動時間為，則當t為何值時，四邊形是矩形？2、如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分別為E，F，且AE＝CF．(1)求證：平行四邊形ABCD是菱形；(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四邊形ABCD的面積．3、已知關于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若方程的兩個實數根都為正整數，求這個方程的根．4、如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的BC邊與x軸重合，頂點A在y軸的正半軸上，線段OB，OC（）的長是關于x的方程的兩個根，且滿足CO＝2AO．(1)求直線AC的解析式；(2)若P為直線AC上一個動點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，PD與直線AB交于點Q，設△CPQ的面積為S（），點P的橫坐標為a，求S與a的函數關系式；(3)點M的坐標為，當△MAB為直角三角形時，直接寫出m的值．5、某種病毒傳播非?？?，如果1人被感染，經過2輪感染后就會有81人被感染．(1)每輪感染中平均1人會感染幾人？(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會不會超過700人？6、定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．（1）如圖①，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求證：四邊形BEGD是“等垂四邊形”；（2）如圖②，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD≠BC，連接BD，點E，F，G分別是AD，BD，BC的中點，連接EG，FG，EF．試判定△EFG的形狀，并證明你的結論；（3）如圖③，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD＝4，BC＝8，請直接寫出邊AB長的最小值．

-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】根據一元二次方程的根與系數的關系可得x1+x2＝3，x1x2＝1，再把代數式x12+x22化為，再整體代入求值即可.【詳解】解：根據根與系數的關系得x1+x2＝3，x1x2＝1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．故選：B．【考點】本題考查的是一元二次方程的根與系數的關系，熟練的利用根與系數的關系求解代數式的值是解本題的關鍵.2、C【解析】【分析】根據題意，得出ABC的三邊之比，并在直角坐標系中找出與ABC各邊長成比例的相似三角形，并在直角坐標系中無一遺漏地表示出來．【詳解】解：ABC的三邊之比為，如圖所示，可能出現的相似三角形共有以下六種情況：所以使得△ADE∽△ABC的格點三角形一共有6個，故選：C．【考點】本題考察了在直角坐標系中畫出與已知三角形相似的圖形，解題的關鍵在于找出與已知三角形各邊長成比例的三角形，并在直角坐標系中無一遺漏地表示出來．3、C【解析】【分析】根據等腰直角三角形性質得出S△OAB＝OA?OB＝OA2，先求得OA取最小值時A的坐標，即可求得OA的長，從而求得△OAB面積的最小值．【詳解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝OB，∴S△OAB＝OA?OB＝OA2，∴OA取最小值時，△OAB面積的值最小，∵當直線OA為y＝x時，OA最小，解得或，∴此時A的坐標為（，），∴OA＝2，∴，∴△OAB面積的最小值為2，故選：C．【考點】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，求得OA取最小值時A的坐標是解題的關鍵．4、B【解析】【分析】根據比例的性質即可得到結論．【詳解】∵＝，∴可設a＝2k，b＝3k，∴＝＝－．故選B．【考點】本題主要考查了比例的性質，解本題的要點根據題意可設a，b的值，從而求出答案．5、C【解析】【分析】直接利用相似圖形的性質分別分析得出答案．【詳解】A．任意兩個等邊三角形相似，說法正確；B．有一個銳角是40°的兩個直角三角形相似，說法正確；C．有一個角是30°的兩個等腰三角形相似，30°有可能是頂角或底角，故說法錯誤；D．任意兩個正方形相似，說法正確．故選：C．【考點】本題主要考查了圖形的相似，正確把握相似圖形的判定方法是解題關鍵．6、B【解析】【分析】作CE⊥x軸于點E，過B作BF⊥x軸于F，過D作DM⊥x軸于M，設C的坐標為（x，x），表示出D的坐標，將C、D兩點坐標代入反比例函數的解析式，解關于x的方程求出x即可得到點C、D的坐標，進而求得直線CD的解析式，最后計算該直線與y軸交點坐標即可得出結果．