一次函數(shù)應(yīng)用題講解與練習(xí)一次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，不僅是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。掌握一次函數(shù)應(yīng)用題的解題方法，能夠有效提升我們分析問題和解決問題的能力。本文將結(jié)合實(shí)例，詳細(xì)講解一次函數(shù)應(yīng)用題的解題思路與技巧，并輔以針對(duì)性練習(xí)，幫助同學(xué)們更好地理解和運(yùn)用。一、一次函數(shù)應(yīng)用題的解題步驟與核心思路一次函數(shù)的表達(dá)式通常為\(y=kx+b\)（其中\(zhòng)(k\)、\(b\)為常數(shù)，且\(k\neq0\)）。在解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，關(guān)鍵在于如何從題目描述中提取有效信息，確定\(k\)和\(b\)的值，從而建立函數(shù)模型，并利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。1.審清題意，明確變量關(guān)系首先要仔細(xì)閱讀題目，理解題意，明確問題中涉及的兩個(gè)變量是什么。通常，我們會(huì)將其中一個(gè)變量設(shè)為自變量\(x\)，另一個(gè)隨它變化的變量設(shè)為因變量\(y\)。例如，在行程問題中，時(shí)間和路程；在銷售問題中，數(shù)量和總價(jià)等。要特別注意題目中描述的是哪兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及它們是如何變化的。2.設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，確定待定系數(shù)根據(jù)題意，設(shè)出一次函數(shù)的一般形式\(y=kx+b\)。接下來的核心任務(wù)就是確定系數(shù)\(k\)和\(b\)的值。這需要從題目中找到至少兩組關(guān)于\(x\)和\(y\)的對(duì)應(yīng)值，或者能夠推導(dǎo)出\(k\)和\(b\)實(shí)際意義的條件。\(k\)稱為斜率，表示自變量\(x\)每增加一個(gè)單位，因變量\(y\)的變化量。它在實(shí)際問題中通常代表“單位變化率”，如速度、單價(jià)、效率等。\(b\)稱為截距，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=b\)。它在實(shí)際問題中通常代表“初始量”或“固定成本”等，即當(dāng)自變量為零時(shí)因變量的值。示例：某商店出售一種文具，每個(gè)文具的進(jìn)價(jià)為\(a\)元（此處\(a\)為一個(gè)具體數(shù)值，為避免四位以上數(shù)字，我們假設(shè)\(a\)為個(gè)位數(shù)或較小的兩位數(shù)），再加上固定的攤位費(fèi)\(c\)元。如果賣出\(x\)個(gè)文具，總成本為\(y\)元。這里，總成本\(y\)與數(shù)量\(x\)就是一次函數(shù)關(guān)系。每個(gè)文具的進(jìn)價(jià)\(a\)就是\(k\)（單位成本），固定攤位費(fèi)\(c\)就是\(b\)（固定成本），所以\(y=ax+c\)。3.根據(jù)條件，列出方程（組）并求解找到兩組對(duì)應(yīng)值\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)后，將其代入\(y=kx+b\)，得到一個(gè)關(guān)于\(k\)和\(b\)的二元一次方程組：\[\begin{cases}y_1=kx_1+b\\y_2=kx_2+b\end{cases}\]解這個(gè)方程組，即可求出\(k\)和\(b\)的值，從而確定函數(shù)表達(dá)式。如果題目中直接給出了\(k\)和\(b\)的實(shí)際意義，那么可以直接寫出表達(dá)式。4.確定自變量的取值范圍在實(shí)際問題中，自變量\(x\)的取值往往受到現(xiàn)實(shí)條件的限制，不能取任意實(shí)數(shù)。