中考數(shù)學(xué)最值問題專項(xiàng)訓(xùn)練及解析在中考數(shù)學(xué)的試卷中，最值問題始終是一個(gè)熱門且具有一定難度的考點(diǎn)。這類問題往往涉及多個(gè)知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，既考察同學(xué)們對幾何圖形性質(zhì)的理解，也考驗(yàn)代數(shù)運(yùn)算和轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用。掌握最值問題的求解方法，不僅能夠有效提升解題能力，更能在考試中爭取寶貴的分?jǐn)?shù)。本文將結(jié)合實(shí)例，對中考中常見的最值問題類型及解題策略進(jìn)行梳理與解析，希望能為同學(xué)們提供有益的參考。一、幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的最值問題，常常需要我們借助圖形的性質(zhì)，如對稱性、三角形三邊關(guān)系、垂線段性質(zhì)等，將問題轉(zhuǎn)化為可直接求解的形式。（一）利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”求最值核心原理：兩點(diǎn)之間，線段最短。當(dāng)需要求某條折線段或幾條線段和的最小值時(shí)，我們常常通過對稱、平移等變換，將折線轉(zhuǎn)化為直線段，從而利用上述原理求解。典型例題：如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1)。在x軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA+PB的最小值。分析與解析：同學(xué)們在解決這類問題時(shí)，首先要想到“將軍飲馬”模型。由于點(diǎn)A、B在x軸的同側(cè)，直接連接AB與x軸的交點(diǎn)并非所求（因?yàn)镻A+PB此時(shí)不是最?。Ｎ覀冃枰ㄟ^作對稱點(diǎn)，將同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題。作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'(1,-3)。根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對于x軸上任意一點(diǎn)P，都有PA=PA'。因此，PA+PB=PA'+PB。要求PA+PB的最小值，即求PA'+PB的最小值。根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，當(dāng)點(diǎn)P為線段A'B與x軸的交點(diǎn)時(shí)，PA'+PB的值最小，最小值即為線段A'B的長度。接下來，我們求直線A'B的解析式。設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b。將A'(1,-3)和B(4,1)代入，可得：-3=k*1+b1=k*4+b解這個(gè)方程組，用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程：4k+b-(k+b)=1-(-3)→3k=4→k=4/3將k=4/3代入第一個(gè)方程：-3=4/3*1+b→b=-3-4/3=-13/3所以直線A'B的解析式為y=(4/3)x-13/3。求點(diǎn)P的坐標(biāo)，即求直線A'B與x軸的交點(diǎn)，令y=0：0=(4/3)x-13/3→(4/3)x=13/3→x=13/4。所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(13/4,0)。PA+PB的最小值即為A'B的長度。根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式：A'B=√[(4-1)^2+(1-(-3))^2]=√[3^2+4^2]=√(9+16)=√25=5。小結(jié)：此類問題的關(guān)鍵在于利用軸對稱變換，將折線距離和轉(zhuǎn)化為直線距離，從而利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求解。（二）利用“垂線段最短”求最值核心原理：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。典型例題：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D。設(shè)PC=x，PD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值。分析與解析：首先，我們可以根據(jù)已知條件求出AB的長度。在Rt△ABC中，AB=√(AC^2+BC^2)=√(6^2+8^2)=√(36+64)=√100=10。因?yàn)镻D⊥AB，所以∠PDB=90°=∠C。又因?yàn)椤螧是公共角，所以△PDB∽△ACB（兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似）。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊成比例。所以PD/AC=PB/AB。已知PC=x，BC=8，則PB=BC-PC=8-x。所以y/6=(8-x)/10→y=(6/10)(8-x)=(3/5)(8-x)=(-3/5)x+24/5。這是一個(gè)一次函數(shù)，其中k=-3/5<0，所以y隨x的增大而減小。因?yàn)辄c(diǎn)P在邊BC上，不與點(diǎn)B、C重合，所以x的取值范圍是0<x<8。當(dāng)x取最小值時(shí)，y取最大值。x最小趨近于0（但不能為0），此時(shí)y的最大值趨近于24/5=4.8。當(dāng)x=0時(shí)，P與C重合，PD=AC=6？不，這里要注意，當(dāng)x=0時(shí)，P與C重合，PD就是AC邊上的高嗎？不對，此時(shí)PD應(yīng)該是C到AB的距離。我們可以驗(yàn)證一下，C到AB的距離h，利用面積法：S△ABC=(1/2)*AC*BC=(1/2)*AB*h→h=(AC*BC)/AB=(6*8)/10=48/10=24/5=4.8。所以當(dāng)x=0時(shí)，y=24/5，但x的取值范圍是0<x<8，所以y的最大值無限接近24/5，但取不到。但在實(shí)際問題中，若允許P與C重合，則最大值為24/5。根據(jù)題目“不與點(diǎn)B、C重合”，所以嚴(yán)格來說y<24/5。但如果題目沒有此限制，則y的最大值為24/5。此處題目明確“不與點(diǎn)B、C重合”，所以我們可以表述為y的最大值為24/5（當(dāng)x無限趨近于0時(shí)）。