七年級(jí)數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題專項(xiàng)訓(xùn)練題動(dòng)點(diǎn)問題是七年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，它融合了代數(shù)表達(dá)與幾何直觀，能夠有效考察學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力以及動(dòng)態(tài)分析能力。解決這類問題，關(guān)鍵在于“動(dòng)中求靜”，即將動(dòng)態(tài)的問題通過參數(shù)表示轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的代數(shù)關(guān)系，再利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解。下面，我們將通過一系列專項(xiàng)訓(xùn)練題，幫助同學(xué)們掌握解決動(dòng)點(diǎn)問題的基本思路與常用方法。一、解題錦囊：動(dòng)點(diǎn)問題常用策略在開始訓(xùn)練之前，我們先梳理一下解決動(dòng)點(diǎn)問題的常用策略，希望同學(xué)們能牢記于心：1.明確動(dòng)點(diǎn)軌跡與速度：仔細(xì)讀題，確定動(dòng)點(diǎn)在什么圖形上運(yùn)動(dòng)（如直線、射線、線段、數(shù)軸等），運(yùn)動(dòng)的方向如何，速度是多少（包括勻速、變速等情況，七年級(jí)主要涉及勻速）。2.設(shè)元表示關(guān)鍵量：通常設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)（單位根據(jù)題意確定，如秒），然后根據(jù)速度和時(shí)間，表示出動(dòng)點(diǎn)在\(t\)時(shí)刻所處位置對(duì)應(yīng)的數(shù)或線段長(zhǎng)度。這是將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題的核心步驟。3.借助圖形分析關(guān)系：畫出圖形，在圖形中標(biāo)出已知條件和動(dòng)點(diǎn)在某一時(shí)刻的位置，利用數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形中各幾何量（如線段長(zhǎng)度、角度大小、圖形面積等）之間的關(guān)系。4.依據(jù)等量關(guān)系列方程（或代數(shù)式）：根據(jù)題目中的已知條件或隱含的等量關(guān)系（如線段相等、倍數(shù)關(guān)系、位置關(guān)系等），列出關(guān)于\(t\)的方程或代數(shù)式。5.求解并檢驗(yàn)：解方程，得到\(t\)的值，并根據(jù)實(shí)際情況（如動(dòng)點(diǎn)是否在指定范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)）對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn)，確保答案的合理性。二、專項(xiàng)訓(xùn)練題（一）數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題題目1已知數(shù)軸上有兩點(diǎn)\(A\)、\(B\)，點(diǎn)\(A\)表示的數(shù)為\(-2\)，點(diǎn)\(B\)表示的數(shù)為\(6\)。動(dòng)點(diǎn)\(P\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)，以每秒\(2\)個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)\(Q\)從點(diǎn)\(B\)出發(fā)，以每秒\(1\)個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)秒（\(t>0\)）。（1）當(dāng)\(t=1\)時(shí)，求線段\(PQ\)的長(zhǎng)度。（2）運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間后，點(diǎn)\(P\)和點(diǎn)\(Q\)相遇？相遇點(diǎn)表示的數(shù)是多少？思路點(diǎn)撥：對(duì)于數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，其位置可以用起始點(diǎn)表示的數(shù)加上（或減去）運(yùn)動(dòng)的路程來表示。路程=速度×?xí)r間。相遇問題即兩點(diǎn)表示的數(shù)相等時(shí)的情況。解答：（1）由題意可知：點(diǎn)\(P\)從表示\(-2\)的點(diǎn)出發(fā)，以每秒\(2\)個(gè)單位長(zhǎng)度向正方向運(yùn)動(dòng)，\(t\)秒后，點(diǎn)\(P\)表示的數(shù)為：\(-2+2t\)。點(diǎn)\(Q\)從表示\(6\)的點(diǎn)出發(fā)，以每秒\(1\)個(gè)單位長(zhǎng)度向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，\(t\)秒后，點(diǎn)\(Q\)表示的數(shù)為：\(6-t\)。當(dāng)\(t=1\)時(shí)，點(diǎn)\(P\)表示的數(shù)為：\(-2+2×1=0\)。點(diǎn)\(Q\)表示的數(shù)為：\(6-1×1=5\)。所以，線段\(PQ\)的長(zhǎng)度為\(|5-0|=5\)（單位長(zhǎng)度）。