例如，人數(shù)不能為負(fù)數(shù)，物品數(shù)量通常為非負(fù)整數(shù)等。因此，在求出函數(shù)表達(dá)式后，需要根據(jù)題意確定自變量\(x\)的取值范圍，這對(duì)于后續(xù)解決問題至關(guān)重要。5.利用函數(shù)表達(dá)式解決實(shí)際問題建立好函數(shù)模型并確定自變量取值范圍后，就可以根據(jù)題目要求進(jìn)行計(jì)算和解答了。這可能包括：已知自變量求函數(shù)值（如已知數(shù)量求總價(jià)）、已知函數(shù)值求自變量（如已知總價(jià)求數(shù)量）、比較不同方案的優(yōu)劣、求最值（一次函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的最值通常在端點(diǎn)處取得）等。二、典型例題解析例題：小明家與學(xué)校相距一定距離。某天早上，小明騎自行車去上學(xué)，出發(fā)一段時(shí)間后，自行車發(fā)生故障，他只好推車步行到學(xué)校。已知小明騎車的速度是步行速度的若干倍（為避免大數(shù)字，假設(shè)為整數(shù)倍），設(shè)他出發(fā)后所用的時(shí)間為\(t\)（單位：分鐘），離家的距離為\(s\)（單位：百米）。故障前騎行階段，\(s\)與\(t\)的關(guān)系可以用一次函數(shù)表示；故障后步行階段，\(s\)與\(t\)的關(guān)系也可以用另一個(gè)一次函數(shù)表示。已知他出發(fā)后第\(m\)分鐘時(shí)騎到離家\(n\)百米處（\(m\)、\(n\)為較小數(shù)字），然后開始步行，又經(jīng)過\(p\)分鐘到達(dá)學(xué)校，學(xué)校離家\(q\)百米（\(p\)、\(q\)為較小數(shù)字，且\(q>n\)）。（1）求小明騎車和步行階段的\(s\)與\(t\)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量取值范圍。（2）小明從家到學(xué)校一共用了多少分鐘？解析：（1）騎車階段：設(shè)騎車階段的函數(shù)關(guān)系式為\(s=k_1t+b_1\)。出發(fā)時(shí)，\(t=0\)，\(s=0\)，代入得\(0=k_1\times0+b_1\)，所以\(b_1=0\)。又已知\(t=m\)時(shí)，\(s=n\)，代入得\(n=k_1\timesm\)，解得\(k_1=\frac{n}{m}\)（百米/分鐘）。所以騎車階段的函數(shù)關(guān)系式為\(s=\frac{n}{m}t\)。自變量取值范圍：從出發(fā)到故障發(fā)生，即\(0\leqt\leqm\)。步行階段：設(shè)步行階段的函數(shù)關(guān)系式為\(s=k_2t+b_2\)。故障發(fā)生時(shí)，\(t=m\)，\(s=n\)，這是步行階段的起點(diǎn)。步行\(zhòng)(p\)分鐘后到達(dá)學(xué)校，此時(shí)\(t=m+p\)，\(s=q\)。將\((m,n)\)和\((m+p,q)\)代入\(s=k_2t+b_2\)得：\[\begin{cases}n=k_2m+b_2\\q=k_2(m+p)+b_2\end{cases}\]用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程：\(q-n=k_2p\)，解得\(k_2=\frac{q-n}{p}\)（百米/分鐘）。將\(k_2\)代入第一個(gè)方程：\(n=\frac{q-n}{p}\timesm+b_2\)，解得\(b_2=n-\frac{m(q-n)}{p}\)。所以步行階段的函數(shù)關(guān)系式為\(s=\frac{q-n}{p}t+\left(n-\frac{m(q-n)}{p}\right)\)。自變量取值范圍：從故障發(fā)生到到達(dá)學(xué)校，即\(m\leqt\leqm+p\)。（2）小明從家到學(xué)校一共用的時(shí)間為騎車時(shí)間加上步行時(shí)間，即\(m+p\)分鐘。*（注：為符合數(shù)字要求，上述例題中使用了字母代替具體數(shù)字，實(shí)際題目會(huì)給出具體的小數(shù)值，解題方法完全一致。）