§8.7雙曲線課標(biāo)要求1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率).3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.1.雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的等于非零常數(shù)(|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的.注意：(1)若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn))；若將其改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.(2)若將絕對(duì)值去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.(3)若將“等于非零常數(shù)”改為“等于零”，則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a(a>0，b>0)y2a(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)焦距范圍或

，y∈R

y≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：；對(duì)稱中心：

性質(zhì)頂點(diǎn)軸實(shí)軸：線段，長：；虛軸：線段B1B2，長：；實(shí)半軸長：，虛半軸長：

漸近線離心率e＝ca∈a，b，c的關(guān)系c2＝(c>a>0，c>b>0)

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在(3)雙曲線x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是x(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于2.()2.雙曲線x2－4y2＝1的離心率為()A.2 B.3 C.52 D.3.(多選)已知雙曲線方程x216－y29A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±5)B.虛軸長為6C.焦距為10D.漸近線方程為y＝±544.已知點(diǎn)P在雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別記為F1，F(xiàn)2，焦距為25，已知PF1⊥PF2，|PF1|1.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.2.若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a+c，|PF2|min＝c－a.3.同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長為2b題型一雙曲線的定義及應(yīng)用例1(1)已知圓C1：(x+3)2+y2＝1和圓C2：(x－3)2+y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為()A.x2－y28＝1(x≥1) B.x2－yC.x2－y28＝1(x≤－1) D.y28－x(2)(2025·永州模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：x24－y212＝1的左、右焦點(diǎn)，M是雙曲線E的左支上一點(diǎn)，過F2作∠F1MF2平分線的垂線，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|A.4 B.2 C.3 D.1圓錐曲線的第二定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和相應(yīng)一條定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡：(1)當(dāng)0<e<1時(shí)，軌跡為橢圓.(2)當(dāng)e>1時(shí)，軌跡為雙曲線.①定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線l叫準(zhǔn)線，左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)左準(zhǔn)線，右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)右準(zhǔn)線.②焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(雙曲線)的準(zhǔn)線方程為x＝±a2典例(1)橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，焦距為4，P為橢圓上任一點(diǎn)，若P到點(diǎn)(2，0)的距離與到直線x＝(2)已知雙曲線x29－y216＝1的右焦點(diǎn)為F2，M是雙曲線右支上一點(diǎn)，定點(diǎn)A(9，2)，則|MA|+35思維升華在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系，利用三角形的面積公式求解.對(duì)于選擇題或填空題直接利用焦點(diǎn)三角形的面積公式計(jì)算即可.跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)P是雙曲線x216－y220＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PFA.1 B.17 C.1或17 D.5或13(2)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2－y26＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線C右支上的一點(diǎn)，PF1與雙曲線C的左支交于點(diǎn)Q.已知△題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)(2024·濟(jì)南模擬)已知雙曲線C1過點(diǎn)A(－15，1)，且與雙曲線C2：x2－3y2＝1有相同的漸近線，則雙曲線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x212－y24＝C.x215－y25＝(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且一個(gè)焦點(diǎn)在直線3x－4y+12＝0上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.思維升華求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，與雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為x2a2+λ－y2b2跟蹤訓(xùn)練2江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達(dá)到了頂峰，它藍(lán)白相映，怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x216－y29＝1 B.C.x28－y29題型三雙曲線的幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1漸近線例3(2025·石家莊質(zhì)檢)已知雙曲線C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的實(shí)半軸長為3A.y＝±3xB.yB＝±33C.y＝±32xD.yD＝±2思維升華(1)漸近線方程的求法：求雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令x2a(2)在雙曲線的幾何性質(zhì)中，重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±b命題點(diǎn)2離心率例4(1)(2024·武漢模擬)已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的兩條漸近線所成的角為π3，則雙曲線的離心率為(A.233 BC.2或233 D.2(2)(2024·武漢模擬)已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若△ABFA.62，+C.1，62思維升華求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2+b2和e＝ca轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)跟蹤訓(xùn)練3(1)已知雙曲線E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)恰好為矩形ABCDA.2+22 B.3+22C.1+2 D.22－1(2)(2024·紹興模擬)若雙曲線C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓C2：(x－2)2+y2＝A.1，23C.(1，2) D.(1，2]

