數(shù)學(xué)創(chuàng)新大賽題庫(kù)及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.若函數(shù)\(y=f(x)\)的定義域?yàn)閈([0,2]\)，則函數(shù)\(g(x)=\frac{f(2x)}{x-1}\)的定義域是（）A.\([0,1]\)B.\([0,1)\)C.\([0,1)\cup(1,4]\)D.\((0,1)\)答案：B2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_3+a_5+a_7=15\)，則\(S_9\)的值為（）A.60B.45C.36D.27答案：B3.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖象可由函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖象（）A.向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位長(zhǎng)度得到B.向右平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位長(zhǎng)度得到C.向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.向右平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位長(zhǎng)度得到答案：C4.若\(\log_a\frac{2}{3}\lt1\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），則實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是（）A.\((0,\frac{2}{3})\)B.\((\frac{2}{3},+\infty)\)C.\((0,\frac{2}{3})\cup(1,+\infty)\)D.\((\frac{2}{3},1)\)答案：C5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow=(m,4)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow\)等于（）A.\((4,0)\)B.\((0,4)\)C.\((4,-8)\)D.\((-4,8)\)答案：C6.直線\(3x+4y-5=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法判斷答案：A7.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)在區(qū)間\([-1,1]\)上的最大值是（）A.0B.2C.-2D.4答案：B8.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，則該雙曲線的離心率為（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)答案：A9.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加某項(xiàng)活動(dòng)，至少有\(zhòng)(1\)名女生參加的選法種數(shù)為（）A.20B.30C.46D.56答案：C10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-3x\)，則\(f(-2)\)等于（）A.2B.-2C.10D.-10答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：AB2.已知\(a,b,c\)為實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\ltb\lt0\)，則\(a^2\gtab\gtb^2\)C.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)D.若\(b\lta\lt0\)，\(c\lt0\)，則\(\frac{c}{a}\gt\frac{c}\)答案：BD3.一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，\(A,B,C,D\)為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中（）A.\(AB\parallelCD\)B.\(AB\)與\(CD\)相交C.\(AB\perpCD\)D.\(AB\)與\(CD\)所成的角為\(60^{\circ}\)答案：D（注：題目問(wèn)法可能不太準(zhǔn)確，多項(xiàng)選擇題選項(xiàng)設(shè)置可能有誤，但僅從正方體展開圖還原正方體角度分析，實(shí)際答案是\(AB\)與\(CD\)異面且所成角為\(60^{\circ}\)）4.已知函數(shù)\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)\)（\(\omega\gt0\)，\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)）的部分圖象如圖所示，則（）A.\(\omega=2\)B.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)C.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)D.\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}]\)，\(k\inZ\)答案：ACD5.已知\(F_1,F_2\)是橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的兩個(gè)焦點(diǎn)，\(P\)為橢圓\(C\)上一點(diǎn)，且\(\overrightarrow{PF_1}\perp\overrightarrow{PF_2}\)，若\(\trianglePF_1F_2\)的面積為\(9\)，則（）A.\(b=3\)B.\(a-c=3\)C.\(\trianglePF_1F_2\)的周長(zhǎng)為\(6+2\sqrt{a^2-b^2}\)D.\(a\)的取值范圍是\([3\sqrt{2},+\infty)\)答案：AD6.設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公比為\(q\)，其前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，前\(n\)項(xiàng)積為\(T_n\)，并且滿足條件\(a_1\gt1\)，\(a_{7}a_{8}\gt1\)，\(\frac{a_{7}-1}{a_{8}-1}\lt0\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(0\ltq\lt1\)B.\(a_{7}a_{9}\gt1\)C.\(S_n\)的最大值為\(S_9\)D.\(T_n\)的最大值為\(T_7\)答案：AD7.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則（）A.\(f(x)\)是奇函數(shù)B.\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極大值C.\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.函數(shù)\(f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((0,0)\)對(duì)稱答案：ABD8.已知直線\(l:y=kx+m\)與圓\(C:x^2+y^2=4\)相交于\(A,B\)兩點(diǎn)，則（）A.若\(k=0\)，則\(\triangleABC\)面積的最大值為\(2\)B.若\(|AB|=2\sqrt{3}\)，則\(m^2=1+k^2\)C.若\(m=\sqrt{3}\)，則\(k\)的取值范圍是\(k\gt\frac{\sqrt{3}}{3}\)或\(k\lt-\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.若\(k=1\)，則\(|AB|\)的取值范圍是\([0,2\sqrt{2}]\)答案：ABD9.已知\(a,b\)為正實(shí)數(shù)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4\)C.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)D.\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\leq8\)答案：ABC10.已知函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(R\)，且\(f(x+1)\)是偶函數(shù)，\(f(x-1)\)是奇函數(shù)，則（）A.\(f(x)\)是周期函數(shù)B.\(f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((-1,0)\)對(duì)稱C.\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=1\)對(duì)稱D.\(f(x)\)在\([-2,2]\)上至少有\(zhòng)(5\)個(gè)零點(diǎn)答案：ABCD三、判斷題1.若\(a\gtb\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)。（×）2.函數(shù)\(y=\cosx\)在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)。（√）3.直線\(x+y+1=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)相切。（×）4.若向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（×）5.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則\(a_n=2n-1\)。（√）6.函數(shù)\(y=\log_2(x^2-1)\)的定義域是\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)。（√）7.若\(a,b,c\)成等比數(shù)列，則\(b^2=ac\)。（√）8.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{3}{2}x\)。（√）9.函數(shù)\(f(x)=x^3\)在\(R\)上是增函數(shù)。（√）10.若\(A,B\)是互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（√）四、簡(jiǎn)答題1.求函數(shù)\(y=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間。答案：先化簡(jiǎn)函數(shù)，\(y=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)。最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_4=16\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項(xiàng)為\(a_1\)，公差為\(d\)。由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)；由\(S_4=16\)可得\(4a_1+\frac{4\times3}{2}d=16\)，即\(4a_1+6d=16\)。聯(lián)立方程組\(\begin{cases}a_1+2d=5\\4a_1+6d=16\end{cases}\)，解方程組得\(a_1=1\)，\(d=2\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知圓\(C\)經(jīng)過(guò)點(diǎn)\(A(1,1)\)，\(B(3,-1)\)，圓心\(C\)在直線\(2x-y-5=0\)上，求圓\(C\)的方程。答案：設(shè)圓\(C\)的圓心坐標(biāo)為\((a,b)\)，半徑為\(r\)。因?yàn)閳A心\(C\)在直線\(2x-y-5=0\)上，所以\(2a-b-5=0\)，即\(b=2a-5\)。又因?yàn)閳A\(C\)經(jīng)過(guò)\(A(1,1)\)，\(B(3,-1)\)，則\((a-1)^2+(b-1)^2=r^2\)，\((a-3)^2+(b+1)^2=r^2\)。將\(b=2a-5\)代入可得\((a-1)^2+(2a-6)^2=(a-3)^2+(2a-4)^2\)，解得\(a=3\)，則\(b=1\)，\(r^2=(3-1)^2+(1-1)^2=4\)。所以圓\(C\)的方程為\((x-3)^2+(y-1)^2=4\)。4.已知橢圓