第二章有限元法基礎理論2.1結構靜力學問題有限元法2.1.1平面問題有限元法

對一些特殊情況可把空間問題近似地簡化為平面問題，只須考慮平行于某個平面的位移分量、應變分量與應力分量，且這些量只是兩個坐標的函數(shù)。平面問題分平面應力問題和平面應變問題兩類。二維連續(xù)介質，用有限單元法分析的步驟如下：1、分割成有限個三角形單元,假定各單元在節(jié)點上互相鉸接，節(jié)點位移是基本的未知量;2、選擇一個函數(shù)，用單元的三個節(jié)點的位移惟一地表示單元內部任一點的位移，此函數(shù)稱為位移函數(shù)（位移模式）

;3、用節(jié)點位移惟一地表示單元內任一點的應變；再利用廣義虎克定律，用節(jié)點位移可惟一地表示單元內任一點的應力;4、利用能量原理找到與單元內部應力狀態(tài)等效的節(jié)點力；再利用單元應力與節(jié)點位移的關系，建立等效節(jié)點力與節(jié)點位移的關系;（最重要一步）5、將每一單元所承受的荷載，按靜力等效原則移置到節(jié)點上6、在每一節(jié)點建立用節(jié)點位移表示的靜力平衡方程，得到一個線性方程組；解出這個方程組，求出節(jié)點位移；然后可求得每個單元的應力。2.1結構靜力學問題有限元法（1）單元的位移模式及插值函數(shù)（2）應變矩陣（3）單元應力（4）單元剛度矩陣（5）等效節(jié)點載荷（6）整體分析（7）平面問題高次單元求解過程：2.1.2軸對稱問題有限元法2.1結構靜力學問題有限元法如果彈性體的幾何形狀、約束條件及荷載都對稱于某一軸，例如z軸，則所有的位移、應變及應力也對稱于此軸。這種問題稱為軸對稱應力問題。用有限單元法分析軸對稱問題時，須將結構離散成有限個圓環(huán)單元。這種環(huán)形單元之間由圓環(huán)形鉸相連，稱為結圓。與平面問題不同之處是：單元為圓環(huán)體，單元之間由結圓鉸接，節(jié)點力為結圓上的均布力，單元邊界為回轉面。采用圓柱坐標(r，θ，z)較為方便。任一點只有兩個位移分量，即沿r方向的徑向位移u和沿z方向的軸向位移w。由于對稱，θ方向的環(huán)向位移等于零。

2.1.3空間問題有限元法2.1結構靜力學問題有限元法

彈性力學的平面問題和軸對稱問題是空間問題的特例，是在某種條件下的簡易解法。在實際工程中，有些結構由于形體復雜，難以簡化為平面問題或軸對稱問題，必須按空間問題求解。在空間問題中，最簡單的單元是具有四個角點的四面體。四面體單元（1）位移模式（2）單元應變（3）單元應力（4）單元剛度矩陣（5）節(jié)點載荷求解過程：2.1結構靜力學問題有限元法（6）高次四面體單元及六面體單元2.1.4等參數(shù)有限元法2.1結構靜力學問題有限元法

有限單元法中最普遍采用的變換方法是等參數(shù)變換，即坐標變換和單元內的場函數(shù)采用相同數(shù)目的節(jié)點參數(shù)及相同的插值函數(shù)，等參數(shù)變換的單元稱之為等參數(shù)單元。借助于等參數(shù)單元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題和物理問題方便地進行有限元離散，因此，等參數(shù)單元的提出為有限單元法成為現(xiàn)代工程實際領域最有效的數(shù)值分析方法邁出了極為重要的一步。1．等參數(shù)變換2．單元矩陣的變換2.1.5單元與整體分析2.1結構靜力學問題有限元法1．能量原理有限單元法的核心是建立單元剛度矩陣，有了單元剛度矩陣，加以適當組合，可以得到平衡方程組，剩下的就是一些代數(shù)運算了。在彈性力學平面問題計算中，我們是用直觀方法建立單元剛度矩陣的，其優(yōu)點是易于理解，并便于初學者建立清晰的力學概念。但這種直觀方法也是有缺點的：一方面，對于比較復雜的單元，依靠它建立單元剛度矩陣是有困難的；另一方面，它也不能給出關于收斂性的證明。把能量原理應用于有限單元法，就可以克服這些缺點。能量原理為建立有限單元法基本公式提供了強有力的工具。在各種能量原理中，虛位移原理和最小勢能原理應用最為方便，因而得到了廣泛的采用。(1)虛位移原理(2)最小勢能原理2.1.5單元與整體分析2.1結構靜力學問題有限元法2．用能量原理求單元剛度矩陣和節(jié)點荷載設一個單元，在各節(jié)點上作用著節(jié)點力Fe，單元節(jié)點位移為δe、單元應變?yōu)棣?Bδe，物體應變能為結構的勢能由最小勢能原理，勢能取駐值