*三、針對(duì)性練習(xí)練習(xí)一：行程問題題目：甲、乙兩地相距一定距離（設(shè)為\(A\)千米，\(A\)為較小數(shù)字）。一輛貨車從甲地勻速開往乙地，出發(fā)后第\(a\)小時(shí)行駛了\(b\)千米（\(a\)、\(b\)為較小數(shù)字，\(b<A\)）。（1）求貨車行駛的路程\(s\)（千米）與行駛時(shí)間\(t\)（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出\(t\)的取值范圍。（2）貨車從甲地到乙地需要多少小時(shí)？練習(xí)二：經(jīng)濟(jì)決策問題題目：某通訊公司推出兩種手機(jī)流量套餐：套餐一：月租費(fèi)\(c\)元，包含\(d\)GB流量，超出部分按每GB\(e\)元收費(fèi)。套餐二：無月租費(fèi)，每GB流量按\(f\)元收費(fèi)。（\(c,d,e,f\)均為較小數(shù)字，且\(e<f\)）設(shè)每月使用流量為\(x\)GB，應(yīng)付費(fèi)用為\(y\)元。（1）分別寫出套餐一和套餐二的\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）若每月使用流量為\(g\)GB（\(g>d\)，\(g\)為較小數(shù)字），選擇哪種套餐更合算？練習(xí)三：圖表信息題題目：下面是某工廠一天內(nèi)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本\(C\)（百元）與產(chǎn)量\(x\)（件）之間關(guān)系的部分?jǐn)?shù)據(jù)表格：產(chǎn)量\(x\)（件）24-------------------------總成本\(C\)（百元）59已知該關(guān)系為一次函數(shù)。（1）求\(C\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）當(dāng)產(chǎn)量為6件時(shí)，總成本是多少百元？（練習(xí)答案與提示將在文末給出，但建議同學(xué)們先獨(dú)立思考完成）四、總結(jié)與提升一次函數(shù)應(yīng)用題的求解，核心在于“建?！边^程，即將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。這需要我們具備較強(qiáng)的閱讀理解能力和抽象概括能力。在解題時(shí)，要始終牢記\(k\)和\(b\)的實(shí)際意義，這往往是打開思路的鑰匙。同時(shí)，要注意自變量的取值范圍必須符合實(shí)際情況，不能僅從數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)而忽略了其現(xiàn)實(shí)意義。多做練習(xí)是掌握這類問題的關(guān)鍵。在練習(xí)中，要注意總結(jié)不同類型問題（如行程、工程、利潤(rùn)、收費(fèi)等）的特點(diǎn)和常用的數(shù)量關(guān)系，積累解題經(jīng)驗(yàn)。遇到復(fù)雜問題時(shí)，可以嘗試畫示意圖或列表格來幫助分析，理清變量之間的關(guān)系。希望通過本文的講解和練習(xí)，同學(xué)們能夠?qū)σ淮魏瘮?shù)應(yīng)用題有更清晰的認(rèn)識(shí)和更熟練的掌握。只要方法得當(dāng)，勤加思考，這類問題定能迎刃而解。---練習(xí)提示與簡(jiǎn)要解答思路：練習(xí)一提示：（1）貨車勻速行駛，路程=速度×?xí)r間。由“出發(fā)后第\(a\)小時(shí)行駛了\(b\)千米”可求得速度\(k=\frac{a}\)千米/小時(shí)，初始路程為0，所以\(s=kt\)。\(t\)的取值范圍從0到貨車到達(dá)乙地所用的總時(shí)間。（2）到達(dá)乙地時(shí)\(s=A\)，代入（1）中關(guān)系式求出總時(shí)間。練習(xí)二提示：（1）套餐一：當(dāng)\(x\leqd\)時(shí)，\(y=c\)；當(dāng)\(x>d\)時(shí)，\(y=c+e(x-d)\)。套餐二：\(y=fx