答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.絕對(duì)值小于焦點(diǎn)焦距2.F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)|F1F2|＝2cx≤－ax≥a坐標(biāo)軸原點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22a2baby＝±baxy＝±abx(1，+∞)a2+自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.C[因?yàn)閤2－4y2＝1，即x2－y214所以a＝1，b＝12c＝a2所以e＝ca＝3.BC[由雙曲線方程x216－得a＝4，b＝3，c＝16+9＝5，又焦點(diǎn)在x軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±5，0)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以虛軸長為2b＝6，B選項(xiàng)正確；焦距為2c＝10，C選項(xiàng)正確；漸近線方程為y＝±bax＝±34x，D選項(xiàng)錯(cuò)誤4.2解析因?yàn)閨PF1|＝2|PF2|，由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，因?yàn)镻F1⊥PF2，所以(4a)2+(2a)2＝(25)2解得a＝1，則實(shí)軸長為2.探究核心題型例1(1)C[設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3，則|MC2|－|MC1|＝2<|C1C2|＝6，根據(jù)雙曲線的定義知，動(dòng)圓的圓心M的軌跡為雙曲線x2－y28＝1的左半支(2)B[雙曲線x24－y212＝延長F2N，MF1交于點(diǎn)H，由題意△MNH≌△MNF2，則|MH|＝|MF2|，|NH|＝|NF2|，又O是F1F2的中點(diǎn)，所以|ON|＝12|F1H|＝12(|MH|－|MF1|)＝12(|MF2|－|MF1|)＝a＝微拓展典例(1)x216+y解析依題意，右焦點(diǎn)F2(2，0)，右準(zhǔn)線x＝a2由橢圓第二定義知ca∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，∴橢圓方程為x216+y2(2)36解析設(shè)M到直線x＝a2c＝由雙曲線第二定義知，MF2|d＝∴d＝35|MF2|∴|MA|+35|MF2|＝|MA|+d如圖，可知(|MA|+d)min＝xA－95＝9－9跟蹤訓(xùn)練1(1)B[由雙曲線x216－y220＝1得a＝4，b＝2由雙曲線的定義可得||PF1|－|PF2||＝2a＝8.因?yàn)閨PF1|＝9，所以|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17，若|PF2|＝1，則P在雙曲線的右支上，應(yīng)有|PF2|≥c－a＝2，不成立；若|PF2|＝17，則P在雙曲線的左支上，應(yīng)有|PF2|≥c+a＝10，成立.所以|PF2|＝17.](2)2解析由雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖.因?yàn)椤鱌QF2是等邊三角形，所以|PQ|＝|PF2|＝|QF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，又|QF2|－|QF1|＝2a，則|QF2|＝4a，|PF1|＝6a，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝P＝36a整理得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a2＝6，解得a＝1，所以實(shí)軸長為2.例2(1)A[由雙曲線C1與雙曲線C2：x2－3y2＝1有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線C1的方程為x2－3y2＝λ(λ≠0)，又因?yàn)镃1過點(diǎn)A(－15，1)，代入雙曲線C1的方程得15－3＝λ，解得λ＝12，所以雙曲線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程是x212－y(2)x28－y28解析直線3x－4y+12＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(－4，0)，(0，3)，若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(－4，0)，即c＝4，∴a2＝b2＝12c2＝8故等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28－若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，∴等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，3)，即c＝3，∴a2＝b2＝12c2＝9故等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y292跟蹤訓(xùn)練2D[由題意可知該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為4，點(diǎn)(4，3)在該雙曲線上.設(shè)該雙曲線的方程為x2a2－y2b2＝1則2a＝故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24－y例3B[設(shè)雙曲線C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的上焦點(diǎn)為(0，c)(c>0由點(diǎn)到直線的距離公式可得|bc±a×0|又雙曲線C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0所以雙曲線C的漸近線方程為3y±3x＝0，即y＝±33x.例4(1)C[依題意，雙曲線的一條漸近線的傾斜角為π6或π所以ba＝tanπ6或ba＝tan即ba＝3所以e＝ca＝1+332＝綜上，雙曲線的離心率為233或2(2)D[根據(jù)雙曲線定義知，△ABF1的周長為4a+2|AB|，所以4a+2|AB|＝10a，所以|AB|＝3a，又|AB|≥2b2a，所以3a即3a2≥2b2，所以3a2≥2(c2－a2)，即