（2）當(dāng)點(diǎn)\(P\)和點(diǎn)\(Q\)相遇時(shí)，它們表示的數(shù)相等。即：\(-2+2t=6-t\)移項(xiàng)，得：\(2t+t=6+2\)合并同類項(xiàng)，得：\(3t=8\)解得：\(t=\frac{8}{3}\)所以，運(yùn)動(dòng)\(\frac{8}{3}\)秒后，點(diǎn)\(P\)和點(diǎn)\(Q\)相遇。此時(shí)相遇點(diǎn)表示的數(shù)為：\(-2+2×\frac{8}{3}=-2+\frac{16}{3}=\frac{10}{3}\)。題目2數(shù)軸上點(diǎn)\(A\)表示的數(shù)為\(-4\)，點(diǎn)\(B\)表示的數(shù)為\(8\)。點(diǎn)\(M\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)，以每秒\(3\)個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)\(N\)從點(diǎn)\(B\)出發(fā)，以每秒\(2\)個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)秒。（1）若點(diǎn)\(M\)和點(diǎn)\(N\)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過多少秒后，\(MN=2\)個(gè)單位長(zhǎng)度？（2）若點(diǎn)\(M\)先出發(fā)\(2\)秒后，點(diǎn)\(N\)才出發(fā)，問點(diǎn)\(N\)出發(fā)后經(jīng)過多少秒，點(diǎn)\(M\)與點(diǎn)\(N\)之間的距離為\(5\)個(gè)單位長(zhǎng)度？思路點(diǎn)撥：第（1）問，\(MN=2\)有兩種情況：相遇前距離為\(2\)，相遇后距離為\(2\)，需分類討論。第（2）問，點(diǎn)\(M\)先出發(fā)\(2\)秒，所以點(diǎn)\(M\)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間比點(diǎn)\(N\)多\(2\)秒，同樣要考慮點(diǎn)\(N\)出發(fā)后，點(diǎn)\(M\)和點(diǎn)\(N\)相遇前、相遇后兩種相距\(5\)個(gè)單位長(zhǎng)度的情況。解答：（1）點(diǎn)\(M\)表示的數(shù)為：\(-4+3t\)。點(diǎn)\(N\)表示的數(shù)為：\(8-2t\)。\(MN=|(-4+3t)-(8-2t)|=|5t-12|\)。依題意，\(|5t-12|=2\)。則有\(zhòng)(5t-12=2\)或\(5t-12=-2\)。當(dāng)\(5t-12=2\)時(shí)，\(5t=14\)，\(t=\frac{14}{5}\)。當(dāng)\(5t-12=-2\)時(shí)，\(5t=10\)，\(t=2\)。所以，經(jīng)過\(2\)秒或\(\frac{14}{5}\)秒后，\(MN=2\)個(gè)單位長(zhǎng)度。（2）點(diǎn)\(M\)先出發(fā)\(2\)秒，則點(diǎn)\(M\)先運(yùn)動(dòng)的路程為\(3×2=6\)個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)\(M\)表示的數(shù)為\(-4+6=2\)。設(shè)點(diǎn)\(N\)出發(fā)后經(jīng)過\(t\)秒，點(diǎn)\(M\)與點(diǎn)\(N\)之間的距離為\(5\)個(gè)單位長(zhǎng)度。則此時(shí)點(diǎn)\(M\)表示的數(shù)為：\(2+3t\)（因?yàn)辄c(diǎn)\(N\)出發(fā)后，點(diǎn)\(M\)繼續(xù)以每秒\(3\)個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)）。點(diǎn)\(N\)表示的數(shù)為：\(8-2t\)。\(MN=|(2+3t)-(8-2t)|=|5t-6|\)。依題意，\(|5t-6|=5\)。則有\(zhòng)(5t-6=5\)或\(5t-6=-5\)。當(dāng)\(5t-6=5\)時(shí)，\(5t=11\)，\(t=\frac{11}{5}\)。當(dāng)\(5t-6=-5\)時(shí)，\(5t=1\)，\(t=\frac{1}{5}\)。所以，點(diǎn)\(N\)出發(fā)后經(jīng)過\(\frac{1}{5}\)秒或\(\frac{11}{5}\)秒，點(diǎn)\(M\)與點(diǎn)\(N\)之間的距離為\(5\)個(gè)單位長(zhǎng)度。（二）幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題題目3如圖，已知線段\(AB=12\)cm，點(diǎn)\(C\)為線段\(AB\)上一點(diǎn)，\(BC=4\)cm。點(diǎn)\(P\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)，以每秒\(2\)cm的速度沿\(AB\)向點(diǎn)\(B\)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)\(Q\)從點(diǎn)\(C\)出發(fā)，以每秒\(1\)cm的速度沿\(CB\)向點(diǎn)\(B\)運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)秒（\(t\geq0\)）。（注：七年級(jí)不涉及復(fù)雜圖形繪制，此處“如圖”僅為表述習(xí)慣，實(shí)際解題可自行畫圖）（1）直接寫出線段\(AC\)的長(zhǎng)度。