初中函數(shù)基礎(chǔ)知識點(diǎn)總結(jié)與習(xí)題講解函數(shù)，作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，不僅是代數(shù)學(xué)習(xí)的深化，更是連接代數(shù)與幾何的橋梁，同時也為高中階段更復(fù)雜的函數(shù)學(xué)習(xí)奠定基石。理解函數(shù)的概念、掌握基本函數(shù)的圖像與性質(zhì)，是解決各類數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。本文將系統(tǒng)梳理初中階段函數(shù)的基礎(chǔ)知識，并結(jié)合典型習(xí)題進(jìn)行講解，助力同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，提升解題能力。一、函數(shù)的基本概念1.1函數(shù)的定義在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。*核心要素：*兩個變量：通常為x（自變量）和y（因變量/函數(shù)值）。*唯一性：對于自變量x的每一個確定的值，函數(shù)值y有且只有一個值與之對應(yīng)。這是判斷是否為函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵。1.2函數(shù)的三種表示方法1.解析法：用數(shù)學(xué)式子（等式）表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，如y=2x+1，y=3/x等。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡潔、精確，便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算。2.列表法：通過列出表格來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，如平方根表、三角函數(shù)表等。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀明了，可以直接找到對應(yīng)值。3.圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的圖形來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢和某些性質(zhì)。在解決實(shí)際問題時，我們常常需要根據(jù)具體情況選擇合適的表示方法，或者將幾種方法結(jié)合起來使用。二、一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）2.1一次函數(shù)的定義一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。其中，x是自變量，y是因變量。*正比例函數(shù)：當(dāng)b=0時，一次函數(shù)y=kx+b就變成了y=kx（k是常數(shù)，且k≠0），這時我們稱y是x的正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式。2.2一次函數(shù)的圖像*形狀：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線。因此，一次函數(shù)也被稱為線性函數(shù)。*畫法：由于兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖像時，只需描出圖像上的兩個點(diǎn)，再過這兩點(diǎn)畫一條直線即可。通常選擇與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：*與y軸的交點(diǎn)：令x=0，得y=b，即點(diǎn)(0,b)。*與x軸的交點(diǎn)：令y=0，得x=-b/k(k≠0)，即點(diǎn)(-b/k,0)。對于正比例函數(shù)y=kx，它的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)的一條直線，因此只需再確定一個點(diǎn)（通常取(1,k)）即可畫出。2.3一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的性質(zhì)主要由系數(shù)k和b決定：1.k的符號決定函數(shù)的增減性：*當(dāng)k>0時，y的值隨x值的增大而增大，函數(shù)圖像從左到右上升。*當(dāng)k<0時，y的值隨x值的增大而減小，函數(shù)圖像從左到右下降。*k的絕對值大小決定了直線的傾斜程度，|k|越大，直線越陡。2.b的符號決定函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)位置：*當(dāng)b>0時，函數(shù)圖像與y軸交于正半軸。*當(dāng)b=0時，函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)（正比例函數(shù)）。*當(dāng)b<0時，函數(shù)圖像與y軸交于負(fù)半軸。3.直線y=kx+b的位置：由k和b共同決定，可以大致判斷直線經(jīng)過的象限。2.4正比例函數(shù)的性質(zhì)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)作為一次函數(shù)的特例，除了具有一次函數(shù)的一般性質(zhì)外，還有其特殊性：*圖像必過原點(diǎn)。*當(dāng)k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大。