初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)專(zhuān)題試題及講解一次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分的核心內(nèi)容，不僅是學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)的基礎(chǔ)，更在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。掌握一次函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)，以及其與方程、不等式的聯(lián)系，對(duì)提升數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的能力至關(guān)重要。本文將通過(guò)知識(shí)梳理與典型例題解析，幫助同學(xué)們系統(tǒng)掌握這一專(zhuān)題。一、知識(shí)梳理與回顧在深入例題之前，我們先來(lái)回顧一下一次函數(shù)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，這是解決所有問(wèn)題的基礎(chǔ)。1.一次函數(shù)的定義形如\(y=kx+b\)（其中\(zhòng)(k\)、\(b\)是常數(shù)，且\(k\neq0\)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。特別地，當(dāng)\(b=0\)時(shí)，即\(y=kx\)（\(k\neq0\)），叫做正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)的特殊形式。這里需要強(qiáng)調(diào)的是\(k\neq0\)這個(gè)條件，若\(k=0\)，則函數(shù)就變成了\(y=b\)，這是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，其圖像是一條平行于x軸的直線，不再是一次函數(shù)。2.一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像是一條直線，因此也常稱(chēng)為直線\(y=kx+b\)。*k的幾何意義與作用：\(k\)稱(chēng)為斜率，它決定了直線的傾斜方向和傾斜程度。*當(dāng)\(k>0\)時(shí)，直線從左到右上升，函數(shù)值\(y\)隨自變量\(x\)的增大而增大。*當(dāng)\(k<0\)時(shí)，直線從左到右下降，函數(shù)值\(y\)隨自變量\(x\)的增大而減小。*\(|k|\)的值越大，直線越陡峭；\(|k|\)的值越小，直線越平緩。*b的幾何意義：\(b\)是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱(chēng)為截距。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=b\)，所以直線與y軸交于點(diǎn)\((0,b)\)。*當(dāng)\(b>0\)時(shí)，直線與y軸交于正半軸。*當(dāng)\(b=0\)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（正比例函數(shù)）。*當(dāng)\(b<0\)時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸。*直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：*與y軸交點(diǎn)：\((0,b)\)（前面已提及）。*與x軸交點(diǎn)：令\(y=0\)，解得\(x=-\frac{k}\)，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為\((-\frac{k},0)\)。3.用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式這是解決一次函數(shù)問(wèn)題中最核心的技能之一。步驟通常是：1.設(shè)所求一次函數(shù)的解析式為\(y=kx+b\)（若已知是正比例函數(shù)，則設(shè)\(y=kx\)）。2.根據(jù)題目給出的條件（通常是函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，或其他數(shù)量關(guān)系），列出關(guān)于\(k\)、\(b\)的方程組。3.解這個(gè)方程組，求出\(k\)、\(b\)的值。4.將\(k\)、\(b\)的值代入所設(shè)解析式，即可得到所求的函數(shù)解析式。二、典型例題精析題型一：一次函數(shù)的概念與基本性質(zhì)例1：下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？(1)\(y=3x-2\)(2)\(y=\frac{2}{x}\)(3)\(y=x^2+1\)(4)\(y=-0.5x\)(5)\(y=2\)思路點(diǎn)撥：根據(jù)一次函數(shù)的定義\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)，\(k\)、\(b\)為常數(shù)）來(lái)判斷。正比例函數(shù)是\(b=0\)的特殊一次函數(shù)。詳細(xì)解答：(1)\(y=3x-2\)，符合一次函數(shù)形式，\(k=3\neq0\)，\(b=-2\)，是一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)。