空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運算一、向量概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算五、向量的模、方向角、投影返回一、向量概念向量：有向線段.符號表示：，，，，等.向量的大?。洪L度的值.向量的方向：箭頭方向.自由向量：只研究大小與方向，與起始點無關(guān).自由向量的相等：大小相等且指向相同.向量的模：向量的長度.||，||單位向量：模為1的向量.零向量：模等于零的向量，其方向任意.向量平行：兩個非零向量的方向相同或者相反.ABk個向量共面：k(2)個有公共起點的向量的k個終點和起點在一個平面上.返回二、向量的線性運算1.向量的加減法加法：(2)平行四邊形法則(1)三角形法則向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：多個向量相加，可以按照三角形法則.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.減法：特例：2.向量與數(shù)的乘法向量與實數(shù)的乘積記作數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：ABDCM.

,,例1在平行四邊形ABCD中，設(shè)試用

和

表示向量、、和這里M是平行四邊形對角線的角交點.解由于平行四邊形的對角線互相平分,所以即于是因為所以又因所以由于所以上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.設(shè)

表示與非零向量

同方向的單位向量，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，兩個向量的平行關(guān)系定理設(shè)向量，那么，向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù)，使.證充分性顯然；必要性‖設(shè)取當(dāng)與同向時取正值，當(dāng)與反向時取負(fù)值，即有此時與同向，且的唯一性設(shè)又設(shè)兩式相減，得即故即．．OiPxx點P

向量=

xi實數(shù)x軸上點P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是.=xi返回三、空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸：取空間一個定點O,作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點且一般具有相同的長度單位，這三條軸分別叫作x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸);點O叫作坐標(biāo)原點（或原點）.通常取x軸、y軸水平放置；z軸豎直放置，它們的正向符合右手法則.OZYX圖7-1Oxyz坐標(biāo)系可記作[O；，，]坐標(biāo)系坐標(biāo)面：空間直角坐標(biāo)系中任兩軸確定的平面。xOy面、yOz面、xOz面.卦限：坐標(biāo)面將空間分為八個卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ向量

的坐標(biāo)分解式：向徑：以原點為起點，M為終點的向量，例如.空間的點有序數(shù)組特殊點的表示:坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)面上的點返回四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算設(shè)（為實數(shù)）推論：則例2求解以向量為未知元的線性方程組其中解如同解以實數(shù)為未知元的線性方程組一樣，可解得以的坐標(biāo)表示式代入，即得解設(shè)為直線上的點，由題意知：這就是點M的坐標(biāo).返回例3

已知)(A和)(B以及實數(shù)AB直線上求點

M,使

x2,,y2,z2x1,,y1,z11-1l，在五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點的距離公式向量的模：設(shè)有點，則其距離為例4求證以三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解因為同理可得所以,

,即

為等腰三角形.例6已知兩點A(4,0,5)和B(7,1,3),求與AB

方向相同得單位向量.解因為AB=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2),所以,于是例5在z軸上求與兩點A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距離的點.解因為所求的點M在z軸上,所以設(shè)M(0,0,z),依題義有即兩邊去根號,解得

z=所求的點M(0,0,).2.方向角與方向余弦兩向量的夾角的概念：特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.設(shè)AB類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.MPQROzyx非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角方向角：r的方向角：設(shè)非零向量

r=(x,y,z)

方向余弦:方向余弦的特征:單位向量的方向余弦為:例7已知兩點和，計算向量得模、方向余弦和方向角.

解解依題意有由關(guān)系式得因點A在第卦限,知，故于是這就是點A的坐標(biāo).例8設(shè)點A位于第卦限,向徑OA與x軸、y軸的夾角依次為和，且，求點A的坐標(biāo)。3.向量在軸上的投影.空間一點在軸上的投影:過點作軸的垂直平面，交點即為點在軸上的投影.設(shè)，則數(shù)稱為向量在軸上的投影，記作或.

設(shè)則或記作性質(zhì)1(即),

其中為向量與軸的夾角;

性質(zhì)2(即);性質(zhì)3(即).