3．用能量原理求求總體平衡方程2.2結構動力學問題有限元方法1、運動方程2、質量矩陣（1）協(xié)調質量矩陣（2）集中質量矩陣（3）平面等應變三角形單元集中質量矩陣與協(xié)調質量矩陣3、阻尼矩陣（1）單自由度體系的阻尼（2）多自由度體系的阻尼4、單元剛度矩陣5、振型疊加法求解結構的受迫振動2.3結構非線性有限單元法非線性問題：在分析線性彈性體系時，假設節(jié)點位移無限??；材料的應力與應變關系滿足虎克定律；加載時邊界條件的性質保持不變，如果不滿足上述條件之一的，就稱為非線性問題。用有限單元法的基本步驟：

1）單元分析

2）整體組集

3）非線性方程組的求解非線性問題求解方法：增量法、迭代法和混合法。2.3結構非線性有限單元法2.3.1塑性力學問題1、單向受力的應力一應變關系2、應力張量的分解與應力不變量3、應變張量的分解4、屈服準則（1）特雷斯卡(Tresca)屈服準則（2）米澤斯(Mises)屈服準則（3）德魯克-普拉格（Drucker-Prager）屈服準則5、強化條件（1）各向同性強化模型（2）隨動強化模型6、加載與卸載準則2.3結構非線性有限單元法2.3.2大位移問題在大多數(shù)的大位移問題中，盡管位移很大，結構的應變仍然不大，屬于大位移小應變問題，材料的應力—應變關系仍是線性的，只是應變—位移關系是非線性的，即所謂幾何非線性。如果不但位移—應變關系是非線性的，而且應力—應變關系也是非線性的，那么即是雙重非線性(材料非線性和幾何非線性)問題。首先，用虛位移原理建立有限元平衡方程組。用列陣ψ表示每個節(jié)點廣義內力和廣義外力矢量的和，根據(jù)虛位移原理，外力因虛位移所做的功，等于結構因虛應變而產(chǎn)生的應變能，所以有式中，dδ為虛位移；dε為虛應變；P為荷載列陣再用應變的增量形式寫出位移和應變的關系消去dδT得到非線性問題的平衡方程組本章小結有限單元法分析的步驟首先是網(wǎng)格劃分；然后選擇一種協(xié)調的位移模式表示單元任一點的位移，求出廣義坐標和形函數(shù)；求出應變矩陣、應力矩陣、單元剛度矩陣、整體剛度矩陣，剛度矩陣的求解是最關鍵的一步；利用能量原理求出等效節(jié)點荷載，列出總體平衡方程，求出節(jié)點位移；然后進行其它量的分析。對結構非線性問題的有限元方法，是許多子步的反復迭代，每個子步的具體過程同結構線性問題的有限元方法：單元分析、整體組集、非線性方程組的求解。本書主要針對塑性和大位移問題有限元法進行了闡述。材料的塑性主要采用理想彈塑性模型、理想剛塑性模型、線性強化彈塑性模型、線性強化剛塑性模型等幾種簡化模型；常用的屈服準則有特雷斯卡(Tresca)屈服準則、米澤斯(Mises)屈服準則、德魯克-普拉格（Drucker-Prager）屈服準則等幾種；強化模型有向同性強化模型、隨動強化模型和混合強化模型三種。以瀝青路面為例加以說明了粘彈塑性材料結構的有限元方法。大變形問題的重點在切線剛度矩陣的求解，其由線性剛度矩陣、初始位移矩陣（或大位移矩陣）和初應力矩陣（或