【詳解】解：作CE⊥x軸于點E，則∠CEO=90°，過B作BF⊥x軸于F，過D作DM⊥x軸于M，則BF=CE，DM∥BF，BF=CE，∵D為AB的中點，∴AM=FM，∴DM=BF，∵∠COA=60°，∴∠OCE=30°，∴OC=2OE，CE=OE，∴設C的坐標為（x，x），∴AF=OE=x，CE=BF=x，OE=AF=x，DM=x，∵四邊形OABC是平行四邊形，A（3，0），∴OF=3+x，OM=3+x，即D點的坐標為(3+x，)，把C、D的坐標代入y=得：k=x?x=(3+x)?，解得：x1=2，x2=0（舍去），∴C（2，2），D（4，），設直線CD解析式為：y=ax+b，則，解得，∴直線CD解析式為：，∴當x=0時，，∴點E的坐標為(0，)．故選：B．【考點】本題主要考查了平行四邊形的性質、運用待定系數法求函數的解析式以及含度角的直角三角形的性質．根據反比例函數圖象經過C、D兩點，得出關于x的方程是解決問題的關鍵．二、多選題1、ABCD【解析】【分析】利用位似圖形的畫法：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．【詳解】解：第一個圖形中的位似中心為A點，第二個圖形中的位似中心為BC上的一點，第三個圖形中的位似中心為O點，第四個圖形中的位似中心為O點．故選：ABCD．【考點】本題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關鍵．2、ABC【解析】【分析】延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點H連接FH．根據等邊對等角和平行線的性質可證得∠CBF＝∠FBH，進而即可求證∠ABC＝2∠ABF；根據“AAS”證得△DFE≌△FCG，易知FE＝FG，進而可得∠EBG＝90°，根據直角三角形斜邊中線定理即可求證BF＝EF；根據全等三角形的性質可得S△DFE＝S△CFG，進而可得S四邊形DEBC＝S△EBG，進而即可求證S四邊形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF；求證四邊形BCFH是平行四邊形，進而證得四邊形BCFH是菱形，根據菱形的性質可得∠BFC＝∠BFH，進而根據等邊對等角和平行線的性質可得∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，進而即可驗證結論∠CFE=4∠DEF．【詳解】如圖，延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點H連接FH．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，∵CD＝2AD，DF＝FC，∴CF＝AD＝CB，∴∠CFB＝∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH，∴∠CBF＝∠FBH，∴∠ABC＝2∠ABF．故A選項正確；∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG，∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，∴△DFE≌△FCG（AAS），∴FE＝FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG＝90°，∴BF＝EF＝FG，故B選項正確；∵△DFE≌△FCG，∴S△DFE＝S△CFG，∴S四邊形DEBC＝S△EBG，∵FE＝FG，∴S四邊形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故C選項正確；∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，∴CF＝BH，∵CF∥BH，∴四邊形BCFH是平行四邊形，∵CF＝BC，∴四邊形BCFH是菱形，∴∠BFC＝∠BFH，∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，∴∠EFC＝3∠DEF，故D選項錯誤，故選：ABC．【考點】本題考查平行四邊形的性質和判定、菱形的判定和性質、直角三角形斜邊中線的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．3、BD【解析】【分析】根據配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；(2)把二次項的系數化為1，(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方即可得到結論．【詳解】A.化為，正確，不符合題意；B.化為，錯誤，符合題意；C.化為，正確，不符合題意；D.化為，錯誤，符合題意．故選：BD．【考點】此題考查了配方法解一元二次方程，屬于基礎題，熟練掌握配方法的一般步驟是解題關鍵．4、BD【解析】【分析】根據線段垂直平分線的定義，矩形的判定方法，三角形中位線的性質，以及正方形的判定方法逐項分析即可【詳解】解：A.