/高三年級(jí)第一學(xué)期開(kāi)學(xué)首測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的性質(zhì)，逐一將中元素代入集合中驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)榍遥?，當(dāng)時(shí)，代入集合可得到：，即；當(dāng)時(shí)，代入集合可得到：，即；當(dāng)時(shí)，代入集合可得到：，即；當(dāng)時(shí)，代入集合可得到：，即.因?yàn)椋?故選：B.2.若則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法及除法計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)樗?，即得，所?故選：C.3.已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合條件求，再代入求值.【詳解】由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，，得，即時(shí)，，.故選：C4.已知，若．則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角的余弦公式可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可得出的值.【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，，所以，，解得．故選：A．5.已知函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)且也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求得點(diǎn)，代入指數(shù)函數(shù)解析式即可求解參數(shù)a.【詳解】，當(dāng)，即，所以，由的圖象經(jīng)過(guò)，所以，因?yàn)?，?故選：C6.已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及真數(shù)大于0列式求解即可.【詳解】在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增且恒大于零，，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用“同增異減”及真數(shù)大于0，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性比較大小.【詳解】，，對(duì)于冪函數(shù)，因?yàn)橹笖?shù)，故在上單調(diào)遞增，又，所以．故選：C.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，可得，由雙曲線定義得到，結(jié)合勾股定理可求出，在中，可得，即可求出離心率.【詳解】如圖，，，所以，由雙曲線的定義知，又，則中，，在中，，即，可得故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在同一坐標(biāo)系下，下列選項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)的圖象與其對(duì)應(yīng)的解析式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用反函數(shù)性質(zhì)判斷A，利用函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍發(fā)現(xiàn)矛盾判斷B，結(jié)合代入法判斷對(duì)稱(chēng)性求解C，D即可.【詳解】對(duì)于A，由反函數(shù)性質(zhì)得指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，則其圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，對(duì)于，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)變?yōu)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)變?yōu)?，由圖象可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得到，解得，產(chǎn)生矛盾，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，令，，由換底公式得，設(shè)點(diǎn)在上，則在上，可得與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故C正確，對(duì)于D，如圖，作出的圖象，由反函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，而，設(shè)點(diǎn)在上，則在上，得到函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故D正確．故選：ACD10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的定義域?yàn)?B.在定義域內(nèi)單調(diào)遞減C.的最大值為 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、最值、對(duì)稱(chēng)性定知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由解得，所以的定義域是，所以A選項(xiàng)正確.，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，D選項(xiàng)正確.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以C選項(xiàng)正確.故選：ACD11.已知，若，則（）A.的最大值為 B.的最小值為1C.的最小值為8 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】AD選項(xiàng)，由基本不等式求出最值；B選項(xiàng)，化為，求出最小值；C選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】對(duì)于，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以A正確；對(duì)于，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，所以C正確；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.已知，，則x＋2y的值為_(kāi)___________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算的值.【詳解】，.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)數(shù)運(yùn)算，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.13.若向量，，且，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積為，求出，再利用向量夾角坐標(biāo)公式求出余弦值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，所以14.已知函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意解決一元二次不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果即可．【詳解】由題意可得在上恒成立，時(shí)，不等式為，恒成立；時(shí)，應(yīng)滿足解得，綜上知，的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知冪函數(shù)為奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出，求得或，代入解析式，結(jié)合為奇函數(shù)，確定結(jié)論；（2）由（1）得到在上為增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，冪函數(shù)，可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為非奇非偶函數(shù)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，可得在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，解得，所以a的取值范圍為.16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依次得，，即可求解；（2）由等差數(shù)列求和公式、裂項(xiàng)相消法即可求解.【小問(wèn)1詳解】由可得，由可得，，公差，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，故則.17.在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大?。唬↖I）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大??；（II）方法二：結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.結(jié)合余弦定，∴，即，即，即，即，∵為銳角三角形，∴，∴，所以，又B為的一個(gè)內(nèi)角，故.[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角由，結(jié)合正弦定理可得：為銳角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因?yàn)?，并利用余弦定理整理得，?結(jié)合，得.由臨界狀態(tài)（不妨取）可知.而為銳角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化簡(jiǎn)得故的取值范圍是.[方法二]最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【整體點(diǎn)評(píng)】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得，運(yùn)算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡(jiǎn)，運(yùn)算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡(jiǎn)潔明快，確定為最優(yōu)解.18.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等腰直角三角形，底面為直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的銳角二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）由勾股定理證明，再由得出平面，進(jìn)而證明；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，利用向量法得出平面與平面所成的銳角二面角的余弦值．【小問(wèn)1詳解】連接，由，中點(diǎn)，得，又∵四邊形為直角梯形，，，所以，則四邊形是平行四邊形，∴，在中，，，，則，則，又平面，平面，，∴平面，又平面，∴．【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)檩S正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．，，，，，易知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，，∴，故平面與平面所成的銳角二面角的余弦值為．19.隨著鄭欽文獲得2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)網(wǎng)球女單冠軍，中國(guó)各地再度掀起網(wǎng)球熱．某小區(qū)舉行“賀歲杯”網(wǎng)球錦標(biāo)賽，甲、乙、丙、丁四位網(wǎng)球愛(ài)好者順利挺進(jìn)四強(qiáng)，四強(qiáng)對(duì)陣形勢(shì)為：甲對(duì)丙，乙對(duì)丁，勝者進(jìn)決賽，決賽勝者獲冠軍．已知甲勝乙、丙的概率均為，乙勝丁的概率為，甲勝丁的概率為，且各場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲獲得冠軍的概率；（2）如果甲、乙順利挺進(jìn)決賽，并且決賽采用五盤(pán)三勝制（即先贏三盤(pán)者獲勝，并結(jié)束比賽），甲每盤(pán)獲勝的概率為．求在決賽中甲獲勝的條件下，比賽進(jìn)行五盤(pán)的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互