2023年四川省中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題引言四川省中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽作為選拔數(shù)學(xué)拔尖人才、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的重要平臺(tái)，其初賽試題歷來(lái)備受關(guān)注。2023年的初賽已落下帷幕，本次試題在延續(xù)以往風(fēng)格的基礎(chǔ)上，也呈現(xiàn)出一些新的特點(diǎn)。本文旨在對(duì)本次初賽試題進(jìn)行專(zhuān)業(yè)評(píng)析，探討其命題思路與考查重點(diǎn)，并為后續(xù)參與競(jìng)賽的同學(xué)們提供一些備考建議，希望能對(duì)大家有所啟發(fā)。一、試題總體評(píng)價(jià)本次四川省中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題，整體上遵循了“立足基礎(chǔ)、注重能力、適度創(chuàng)新”的命題原則。試題覆蓋面廣，較好地考察了中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心知識(shí)與基本技能，同時(shí)也對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力提出了一定要求。從難度分布來(lái)看，試題梯度設(shè)置較為合理，既有基礎(chǔ)題目的鋪墊，確保多數(shù)學(xué)生能夠入手并獲得一定分?jǐn)?shù)，也有中檔題目的區(qū)分，更有少量具有挑戰(zhàn)性的題目，以選拔出真正具有數(shù)學(xué)潛能和鉆研精神的優(yōu)秀學(xué)生。這種難度分布，不僅有利于競(jìng)賽的選拔功能，也對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到了積極的導(dǎo)向作用，引導(dǎo)學(xué)生在夯實(shí)基礎(chǔ)的前提下，勇于探索和挑戰(zhàn)。二、試題特點(diǎn)分析（一）注重基礎(chǔ)知識(shí)的全面考察試題緊扣中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了適當(dāng)延伸。代數(shù)部分，涉及函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與不等式的求解、數(shù)列的通項(xiàng)與求和等核心內(nèi)容；幾何部分，則對(duì)三角形、四邊形等平面圖形的性質(zhì)，以及圓的相關(guān)定理進(jìn)行了考察；數(shù)論與組合數(shù)學(xué)等競(jìng)賽特色內(nèi)容也有所體現(xiàn)，但均以基礎(chǔ)題型為主，強(qiáng)調(diào)對(duì)概念的準(zhǔn)確理解和基本方法的靈活運(yùn)用。例如，在代數(shù)模塊中，可能會(huì)通過(guò)一些綜合性的問(wèn)題，考察學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的理解，以及利用不等式性質(zhì)求最值的能力。這類(lèi)題目往往入口較寬，但深入解答則需要學(xué)生具備扎實(shí)的基本功和清晰的解題思路。（二）突出數(shù)學(xué)思想方法的滲透數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。本次試題在考察知識(shí)的同時(shí)，更注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考察，如數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想等在題目中均有不同程度的體現(xiàn)。以幾何問(wèn)題為例，有些題目并非簡(jiǎn)單考察某個(gè)定理的直接應(yīng)用，而是需要學(xué)生通過(guò)添加輔助線，將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，或?qū)⑽粗獑?wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題來(lái)解決。這就要求學(xué)生不僅要“知其然”，更要“知其所以然”，能夠從本質(zhì)上把握問(wèn)題的結(jié)構(gòu)。（三）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)部分題目情景設(shè)置新穎，或與實(shí)際生活有所聯(lián)系，或在傳統(tǒng)題型基礎(chǔ)上進(jìn)行了適度創(chuàng)新，旨在考察學(xué)生的知識(shí)遷移能力和創(chuàng)新思維。這類(lèi)題目往往沒(méi)有固定的解題模式可循，需要學(xué)生打破思維定勢(shì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，多角度、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。例如，可能會(huì)出現(xiàn)一些結(jié)合新定義的問(wèn)題，要求學(xué)生快速理解并運(yùn)用新的概念解決相關(guān)問(wèn)題，這不僅考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，也考察了其應(yīng)對(duì)新情境的心理素質(zhì)。（四）區(qū)分度設(shè)計(jì)合理，利于人才選拔如前所述，試題在難度設(shè)置上層次分明。