（2）當(dāng)點(diǎn)\(P\)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)\(C\)時(shí)，求點(diǎn)\(Q\)所經(jīng)過的路程。（3）在點(diǎn)\(P\)從點(diǎn)\(A\)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)\(B\)的過程中（點(diǎn)\(P\)不與點(diǎn)\(B\)重合），是否存在某一時(shí)刻\(t\)，使得\(PB=2CQ\)？若存在，求出\(t\)的值；若不存在，說明理由。思路點(diǎn)撥：（1）利用線段的和差關(guān)系可直接求出\(AC\)。（2）先求出點(diǎn)\(P\)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)\(C\)所需的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間也是點(diǎn)\(Q\)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再乘以點(diǎn)\(Q\)的速度即可。（3）分別表示出\(t\)時(shí)刻\(PB\)和\(CQ\)的長(zhǎng)度，根據(jù)\(PB=2CQ\)列方程求解，并注意\(t\)的取值范圍（點(diǎn)\(P\)從\(A\)到\(B\)，點(diǎn)\(Q\)從\(C\)到\(B\)，\(Q\)先到達(dá)終點(diǎn)）。解答：（1）因?yàn)閈(AB=12\)cm，\(BC=4\)cm，且點(diǎn)\(C\)在\(AB\)上，所以\(AC=AB-BC=12-4=8\)cm。（2）點(diǎn)\(P\)從\(A\)到\(C\)的距離為\(AC=8\)cm，速度為每秒\(2\)cm，所以點(diǎn)\(P\)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)\(C\)所需時(shí)間為\(t=\frac{AC}{速度}=\frac{8}{2}=4\)秒。點(diǎn)\(Q\)與點(diǎn)\(P\)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也為\(4\)秒，速度為每秒\(1\)cm，所以點(diǎn)\(Q\)經(jīng)過的路程為\(1×4=4\)cm。（此時(shí)點(diǎn)\(Q\)恰好到達(dá)點(diǎn)\(B\)）（3）存在。由題意：點(diǎn)\(P\)從\(A\)出發(fā)，速度為每秒\(2\)cm，\(t\)秒后，\(AP=2t\)cm。因?yàn)閈(AB=12\)cm，所以\(PB=AB-AP=(12-2t)\)cm。點(diǎn)\(Q\)從\(C\)出發(fā)，速度為每秒\(1\)cm，\(t\)秒后，\(CQ=1×t=t\)cm。但點(diǎn)\(Q\)從\(C\)運(yùn)動(dòng)到\(B\)只需\(4\)秒（如第（2）問），所以當(dāng)\(t>4\)時(shí)，點(diǎn)\(Q\)已停止運(yùn)動(dòng)，\(CQ=CB=4\)cm。而點(diǎn)\(P\)從\(A\)運(yùn)動(dòng)到\(B\)所需時(shí)間為\(\frac{12}{2}=6\)秒，故\(t\)的取值范圍是\(0\leqt<6\)。分兩種情況討論：①當(dāng)\(0\leqt\leq4\)時(shí)，\(CQ=t\)cm。若\(PB=2CQ\)，則\(12-2t=2t\)解得\(4t=12\)，\(t=3\)。\(t=3\)在\(0\leqt\leq4\)范圍內(nèi)，符合題意。②當(dāng)\(4<t<6\)時(shí)，點(diǎn)\(Q\)已到達(dá)\(B\)，\(CQ=4\)cm。若\(PB=2CQ\)，則\(12-2t=2×4\)即\(12-2t=8\)解得\(-2t=-4\)，\(t=2\)。但\(t=2\)不在\(4<t<6\)范圍內(nèi)，故舍去。綜上所述，當(dāng)\(t=3\)秒時(shí)，\(PB=2CQ\)。題目4已知在一個(gè)直角三角形\(ABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=6\)cm，\(BC=8\)cm。點(diǎn)\(P\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)沿\(AC\)方向向點(diǎn)\(C\)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒\(1\)cm；同時(shí)點(diǎn)\(Q\)從點(diǎn)\(C\)出發(fā)沿\(CB\)方向向點(diǎn)\(B\)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒\(2\)cm。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)秒（\(0<t<4\)）。（注：\(t<4\)是因?yàn)辄c(diǎn)\(Q\)運(yùn)動(dòng)到\(B\)點(diǎn)需\(8/2=4\)秒）（1）用含\(t\)的代數(shù)式表示線段\(PC\)和\(QC\)的長(zhǎng)度。（2）在\(P\)、\(Q\)運(yùn)動(dòng)過程中，線段\(PQ\)的長(zhǎng)度能否等于\(4\)cm？若能，求出\(t\)的值；若不能，說明理由。思路點(diǎn)撥：（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，結(jié)合線段的初始長(zhǎng)度，可表示出\(PC\