小結(jié)：利用幾何圖形的相似關(guān)系建立函數(shù)模型，再根據(jù)函數(shù)的增減性及自變量的取值范圍求出最值，是解決此類問題的常用方法?！按咕€段最短”的原理往往隱藏在相似、三角函數(shù)等知識的應(yīng)用中。（三）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值核心原理：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值，在x=-b/(2a)處取得，y最小值=(4ac-b2)/(4a)；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，在x=-b/(2a)處取得，y最大值=(4ac-b2)/(4a)。若自變量x有取值范圍，則需結(jié)合對稱軸及增減性判斷最值在何處取得。典型例題：某商店將每件進(jìn)價(jià)為8元的某種商品按每件10元出售，一天可售出約100件。該店想通過降低售價(jià)、增加銷售量的辦法來提高利潤。經(jīng)市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低0.1元，其銷售量可增加約10件。將這種商品的售價(jià)降低多少元時(shí)，能使銷售利潤最大？最大利潤是多少？分析與解析：設(shè)將這種商品的售價(jià)降低x元。原來售價(jià)為10元，降低x元后，每件售價(jià)為(10-x)元。每件進(jìn)價(jià)為8元，所以每件的利潤為(10-x-8)=(2-x)元。原來一天可售出100件，單價(jià)每降低0.1元，銷售量增加10件。那么降低x元，銷售量增加的件數(shù)為(x/0.1)*10=100x件。所以現(xiàn)在的銷售量為(100+100x)件。設(shè)總利潤為y元，則y=(每件利潤)×(銷售量)=(2-x)(100+100x)。展開并整理：y=2*100+2*100x-100x-100x2=200+200x-100x-100x2=-100x2+100x+200。這是一個(gè)二次函數(shù)，其中a=-100<0，所以拋物線開口向下，函數(shù)有最大值。對稱軸為x=-b/(2a)=-100/(2*(-100))=-100/(-200)=0.5。因?yàn)閍<0，所以當(dāng)x=0.5時(shí)，y取得最大值。將x=0.5代入y的表達(dá)式：y=-100*(0.5)^2+100*(0.5)+200=-100*0.25+50+200=-25+50+200=225。所以，將這種商品的售價(jià)降低0.5元時(shí)，能使銷售利潤最大，最大利潤是225元。小結(jié)：對于經(jīng)濟(jì)利潤、面積等最值問題，常常通過建立二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值。注意自變量的取值范圍要符合實(shí)際意義。二、解題策略與技巧總結(jié)1.明確目標(biāo)，分析已知：拿到最值問題，首先要清楚求什么的最值（線段長度、角度大小、圖形面積、利潤等），然后仔細(xì)分析題目給出的已知條件，找出其中的數(shù)量關(guān)系和幾何關(guān)系。2.聯(lián)想模型，嘗試轉(zhuǎn)化：很多最值問題都可以歸結(jié)為我們熟悉的基本模型，如“將軍飲馬”模型（對稱化折線為直線）、“垂線段最短”模型、“二次函數(shù)頂點(diǎn)”模型等。要善于將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為基本模型。3.代數(shù)幾何，靈活運(yùn)用：幾何問題可以考慮通過勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)等建立等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式；代數(shù)問題（如函數(shù)）要注意其幾何意義，利用圖形的直觀性幫助分析。4.關(guān)注范圍，驗(yàn)證結(jié)果：在求出最值后，一定要檢查自變量的取值是否在允許范圍內(nèi)，結(jié)果是否符合實(shí)際情況。對于幾何圖形，還要注意點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系是否合理。三、鞏固練習(xí)練習(xí)1：如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PE+PB的最小值。練習(xí)2：已知二次函數(shù)y=x2-4x+3。（1）求出該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸；（2）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，y隨x的增大而減??？（3）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，求y的最大值和最小值。（練習(xí)解析見文末）四、結(jié)語最值問題貫穿于初中數(shù)學(xué)的多個(gè)知識點(diǎn)，它不僅考察同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的掌握程度，更考驗(yàn)大家分析問題、解決問題的綜合能力和創(chuàng)新思維。在復(fù)習(xí)過程中，同學(xué)們要多做練習(xí)，善于總結(jié)不同類型最值問題的解題方法和規(guī)律，積累解題經(jīng)驗(yàn)。遇到難題時(shí)，不要輕易放棄，要學(xué)會從不同角度思考，嘗試運(yùn)用對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換手段，或建立函數(shù)模型等代數(shù)方法，將問題化繁為簡，化難為易。相信通過不懈的努力，大家一定能夠攻克最值問題這一難關(guān)，在中考中取得優(yōu)異的成績！---練習(xí)解析：練習(xí)1解析：連接BD，交AC于點(diǎn)O。因?yàn)榱庑蔚膶蔷€互相垂直平分，所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱。連接DE，交AC于點(diǎn)P，則此時(shí)PE+PB的值最小，且PE+PB=DE。因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，AB=2，所以AE=1?！螪AB=60°，AD=AB=2，所以△ABD是等邊三角形，BD=AB=2，AD邊上的高為√3。在△ADE中，AD=2，AE=1，∠DAB=60°，可利用余弦定理求DE：DE2=AD2+AE2-2*AD*AE*cos60°=4+1-2*2*1*(1/2)=5-2=3→DE=√3。所以PE+PB的最小值