基礎(chǔ)題確保了普及性，讓大多數(shù)參與競(jìng)賽的學(xué)生都能感受到數(shù)學(xué)的魅力并獲得一定的成就感；中檔題則主要考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和解題技巧的掌握程度；而少量的難題則更側(cè)重于考察學(xué)生的深度思考能力和數(shù)學(xué)潛能，為后續(xù)的復(fù)賽選拔了優(yōu)秀苗子。三、各模塊考查重點(diǎn)簡(jiǎn)析（一）代數(shù)模塊代數(shù)部分通常是競(jìng)賽的重點(diǎn)內(nèi)容之一。本次試題中，代數(shù)部分可能依然圍繞函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、多項(xiàng)式等核心內(nèi)容展開(kāi)。*函數(shù)與不等式：可能側(cè)重于利用函數(shù)性質(zhì)解決不等式問(wèn)題，或結(jié)合導(dǎo)數(shù)（如果考綱允許）研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等。絕對(duì)值不等式、均值不等式的應(yīng)用也可能是考察的熱點(diǎn)。*數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本性質(zhì)是基礎(chǔ)，遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的技巧性問(wèn)題也可能出現(xiàn)，考察學(xué)生的歸納、猜想與證明能力。*多項(xiàng)式：多項(xiàng)式的整除、因式分解、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）等基礎(chǔ)內(nèi)容可能會(huì)有所體現(xiàn)。（二）幾何模塊幾何部分，尤其是平面幾何，是競(jìng)賽中區(qū)分度較好的內(nèi)容。*平面幾何：三角形的五心（重心、垂心、外心、內(nèi)心、旁心）及其性質(zhì)、圓的切線與割線定理、四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)等是考察的重點(diǎn)。輔助線的添加能力、圖形的分解與組合能力是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。*立體幾何：如果初賽涉及，可能會(huì)以考察空間幾何體的體積、表面積計(jì)算，以及空間線面位置關(guān)系的判斷為主，難度一般不會(huì)太大。（三）數(shù)論與組合模塊這部分內(nèi)容能很好地考察學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力。*數(shù)論初步：可能涉及整數(shù)的整除性、同余、不定方程（如一次不定方程）等基礎(chǔ)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)對(duì)概念的理解和簡(jiǎn)單應(yīng)用。*組合數(shù)學(xué)：計(jì)數(shù)原理（加法原理、乘法原理）、排列組合、抽屜原理、容斥原理等基本思想和方法可能會(huì)通過(guò)一些趣味性或應(yīng)用性的問(wèn)題進(jìn)行考察。四、備考建議與總結(jié)（一）夯實(shí)基礎(chǔ)，回歸課本無(wú)論競(jìng)賽如何發(fā)展，基礎(chǔ)知識(shí)始終是根本。學(xué)生應(yīng)首先確保對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課本上的概念、定理、公式有深刻的理解和熟練的掌握。不要盲目追求偏題、難題，而忽視了對(duì)基礎(chǔ)的鞏固。（二）重視思想方法，提升解題能力在學(xué)習(xí)和解題過(guò)程中，要刻意總結(jié)和體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。例如，如何通過(guò)數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題直觀化，如何通過(guò)分類(lèi)討論使問(wèn)題條理化，如何通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。多做一些不同類(lèi)型的題目，并進(jìn)行反思和歸納，形成自己的解題策略。（三）加強(qiáng)專(zhuān)題訓(xùn)練，培養(yǎng)競(jìng)賽素養(yǎng)針對(duì)競(jìng)賽中?？嫉拇鷶?shù)、幾何、數(shù)論、組合等模塊，可以進(jìn)行有針對(duì)性的專(zhuān)題訓(xùn)練。選擇一些經(jīng)典的競(jìng)賽輔導(dǎo)書(shū)籍，學(xué)習(xí)其中的解題技巧和方法，并通過(guò)適量的練習(xí)加以鞏固。同時(shí)，要注意培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)閱讀能力和獨(dú)立思考能力。（四）保持積極心態(tài)，享受數(shù)學(xué)樂(lè)趣競(jìng)賽之路往往充滿(mǎn)挑戰(zhàn)，遇到困難和挫折是正常的。學(xué)生應(yīng)保持積極樂(lè)觀的心態(tài)，將競(jìng)賽視為提升自己數(shù)學(xué)素養(yǎng)、鍛煉思維能力的機(jī)會(huì)，享受解決難題后的成就感?？偠灾?，2023年四川省中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題，既體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考察，也展現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)的要求。對(duì)于未來(lái)的參賽者而言，腳踏實(shí)地，注重積累，勤于思考，勇