*當(dāng)k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。三、反比例函數(shù)3.1反比例函數(shù)的定義一般地，形如y=k/x（k是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。*反比例函數(shù)的表達(dá)式還可以寫成y=kx?1或xy=k（k≠0）的形式。*自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是y≠0的一切實(shí)數(shù)。3.2反比例函數(shù)的圖像*反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)的圖像是由兩條曲線組成的，叫做雙曲線。*由于x≠0，y≠0，所以雙曲線的兩個分支都無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不會與坐標(biāo)軸相交。3.3反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)的性質(zhì)主要由系數(shù)k的符號決定：1.圖像所在象限：*當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。*當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限。2.增減性：*當(dāng)k>0時，在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減小。*當(dāng)k<0時，在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而增大。*注意：談?wù)摲幢壤瘮?shù)的增減性時，必須強(qiáng)調(diào)“在每一象限內(nèi)”，因?yàn)樗膱D像是不連續(xù)的兩個分支。3.對稱性：反比例函數(shù)的圖像既是中心對稱圖形（對稱中心是原點(diǎn)），也是軸對稱圖形（對稱軸是直線y=x和y=-x）。四、典型習(xí)題講解習(xí)題1：函數(shù)概念的辨析題目：下列各圖中，能表示y是x的函數(shù)的是（）A.（一個x對應(yīng)兩個y的圖像，如拋物線水平放置）B.（一個x對應(yīng)一個y的圖像，如直線）C.（一個x對應(yīng)兩個y的圖像，如圓）D.（一個x對應(yīng)兩個y的圖像，如折線）思路分析：根據(jù)函數(shù)的定義，對于x的每一個確定的值，y必須有唯一確定的值與之對應(yīng)。即，在圖像上，過x軸上任意一點(diǎn)作垂直于x軸的直線，若該直線與圖像有且只有一個交點(diǎn)，則y是x的函數(shù)。解答：選項(xiàng)B中，對于每一個x值，垂直于x軸的直線與圖像只有一個交點(diǎn)，符合函數(shù)定義。而A、C、D選項(xiàng)中，均存在某個x值，使得垂直于x軸的直線與圖像有兩個交點(diǎn)，即一個x對應(yīng)兩個y值，不符合函數(shù)定義。答案：B點(diǎn)評：本題直接考查函數(shù)的核心定義——“唯一性”。解決此類問題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)圖像的直觀判斷方法：垂直于x軸的直線與函數(shù)圖像最多只有一個交點(diǎn)。習(xí)題2：一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)題目：已知一次函數(shù)y=(m-1)x+m2-1。(1)若函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)，求m的值。(2)若函數(shù)圖像與y軸交于正半軸，且y隨x的增大而減小，求m的取值范圍。思路分析：(1)函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)，將x=0，y=0代入函數(shù)解析式即可求出m的值，但要注意一次函數(shù)的系數(shù)k≠0。(2)“與y軸交于正半軸”意味著常數(shù)項(xiàng)b>0；“y隨x的增大而減小”意味著斜率k<0。據(jù)此列出關(guān)于m的不等式組求解，并注意k≠0的隱含條件。解答：(1)因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)，所以將x=0，y=0代入y=(m-1)x+m2-1，得：0=(m-1)*0+m2-1即m2-1=0，解得m=1或m=-1。又因?yàn)樵摵瘮?shù)是一次函數(shù)，所以m-1≠0，即m≠1。綜上，m=-1。(2)因?yàn)楹瘮?shù)圖像與y軸交于正半軸，所以常數(shù)項(xiàng)m2-1>0。因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以斜率m-1<0。且函數(shù)為一次函數(shù)，m-1≠0（此條件已包含在m-1<0中）。解不等式組：①m2-1>0→(m+1)(m-1)>0→m<-1或m>1。②m-1<0→m<1。綜合①和②，取公共部分得m<-1。答案：(1)m=-1；(2)m<-1。點(diǎn)評：本題綜合考查了一次函數(shù)的定義、圖像與系數(shù)的關(guān)系。解決此類問題需要牢記一次函數(shù)y=kx+b中k和b的幾何意義及對函數(shù)性質(zhì)的影響，并注意挖掘題目中的隱含條件，如一次函數(shù)要求k≠0。習(xí)題3：反比例函數(shù)的應(yīng)用題目：已知反比例函數(shù)y=k/x(k為常數(shù)，k≠0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)。