(2)\(y=\frac{2}{x}\)，自變量在分母上，不是整式函數(shù)，所以不是一次函數(shù)。(3)\(y=x^2+1\)，自變量的次數(shù)是2，不是1，所以不是一次函數(shù)。(4)\(y=-0.5x\)，可看作\(y=-0.5x+0\)，符合一次函數(shù)形式，且\(b=0\)，所以既是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)。(5)\(y=2\)，可看作\(y=0x+2\)，但此時(shí)\(k=0\)，不符合一次函數(shù)\(k\neq0\)的條件，所以不是一次函數(shù)，它是常數(shù)函數(shù)?？偨Y(jié)升華：判斷一次函數(shù)的關(guān)鍵是看其是否符合“自變量次數(shù)為1，且系數(shù)不為0的整式函數(shù)”這一特征。題型二：一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用例2：已知一次函數(shù)\(y=(m-1)x+m^2-1\)。(1)若函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求\(m\)的值。(2)若函數(shù)圖像與y軸交于點(diǎn)\((0,3)\)，求\(m\)的值。(3)若函數(shù)值\(y\)隨\(x\)的增大而減小，求\(m\)的取值范圍。思路點(diǎn)撥：(1)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即點(diǎn)\((0,0)\)在圖像上，代入解析式可求\(m\)，同時(shí)要保證一次項(xiàng)系數(shù)不為0。(2)與y軸交于\((0,3)\)，即當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=3\)，代入可求\(m\)，同樣注意一次項(xiàng)系數(shù)不為0。(3)\(y\)隨\(x\)增大而減小，說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)\(k<0\)。詳細(xì)解答：(1)因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)\((0,0)\)，所以將\(x=0\)，\(y=0\)代入\(y=(m-1)x+m^2-1\)，得：\(0=(m-1)\times0+m^2-1\)即\(m^2-1=0\)，解得\(m=1\)或\(m=-1\)。又因?yàn)樵摵瘮?shù)是一次函數(shù)，所以\(m-1\neq0\)，即\(m\neq1\)。因此，\(m=-1\)。(2)因?yàn)楹瘮?shù)圖像與y軸交于點(diǎn)\((0,3)\)，所以當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=3\)，代入解析式得：\(3=(m-1)\times0+m^2-1\)即\(m^2-1=3\)，\(m^2=4\)，解得\(m=2\)或\(m=-2\)。同樣，一次項(xiàng)系數(shù)\(m-1\neq0\)，即\(m\neq1\)。這里\(m=2\)和\(m=-2\)均滿(mǎn)足，所以\(m=2\)或\(m=-2\)。(3)因?yàn)楹瘮?shù)值\(y\)隨\(x\)的增大而減小，所以一次項(xiàng)系數(shù)\(k=m-1<0\)，解得\(m<1\)。總結(jié)升華：解決此類(lèi)問(wèn)題，要緊扣一次函數(shù)的定義（保證\(k\neq0\)）和函數(shù)的性質(zhì)（\(k\)的符號(hào)決定增減性，\(b\)的值決定與y軸交點(diǎn)）。題型三：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式例3：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)\(A(2,-1)\)和點(diǎn)\(B(-1,5)\)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式。思路點(diǎn)撥：這是待定系數(shù)法的基本應(yīng)用。設(shè)出解析式\(y=kx+b\)，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到關(guān)于\(k\)、\(b\)的二元一次方程組，解方程組即可求出\(k\)、\(b\)。詳細(xì)解答：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）。因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)\(A(2,-1)\)和點(diǎn)\(B(-1,5)\)，所以將這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入解析式，得：\[\begin{cases}2k+b=-1\\-k+b=5\end{cases}\]用第一個(gè)方程減去第二個(gè)方程消去\(b\)：\((2k+b)-(-k+b)=-1-5\)\(2k+b+k-b=-6\)\(3k=-6\)解得\(k=-2\)。將\(k=-2\)代入第二個(gè)方程\(-(-2)+b=5\)，即\(2+b=5\)，解得\(b=3\)。所以，這個(gè)一次函數(shù)的解析式為\(y=-2x+3\)。總結(jié)升華：待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的通用方法，關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）。對(duì)于一次函數(shù)，通常需要兩個(gè)獨(dú)立的條件。