第10章概率10.1隨機(jī)事件與概率數(shù)學(xué)必修第二冊（人教A版）10.1.4概率的基本性質(zhì)導(dǎo)入新課若隨機(jī)事件A和B互斥,A,B發(fā)生的概率均不是0,且P(A)=2-t,P(B)=4t-5,則實數(shù)t的取值范圍是多少?概率的基本性質(zhì)精彩課堂1.概念形成前面已學(xué)過古典概型的概率,任意事件的概率的取值范圍是什么?如果兩個事件互為對立事件,那么它們的概率有什么特點(diǎn)?如果兩個事件是互斥事件,那么它們的概率又有什么特點(diǎn)?精彩課堂概率的基本性質(zhì):性質(zhì)1對任意的事件A,都有P(A)≥0.(概率的非負(fù)性)性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0.性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性質(zhì)5如果A?B,那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6設(shè)A,B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).精彩課堂2.概念深化問題1任何事件、必然事件、不可能事件的概率分別有什么特點(diǎn)?任何事件的概率都是非負(fù)的;在每次試驗中,必然事件一定發(fā)生,不可能事件一定不會發(fā)生.性質(zhì)1對任意的事件A,都有P(A)≥0.(概率的非負(fù)性)性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0.精彩課堂問題2(1)設(shè)事件A與事件B互斥,和事件A∪B的概率與事件A,B的概率之間具有怎樣的關(guān)系?(2)如果事件A和事件B互為對立事件,它們的概率又有什么關(guān)系呢?因為事件A與事件B互斥,即A與B不含有相同的樣本點(diǎn),所以n(A∪B)=n(A)+n(B),這等價于P(A∪B)=P(A)+P(B),即兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件的概率之和.因為事件A和事件B互為對立事件,所以和事件A∪B為必然事件,即P(A∪B)=1.結(jié)合(1)中討論,得1=P(A∪B)=P(A)+P(B).精彩課堂概率的基本性質(zhì):性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).

針對所得到的性質(zhì)3,如果不是兩個事件互斥,而是多個事件兩兩互斥,其概率間又有什么關(guān)系呢?如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).精彩課堂【注意】

(1)對立事件一定是互斥事件,且互為對立事件的兩個事件概率之和為1,但互斥事件的概率之和不一定是1.(2)互斥事件的概率加法公式應(yīng)用的前提是“事件A和事件B互斥”,否則不可以用這個公式.實際上,對于事件A,B,有P(A∪B)≤P(A)+P(B),只有當(dāng)事件A和事件B互斥時,等號才成立.(3)性質(zhì)4適用于一個事件的概率不容易直接求出,但其對立事件的概率易于求出的情況.精彩課堂問題3函數(shù)具有單調(diào)性,那么概率也具有單調(diào)性嗎?一般地,對于事件A與事件B,如果A?B,即事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,那么事件A的概率不超過事件B的概率.性質(zhì)5如果A?B,那么P(A)≤P(B).由性質(zhì)5可以知道,對于任意事件A,因為??A?Ω,所以0≤P(A)≤1.精彩課堂問題4對于性質(zhì)3,如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B),如果這里對于事件A和事件B的互斥關(guān)系不作要求,而是任意兩個事件,結(jié)論還成立嗎?精彩課堂思考

在10.1.2節(jié)例6的摸球試驗中,“兩個球中有紅球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等嗎?如果不相等,請你說明原因,并思考如何計算P(R1∪R2).

精彩課堂概率的基本性質(zhì):性質(zhì)6設(shè)A,B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