(1)求這個反比例函數(shù)的解析式。(2)判斷點(diǎn)B(-1,6)是否在這個函數(shù)的圖像上，并說明理由。(3)若點(diǎn)C(x?,y?)和點(diǎn)D(x?,y?)都在這個函數(shù)的圖像上，且x?<0<x?，比較y?和y?的大小。思路分析：(1)函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)A，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出k的值。(2)要判斷點(diǎn)B是否在函數(shù)圖像上，只需將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，看等式是否成立。(3)先由k的符號判斷函數(shù)圖像所在的象限及增減性，再結(jié)合x?和x?的符號（即點(diǎn)C、D所在的象限）來比較y?和y?的大小。解答：(1)因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=k/x的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，所以將x=2，y=3代入y=k/x，得：3=k/2，解得k=6。所以這個反比例函數(shù)的解析式為y=6/x。(2)判斷點(diǎn)B(-1,6)是否在圖像上：將x=-1代入y=6/x，得y=6/(-1)=-6。因?yàn)?6≠6，所以點(diǎn)B(-1,6)不在這個函數(shù)的圖像上。(3)由(1)知k=6>0，所以反比例函數(shù)y=6/x的圖像在第一、三象限。在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。因?yàn)辄c(diǎn)C(x?,y?)中x?<0，所以點(diǎn)C在第三象限，因此y?<0。點(diǎn)D(x?,y?)中x?>0，所以點(diǎn)D在第一象限，因此y?>0。所以y?<y?。答案：(1)y=6/x；(2)不在，理由見解析；(3)y?<y?。點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)解析式的確定、點(diǎn)與函數(shù)圖像的關(guān)系以及反比例函數(shù)的性質(zhì)。第(3)小題比較函數(shù)值大小時，不能簡單地根據(jù)x的大小關(guān)系，而應(yīng)先判斷點(diǎn)所在的象限，再利用各象限內(nèi)的增減性或象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行比較。習(xí)題4：一次函數(shù)與一元一次方程、不等式的關(guān)系題目：如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過A(-2,0)、B(0,3)兩點(diǎn)。(1)求此一次函數(shù)的解析式。(2)根據(jù)圖像，直接寫出不等式kx+b>0的解集。(3)求該函數(shù)圖像與x軸、y軸圍成的三角形的面積。思路分析：(1)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=kx+b，得到關(guān)于k、b的方程組，解方程組即可求出k、b的值。(2)不等式kx+b>0的解集，即為函數(shù)圖像上y值大于0的部分所對應(yīng)的x的取值范圍，可通過觀察圖像直接得出。(3)函數(shù)圖像與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，所以O(shè)A的長度為A點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值，OB的長度為B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值。三角形OAB的面積為(OA*OB)/2。解答：(1)將A(-2,0)、B(0,3)代入y=kx+b，得：0=-2k+b3=0*k+b解得b=3，將b=3代入第一個方程：0=-2k+3→2k=3→k=3/2。所以此一次函數(shù)的解析式為y=(3/2)x+3。(2)不等式kx+b>0，即y>0。觀察圖像可知，當(dāng)x>-2時，函數(shù)圖像在x軸上方，即y>0。所以不等式kx+b>0的解集為x>-2。(3)由A(-2,0)可知，OA=|-2|=2。由B(0,3)可知，OB=|3|=3。所以三角形OAB的面積S=(OA*OB)/2=(2*3)/2=3。答案：(1)y=(3/2)x+3；(2)x>-2；(3)3。點(diǎn)評：本題綜合考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系以及一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積計(jì)算。利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過觀察函數(shù)圖像解決不等式問題，是一種直觀高效的方法。求面積時，關(guān)鍵是確定與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段長度。五、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議函數(shù)的學(xué)習(xí)，首先要深刻理解其概念的內(nèi)涵，即“兩個變量”和“唯一對應(yīng)”。在此基礎(chǔ)上，要重點(diǎn)掌握一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）和反比例函數(shù)的定義、