題型四：一次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系例4：已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((1,3)\)和\((-1,-1)\)。(1)求此一次函數(shù)的解析式。(2)利用函數(shù)圖像求方程\(kx+b=0\)的解。(3)當(dāng)\(x\)取何值時(shí)，\(y>0\)？當(dāng)\(x\)取何值時(shí)，\(y<0\)？思路點(diǎn)撥：(1)先用待定系數(shù)法求出解析式。(2)方程\(kx+b=0\)的解，就是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。(3)\(y>0\)即函數(shù)圖像在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；\(y<0\)即函數(shù)圖像在x軸下方部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。詳細(xì)解答：(1)設(shè)一次函數(shù)解析式為\(y=kx+b\)。將點(diǎn)\((1,3)\)和\((-1,-1)\)代入，得：\[\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}\]兩式相加，得\(2b=2\)，解得\(b=1\)。將\(b=1\)代入\(k+b=3\)，得\(k=2\)。所以，一次函數(shù)解析式為\(y=2x+1\)。(2)方程\(2x+1=0\)的解，即函數(shù)\(y=2x+1\)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。令\(y=0\)，則\(2x+1=0\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)。所以，方程\(kx+b=0\)的解為\(x=-\frac{1}{2}\)。（若結(jié)合圖像，可描述為圖像與x軸交于點(diǎn)\((-\frac{1}{2},0)\)，故解為\(x=-\frac{1}{2}\)）(3)由\(y=2x+1\)的圖像（或一次函數(shù)性質(zhì)，\(k=2>0\)，y隨x增大而增大）可知：當(dāng)\(x>-\frac{1}{2}\)時(shí)，函數(shù)圖像在x軸上方，此時(shí)\(y>0\)；當(dāng)\(x<-\frac{1}{2}\)時(shí)，函數(shù)圖像在x軸下方，此時(shí)\(y<0\)。總結(jié)升華：一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式有著密切的內(nèi)在聯(lián)系。方程的解是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，不等式的解集是函數(shù)圖像在x軸上方或下方時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。題型五：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例5：小明從家出發(fā)去學(xué)校，途中要經(jīng)過(guò)一個(gè)書(shū)店。他從家到書(shū)店的速度為每分鐘走a米，走了b分鐘到達(dá)書(shū)店；在書(shū)店停留了c分鐘選購(gòu)書(shū)籍；然后以每分鐘走d米的速度從書(shū)店到學(xué)校，用了e分鐘。(1)請(qǐng)你用含a,b,c,d,e的代數(shù)式表示小明家到學(xué)校的總路程。(2)若\(a=60\)，\(b=10\)，\(c=5\)，\(d=50\)，\(e=12\)，①求小明家到學(xué)校的總路程。②若用x表示小明從家出發(fā)所經(jīng)歷的時(shí)間，y表示小明離家的距離，請(qǐng)你畫(huà)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖像（不需列表，只需畫(huà)出草圖，并標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)）。思路點(diǎn)撥：(1)總路程是家到書(shū)店的路程加上書(shū)店到學(xué)校的路程。(2)①代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。②函數(shù)圖像是分段函數(shù)，第一段是從家到書(shū)店的勻速行走（正比例函數(shù)），第二段是在書(shū)店停留（平行于x軸的線段），第三段是從書(shū)店到學(xué)校的勻速行走（一次函數(shù)）。詳細(xì)解答：(1)家到書(shū)店的路程為：\(a\timesb=ab\)（米）。書(shū)店到學(xué)校的路程為：\(d\timese=de\)（米）。所以，小明家到學(xué)校的總路程為：\(ab+de\)（米）。(2)①當(dāng)\(a=60\)，\(b=10\)，\(d=50\)，\(e=12\)時(shí)，總路程為：\(ab+de=60\times10+50\times12=600+600=1200\)（米）。②圖像分析：從家到書(shū)店：時(shí)間\(x\)從0到\(b=10\)分鐘。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=0\)；當(dāng)\(x=10\)時(shí)，\(y=ab=600\)米。此段圖像是過(guò)原點(diǎn)的線段，表達(dá)式為\(y=60x\)（\(0\leqx\leq10\)）。在書(shū)店停留：時(shí)間\(x\)從10分鐘到\(10+c=15\)分鐘。此段時(shí)間內(nèi)，離家距離不變，始終為600米。圖