過線段中點且與這條線段垂直的直線是線段的垂直平分線，故原說法錯誤；B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，正確；C.如圖，DE是△ABC的中位線，作AM⊥BC于M，交DE于N，∵DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，AN=AM，∵S△ADE==，S△ABC=，∴S△ADE=S△ABC，∴S△ADE=S四邊形BCED，∴三角形的中位線將三角形的面積分成1：3兩部分，故原說法錯誤；D.對角線互相垂直的矩形是正方形，正確；故選BD．【考點】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的定義、性質定理及判定定理．5、AC【解析】【分析】聯立求得的坐標，然后根據待定系數法即可求解反比例函數解析式，然后可得點B的坐標，則有根據割補法進行求解三角形面積，進而根據軸對稱的性質可求解當△ABC的周長最小時點C的坐標【詳解】解：聯立，解得，點坐標為．將代入，得．．反比例函數的表達式為；∴聯立，解得或．．在中，令，得．故直線與軸的交點為．如圖，過、兩點分別作軸的垂線，交軸于、兩點，則．過點A作y軸的對稱點D，連接BD，交y軸于點C，此時△ABC的周長為最小，如圖所示：∴，設直線BD的解析式為，則有：，解得：，∴直線BD的解析式為，令x=0時，則有，∴；綜上所述：正確的有AC選項；故選AC【考點】本題考查了反比例函數與一次函數的交點，體現了方程思想，數形結合是解題的關鍵．6、ABC【解析】【分析】根據正方形的性質得出AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°，求出DE＝2，AF＝AB，根據HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG，推出BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，設BG＝x，則CG＝BC﹣BG＝6﹣x，GE＝GF+EF＝BG+DE＝x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出（6﹣x）2+42＝（x+2）2，求出x＝3，得出BG＝GF＝CG，求出∠AGB＝∠FCG，再根據等角的余角相等即可證得∠BAG＝∠FCE，根據GF＝3，EF＝2可得GF＝GE，進而S△FGC＝S△GCE＝，由此即可求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°．∵CD＝3DE，∴DE＝2，CE＝4．∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，∴AF＝AB．∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故A選項正確；∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，設BG＝x，則CG＝BC﹣BG＝6﹣x，GE＝GF+EF＝BG+DE＝x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2＝EG2．∵CG＝6﹣x，CE＝4，EG＝x+2，∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴BG＝GF＝CG＝3，故B選項正確；∵CG＝GF，∴∠CFG＝∠FCG，∵∠BGF＝∠CFG+∠FCG，又∵∠BGF＝∠AGB+∠AGF，∴∠CFG+∠FCG＝∠AGB+∠AGF，∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，∴∠AGB＝∠FCG，∵∠B＝∠BCD＝90°，∴∠BAG+∠AGB＝∠FCE+∠FCG＝90°，∴∠BAG＝∠FCE，故C選項正確；∵GF＝3，EF＝2，∴GF＝GE，∴S△FGC＝S△GCE＝×CG·CE＝××3×4＝，故D選項錯誤，故選：ABC．【考點】本題考查了翻折變換，正方形性質，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的運用，依據翻折的性質找出其中對應相等的線段和對應相等的角是解題的關鍵．三、填空題1、－1【解析】【分析】根據一元二次方程的定義m-1≠0，且，解答即可．【詳解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，∴m-1≠0，且，∴m-1≠0，且，∴，故答案為：-1．【考點】本題考查了一元二次方程的定義即含有一個未知數且含未知數項的次數最高是2的整式方程，熟練掌握定義是解題的關鍵．2、0【解析】【分析】直接利用反比例函數的定義得出答案．【詳解】∵函數是反比例函數，∴k2﹣3k﹣1＝﹣1且3﹣k≠0，解得：k1＝0，k2＝3，（不合題意舍去）∴k=0．故答案為：0．【考點】本題主要考查反比例函數的定義，掌握反比例函數的定義，是解題的關鍵．3、x2+x﹣1＝0（答案不唯一）【解析】【分析】這是一道開放自主題，只要寫出的方程的Δ＞0就可以了．【詳解】解：比如a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程為x2+x﹣1＝0．故答案為：x2+x﹣1＝0（答案不唯一）【考點】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握“根的判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．4、

