第第頁專題04函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）知識點1函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。2、單調(diào)性的圖形趨勢（從左往右）上升趨勢下降趨勢3、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．4、單調(diào)性定義的等價形式:（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù):任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù):任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.5、定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個值，且②作差變形：做差，并通過通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差值符號的方向變形③定號：確定差值的符號，當(dāng)符號不確定時，可以分類討論④判斷：根據(jù)定義做出結(jié)論。6、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)若函數(shù)與在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：（1）與（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性.（2）與的單調(diào)性相反.（3）當(dāng)時，與單調(diào)性相同；當(dāng)時，與單調(diào)性相反.（4）若≥0，則與具有相同的單調(diào)性.（5）若恒為正值或恒為負值，則當(dāng)時，與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)時，與具有相同的單調(diào)性.（6）與的和與差的單調(diào)性（相同區(qū)間上）:簡記為：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.知識點2函數(shù)的奇偶性1、函數(shù)奇偶性的定義（1）奇函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱（2）偶函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱。偶函數(shù)的性質(zhì)：，可避免討論．2、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷與之一是否相等.（2）驗證法：在判斷與的關(guān)系時，只需驗證=0及是否成立.（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點（軸）對稱.（4）性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù).（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷通常利用定義法判斷.分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達式中，與對應(yīng)不同的表達式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進行比較.知識點3函數(shù)的周期性1、周期函數(shù)的定義：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．2、最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期．3、函數(shù)周期性的常用結(jié)論（是不為0的常數(shù)）（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則（）；知識點4函數(shù)的對稱性1、函數(shù)對稱性的常用結(jié)論（1）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對稱；（2）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對稱；（3）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對稱；（4）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對稱；2、函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的對稱性的關(guān)系（1）若函數(shù)滿足，則其函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時可以得出，函數(shù)為偶函數(shù)，即偶函數(shù)為特殊的線對稱函數(shù)；（2）若函數(shù)滿足，則其函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，當(dāng)，時可以得出，函數(shù)為奇函數(shù)，即奇函數(shù)為特殊的點對稱函數(shù)；3、函數(shù)對稱性與周期性的關(guān)系1、若函數(shù)關(guān)于直線與直線對稱，那么函數(shù)的周期是；2、若函數(shù)關(guān)于點對稱，又關(guān)于點對稱，那么函數(shù)的周期是；3、若函數(shù)關(guān)于直線，又關(guān)于點對稱，那么函數(shù)的周期是.4、函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的關(guān)系（1）=1\*GB3①函數(shù)是偶函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（2）=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于點對稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（3）=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（4）=1\*GB3①函數(shù)是偶函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于點對稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.其中，上面每組三個結(jié)論中的任意兩個能夠推出第三個。考點1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A．B．C．D．【變式1-1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【變式1-2】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A．和B．和C．和D．和【變式1-3】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A．B．C．和D．【變式1-4】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．考點2定義法證明函數(shù)的單調(diào)性【例2】已知函數(shù).判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義法證明.【變式2-1】已知函數(shù)滿足，且.（1）求和函數(shù)的解析式；（2）用定義法證明在其定義域的單調(diào)性.【變式2-2】已知.（1）求的解析式；（2）試用函數(shù)單調(diào)性定義證明：在上單調(diào)遞增.【變式2-3】已知函數(shù)的定義域為，對任意正實數(shù)、都有，且當(dāng)時，．求證：函數(shù)是上的增函數(shù)．【變式2-4】已知函數(shù)對任意，總有，且對，都有.（1）判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）解關(guān)于的不等式.考點3利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例3】函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則m的取值范圍為_______.【變式3-1】已知函數(shù)且在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式3-2】已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式3-3】已知函數(shù)，若對任意的，且恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．