概率的一般加法公式與互斥事件的概率加法公式在限制條件上有區(qū)別:在公式P(A)+P(B)=P(A∪B)中,事件A,B是互斥事件;在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.顯然,性質(zhì)3是性質(zhì)6的特殊情況.精彩課堂3.應(yīng)用舉例例1一個盒子中裝有各種顏色的大小形狀完全相同的球共12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球，從中任取1個球.設(shè)事件A=“取出1個紅球”,事件B=“取出1個黑球”,事件C=“取出1個白球”,事件D=“取出1個綠球”,且P(A)=152,P(B)=3,P(C)=言，P(D)=12(1)求“取出1個球為紅球或黑球”的概率；(2)求“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率.精彩課堂解：由題意知P(A)=152,P(B)=3,P(C)=6,P(D)=1,且事件A,B,C,D彼此為互斥事件.(1)“取出1個球為紅球或黑球”的概率P(AUB)=P(A)+P(B)=152+3=3(2)方法一：“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=123+6=12方法二：“取出1個球為紅球或黑球或白球”的對立事件為“取出1個球為綠球”,即AUBUC的對立事件為D,所以“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率P(AUBUC)=1-P(D)=1-1=12精彩課堂【解題技巧】對于一個復(fù)雜的概率問題,可以從兩個角度分析:一方面可以將其分解為幾個互斥的簡單事件,利用互斥事件的概率加法公式求概率;另一方面可以先求該事件的對立事件,再利用對立事件的概率加法公式求解,這體現(xiàn)出“正難則反”的思想原則.精彩課堂變式訓(xùn)練

圍棋是一種策略性兩人棋類游戲.已知一個圍棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，從中隨機(jī)取出2粒，都是黑子的概率是3,都是白子的概率是30(1)求從中任意取出2粒恰好是同一色的概率；(2)求從中任意取出2粒恰好是不同色的概率.解：(1)設(shè)事件A=“從中任意取出2粒都是黑子”,事件B=“從中任意取出2粒都是白子”,事件C=“從中任意取出2粒恰好是同一色”,則C=AUB,且事件A與B互斥，則P(C)=P(A)+P(B)=3+3=30即從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是3(2)設(shè)事件D=“從中任意取出2粒恰好是不同色”,由(1)知事件D與事件C互為對立事件，且P(C)=33,所以從中任意取出2粒恰好是不同色的概率P(D)=1-P(C)=1-30=30精彩課堂解：設(shè)事件A=“甲跑第一棒”,事件B=“乙跑第四棒”,則P(A)=4,P(B)=4記甲跑第x棒，乙跑第y棒，則結(jié)果可記為(x,y),所以樣本點(diǎn)有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12個.而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一個樣本點(diǎn)，即(1,4).故P(A∩B)=12所以，“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=4+412=2例2甲、乙、丙、丁四人參加4×100m接力賽，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.精彩課堂【解題技巧】(1)對于與古典概型有關(guān)的求概率問題,可直接結(jié)A∪B,A,B,A∩B

的含義及概率的性質(zhì)進(jìn)行求解.(2)若一個概率模型不是古典模型,則求概率可套用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),特別要注意P(A∩B)的數(shù)值求解.課堂練習(xí)B1.在一次隨機(jī)試驗中，三個事件A?,A?,A?發(fā)生的概率分別是0.2,0.3,0.5,對于以下說法：①A?+A?與A?是互斥事件，也是對立事件；②A?+A?+A?是必然事件；③P(A?+A?)=0.8;④P(A?+A?)≤0.5.其中正確的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3點(diǎn)撥

依題意，事件A?,A?,A?不一定互斥，顯然①②不正確.又P(A?+A?)=P(A?)+P(A?)—P(A?∩A?)≤P(A?)+P(A?)=0.8,P(A?+A?)=P(A?)+P(A?)—P(A?∩A?)≤P(A?)+P(A?)=0.5,所以③不正確，只有④正確.課堂練習(xí)D2.下列四種說法：①對立事件一定是互斥事件；②若A,B為兩個事件，則P(A+B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥，則P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A,B是對立事件.其中錯誤的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3點(diǎn)撥

對立事件一定是互斥事件，故①對.只有當(dāng)A,B為互斥事件時，才有P(A+B)=P(A)+P(B),故②錯.因為A,B,C并不一定包括隨機(jī)試驗中的全部樣本點(diǎn)，故P(A)+P(B)+P(C)并不一定等于1,故③錯.若A,B不互斥，即使P(A)+P(B)=1,A,B也不是對立事件，故④錯.課堂練習(xí)

3.若事件A,B互斥，它們都不發(fā)生的概率為5,且P(A)=2P(B),則P(A)=____.點(diǎn)撥