52cm

120cm2【解析】【分析】根據菱形對角線互相平分且垂直得到邊長，從而計算出周長，再根據面積公式計算出面積．【詳解】解：∵菱形的對角線長分別為24cm和10cm，∴對角線的一半長分別為12cm和5cm，∴菱形的邊長為：=13cm，∴菱形的周長為：13×4=52cm，面積為：×10×24=120cm2．故答案為：52cm，120cm2．【考點】此題主要考查學生對菱形的性質的理解及運用，屬于基礎題，關鍵是掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半．5、2或【解析】【分析】分當時和當時兩種情況討論求解即可．【詳解】解：如圖1所示，當時，取CD中點H，連接，∴，∵四邊形ABCD是菱形，E為AB中點，∴，∠A=180°-∠B=60°，，由折疊的性質可知，，∴，連接EH，∵，∴四邊形AEHD是平行四邊形，∴，，∵由三角形三邊的關系可知，當點不在線段EH上時，必有，這與矛盾，∴E、、H三點共線，∴，∴△AEF為等邊三角形，∴；如圖2所示，當時，連接BD，ED，過點F作FG⊥AB于G，∵∠ABC=120°，四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∵E是AB中點，∴DE⊥AB，∴∠ADE=30°，∴∠EDC=90°，∴此時三點共線，由翻折的性質可得，∵FG⊥AE，∠A=60°，∠AEF=45°，∴∠AFG=30°，∠GFE=45°，∴AF=2AG，EG=FG，∴，∵，∴，∴，故答案為：2或．【考點】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的性質與判定，折疊的性質，三角形三邊的關系，含30度角的直角三角形的性質，平行四邊形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．6、5【解析】【分析】根據相似三角形的性質確定兩直角邊的比值為1：2，以及6×6網格圖形中，最長線段為6，進行嘗試，可確定、、為邊的這樣一組三角形滿足條件．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，∴AB=，AC：BC=1：2，∴與Rt△ABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1：2，若該三角形最短邊長為4，則另一直角邊長為8，但在6×6網格圖形中，最長線段為6，但此時畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點都在格點且長為8的線段，故最短直角邊長應小于4，在圖中嘗試，可畫出DE=，EF=2，DF=5的三角形，∵===，∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF=∠C=90°，∴此時△DEF的面積為：×2÷2=10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長為：5．故答案為：5．【考點】本題考查了作圖-應用與設計、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．7、cm【解析】【分析】設較短的直角邊長是xcm，較長的就是（x+5）cm，根據面積是7cm，求出直角邊長，根據勾股定理求出斜邊長．【詳解】解：設這個直角三角形的較短直角邊長為xcm，則較長直角邊長為（x＋5）cm，根據題意，得，所以，解得，，因為直角三角形的邊長為正數，所以不符合題意，舍去，所以x＝2，當x＝2時，x＋5＝7，由勾股定理，得直角三角形的斜邊長為＝＝cm．故答案為：cm．【考點】本題考查了勾股定理，一元二次方程的應用，關鍵是知道三角形面積公式以及直角三角形中勾股定理的應用．8、2﹣．【解析】【分析】連接OB，過點B作BE⊥x軸于點E，根據正方形的性質可得出∠AOB的度數及OB的長，結合三角形外角的性質可得出∠BDO＝∠DBO，利用等角對等邊可得出OD＝OB，進而可得出點D的坐標，在Rt△BOE中，通過解直角三角形可得出點B的坐標，由點B，D的坐標，利用待定系數法可求出k，b的值，再將其代入（b﹣k）中即可求出結論．【詳解】解：連接OB，過點B作BE⊥x軸于點E，如圖所示．∵正方形ABCO的邊長為，∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝2．