考點4函數(shù)奇偶性的判斷與證明【例4】下列函數(shù)中為奇函數(shù)，且在定義域上為增函數(shù)的有（）A．B．C．D．【變式4-1】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A．B．C．D．【變式4-2】函數(shù)在其定義域內(nèi)是（）A．減函數(shù)B．奇函數(shù)C．偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)【變式4-3】已知為上的奇函數(shù)，為上的偶函數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A．為上的奇函數(shù)B．為上的奇函數(shù)C．為上的偶函數(shù)D．為上的偶函數(shù)【變式4-4】已知為上的函數(shù)，其中函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)為奇函數(shù)C．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)為奇函數(shù)【變式4-5】若定義在上的函數(shù)滿足：對于任意的、，恒有，則函數(shù)為（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．無法判斷奇偶性【變式4-6】設(shè)函數(shù)對任意，都有，證明：為奇函數(shù)．考點5利用函數(shù)奇偶性取值求參【例5】若函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A．-1B．0C．1D．【變式5-1】已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．－1B．0C．1D．2【變式5-2】若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．1B．2C．D．【變式5-3】函數(shù)為上的奇函數(shù)，時，，則=（）A．B．C．2D．6【變式5-4】（多選）是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，，則（）A．B．C．D．【變式5-5】設(shè)函數(shù)（其中為常數(shù)，），若，則（）A．B．C．D．【變式5-6】若函數(shù)在上的最大值為M，最小值為N，且M＋N＝2024，則實數(shù)t的值為（）A．－506B．506C．2022D．2024考點6利用函數(shù)奇偶性求解析式【例6】若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則當(dāng)時，函數(shù)的解析式為（）A．B．C．D．【變式6-1】已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時，的解析式為________．【變式6-2】已知是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，_________．【變式6-3】已知，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達式．考點7利用單調(diào)性奇偶性解不等式【例7】設(shè)為實數(shù)，定義在上的偶函數(shù)滿足：①在上為增函數(shù)；②，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式7-1】已知是R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)，，且時，，則當(dāng)時，不等式的解集為（）A．B．C．D．【變式7-2】偶函數(shù)的定義域為，且對于任意均有成立，若，則正實數(shù)a的取值范圍（）A．B．C．D．【變式7-3】已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（）A．B．或C．D．或【變式7-4】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【變式7-5】已知定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式7-6】定義在上的函數(shù)滿足，若的圖像關(guān)于點對稱，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A．B．C．D．考點8利用單調(diào)性奇偶性比較大小【例8】已知是上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【變式8-1】定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則（）A．B．C．D．【變式8-2】設(shè)函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則有（）A．B．C．D．【變式8-3】二次函數(shù)在區(qū)間上為偶函數(shù)，又，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【變式8-4】對，函數(shù)滿足，.當(dāng)時.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為______.考點9利用函數(shù)的周期性求值【例9】已知是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則______．【變式9-1】已知函數(shù)的定義域是R，為偶函數(shù)，，成立，，則（）A．-1B．1C．-2D．2【變式9-2】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足，若，則（）A．B．C．D．【變式9-3】是定義在上的偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A．B．C．D．【變式9-4】已知函數(shù)的定義域為R，且，則（）A．B．C．0D．1考點10函數(shù)對稱性的應(yīng)用【例10】已知圖象開口向上的二次函數(shù)，對任意，都滿足，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式10-1】已知函數(shù)是偶函數(shù)，則圖像的對稱軸是（）A．B．C．D．【變式10-2】已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對稱C．是奇函數(shù)D．的圖象關(guān)于點對稱【變式10-3】設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（）A．B．0C．1D．2【變式10-4】（多選）已知函數(shù)，則（）A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象關(guān)于點對稱【變式10-5】已知函數(shù)對，都有，，且，則（）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于點（-2，0）中心對稱C．D．1．下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（）A．B．C．D．2．下列選項中正確的是（）A．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)是增函數(shù)3．若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．4．已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．(0，3)B．(0，3]C．(0，2)D．(0，2]5．已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則=（）A．B．0C．1D．26．已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為（）A．B．8C．D．247．已知奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則函數(shù)在上的最小值為（）A．B．C．3D．09．函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（）A．B．C．D．10．函數(shù)的大致圖象是（）A．B．C．D．11．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（