∵OA與x軸正半軸的夾角為15°，∴∠BOE＝45°﹣15°＝30°．又∵∠BDO＝15°，∴∠DBO＝∠BOE﹣∠BDO＝15°，∴∠BDO＝∠DBO，∴OD＝OB＝2，∴點D的坐標為（﹣2，0）．在Rt△BOE中，OB＝2，∠BOE＝30°，∴BE＝OB＝1，OE＝＝，∴點B的坐標為（，1）．將B（，1），D（﹣2，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴b﹣k＝4﹣2﹣（2﹣）＝2﹣．故答案為：2﹣．【考點】此題考查的是正方形的性質、等腰三角形的判定、直角三角形的性質和求一次函數的解析式，掌握正方形的性質、等角對等邊、30°所對的直角邊是斜邊的一半、勾股定理和利用待定系數法求一次函數解析式是解決此題的關鍵．四、解答題1、【解析】【分析】如圖，根據題意表示出AP=4t，DQ=20-t；根據矩形的對邊相等，求出t的值，即可解決問題．【詳解】解：由題意得：AP=4t，DQ=20-t；∵四邊形APQD是矩形，∴AP=DQ，即4t=20-t，解得：t=4（s）．即當t=4s時，四邊形APQD是矩形．【考點】該題主要考查了矩形的判定及其性質的應用問題；解題的一般策略是靈活運用矩形的性質來分析、判斷、解答．2、(1)見解析(2)120【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，利用全等三角形的判定和性質得出，，依據菱形的判定定理（一組鄰邊相等的平行四邊形的菱形）即可證明；（2）連接AC，交BD于點H，利用菱形的性質及勾股定理可得，再根據菱形的面積公式求解即可得．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴平行四邊形ABCD是菱形；(2)解：如圖所示：連接AC，交BD于點H，∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，在中，，∴，∴平行四邊形ABCD的面積為：．【考點】題目主要考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，菱形的判定和性質及其面積公式，勾股定理等，理解題意，熟練掌握各個性質定理是解題關鍵．3、證明見祥解；．【解析】【分析】（1）先求出判別式，再配方變?yōu)榧纯?；?）用十字相乘法可以求出根的表達式，方程的兩個實數根都為正整數，列不等式組，即可得出m的值．【詳解】證明：∵是關于的一元二次方程，，∴此方程總有兩個實數根．解：∵，∴，∴，．∵方程的兩個實數根都為正整數，，解得，，∴．．【考點】本題考查了根的判別式，配方為平方式，根據方程的兩個實數根都為正整數，列出不等式組，求出是解題的關鍵．4、(1)；(2)；(3)m的值為－3或－1或2或7；【解析】【分析】（1）根據一元二次方程的解求出OB和OC的長度，然后得到點B，點C坐標和OA的長度，進而得到點A坐標，最后使用待定系數法即可求出直線AC的解析式；（2）根據點A，點B坐標使用待定系數法求出直線AB的解析式，根據直線AB解析式和直線AC解析式求出點P，Q，D坐標，進而求出PQ和CD的長度，然后根據三角形面積公式求出S，最后對a的值進行分類討論即可；（3）根據△MAB的直角頂點進行分類討論，然后根據勾股定理求解即可．(1)解：解方程得，，∵線段OB，OC（）的長是關于x的方程的兩個根，∴OB＝1，OC＝6，∴，，∵CO＝2AO，∴OA＝3，∴，設直線AC的解析式為，把點，代入得，解得，∴直線AC的解析式為；(2)解：設直線AB的解析式為y=px+q，把，代入直線AB解析式得，解得，∴直線AB的解析式為，∵PD⊥x軸，垂足為D，PD與直線AB交于點Q，點P的橫坐標為a，∴，，，∴，，∴，當點P與點A或點C重合時，即當a=0或時，此時S=0，不符合題意，當時，，當時，，當時，，∴；(3)解：∵，，，∴，，，當∠MAB=90°時，，∴，解得，當∠ABM=90°時，，∴，解得m=7，當∠AMB=90°時，，∴，解得，，∴m的值為－3或－1或2或7．【考點】本題考查解一元二次方程、待定系數法求一次函數解析式、三角形面積公式、勾股定理，正確應用分類討論思想是解題關鍵．5、(1)8人(2)會【解析】【分析】（1）設每輪感染中平均一個人會感染x個人，根據一個人被感染經過兩輪感染后就會有81個人被感染，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據3輪感染后被感染的人數=2輪感染后被感染的人數×（1+8），即可求出3輪感染后被感染的人數，再將其與700進行比較后即可得出結論．(1)設每輪感染中平均1人會感染x人，依題意，得1＋x＋x（1＋x）＝81，解得x1＝8，x2＝－10（不合題意，舍去）．答：每輪感染中平均1人會感染8人．(2)81×（1＋8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會超過700人．【考點】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．6、∴拋物線的解析式為y＝x（2）①∵A（1，2），