第1頁（共1頁）2025年貴州省銅仁市高考數(shù)學(xué)三模試卷一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是即符合題目要求的.）1．設(shè)集合，1，2，，，則中元素的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．42．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)A．1 B． C． D．3．已知向量，，則在上的投影向量為A． B． C． D．4．在處理一組數(shù)據(jù)時，若未計入數(shù)值9，計算所得的平均值為9，方差為3．若將數(shù)值9納入分析，則該組數(shù)據(jù)A．平均數(shù)等于9，方差等于3 B．平均數(shù)等于9，方差小于3 C．平均數(shù)大于9，方差小于3 D．平均數(shù)小于9，方差大于35．隨機(jī)變量，若，則的展開式中的系數(shù)為A．12 B．15 C．16 D．206．在三棱錐中，已知平面，，．若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的體積為A． B． C． D．7．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)．若，且，則的漸近線夾角的正切值為A． B． C． D．28．已知函數(shù)，．用，表示，的最大值，記，．若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C． D．，二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）（多選）9．（6分）已知函數(shù)，則A．的最小正周期為 B．是的對稱軸 C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．是有實(shí)根的充要條件（多選）10．（6分）已知圓，圓，則A． B．若，則圓與圓有且僅有1個公共點(diǎn) C．若圓與圓的相交弦長為4，則 D．當(dāng)時，若動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡方程為（多選）11．（6分）已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，其中是各項均不為零的數(shù)列且．若，則A． B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 C． D．三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12．已知函數(shù)的一個零點(diǎn)為3，則的單調(diào)減區(qū)間是．13．?dāng)?shù)列滿足，若，則．14．一袋中裝有2個紅球，3個黑球，現(xiàn)從中任意取出一球，然后放回并放入2個與取出的球顏色相同的球，再從袋中任意取出一球，然后放回并再放入2個與取出的球顏色相同的球，一直重復(fù)相同的操作，則第二次取出的球是黑球的概率為；在第一次取出的球是紅球的條件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率為．四、解答題（共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．（13分）已知在△中，，其中內(nèi)角，，的對邊分別為，，．（1）求角的大小；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的最大值．16．（15分）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)有極小值，且極小值不大于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．（15分）如圖，在三棱柱中，四邊形是棱長為2的菱形，，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)，恒成立．（1）若，分別為線段，的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）已知三棱柱的體積為2，求面與面夾角的余弦值．18．（17分）已知橢圓的離心率為，短軸長為6，過右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，當(dāng)時，求△面積的取值范圍；當(dāng)時，證明：．19．（17分）近年來，睡眠質(zhì)量對健康的影響備受關(guān)注．研究表明，良好的睡眠習(xí)慣可以顯著降低焦慮和抑郁的發(fā)生率，同時提高免疫力．（1）某社區(qū)為推廣健康睡眠，開展了“早睡一小時”活動，鼓勵居民每晚提前一小時入睡．下表為活動開展后近5個月社區(qū)居民的睡眠改善情況統(tǒng)計．月份12345睡眠質(zhì)量顯著改善人數(shù)280250200160110若睡眠質(zhì)量顯著改善人數(shù)與月份變量具有線性相關(guān)關(guān)系（月份變量依次為1，2，3，4，，請預(yù)測第6個月睡眠質(zhì)量顯著改善的大約有多少人？（2）該社區(qū)將參加“早睡一小時”活動的居民分成了甲、乙、丙三組進(jìn)行挑戰(zhàn)賽，其規(guī)則如下：挑戰(zhàn)權(quán)在任何一組，該組都可向另外兩組發(fā)起挑戰(zhàn)，首先由甲組先發(fā)起挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)乙組、丙組的概率均為，若甲組挑戰(zhàn)乙組，則下次挑戰(zhàn)權(quán)在乙組．若挑戰(zhàn)權(quán)在乙組，則挑戰(zhàn)甲組、丙組的概率分別為；若挑戰(zhàn)權(quán)在丙組，則挑戰(zhàn)甲組、乙組的概率分別為．經(jīng)過3次挑戰(zhàn)，求挑戰(zhàn)權(quán)在乙組的次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)，使得當(dāng)時，是一個確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，稱為數(shù)列的聚點(diǎn)．經(jīng)過次挑戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權(quán)在甲組的概率為，證明數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，并求出聚點(diǎn)的值．附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．

2025年貴州省銅仁市高考數(shù)學(xué)三模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BDABBCCD二．多選題（共3小題）題號91011答案ACABCACD一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是即符合題目要求的.）1．設(shè)集合，1，2，，，則中元素的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4解：集合，1，2，，，故，，元素個數(shù)為2．故選：．2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)A．1 B． C． D．解：為純虛數(shù)，，解得．故選：．3．已知向量，，則在上的投影向量為A． B． C． D．解：向量，，則，，故在上的投影向量為．故選：．4．在處理一組數(shù)據(jù)時，若未計入數(shù)值9，計算所得的平均值為9，方差為3．若將數(shù)值9納入分析，則該組數(shù)據(jù)A．平均數(shù)等于9，方差等于3 B．平均數(shù)等于9，方差小于3 C．平均數(shù)大于9，方差小于3 D．平均數(shù)小于9，方差大于3解：設(shè)未計入9時的數(shù)據(jù)有個，這些數(shù)的和為，那么加入9后，數(shù)據(jù)總和為，數(shù)據(jù)個數(shù)變?yōu)椋碌钠骄鶖?shù)為，根據(jù)方差公式，加入9后，，且分母增大，所以方差變?。蔬x：．5．隨機(jī)變量，若，則的展開式中的系數(shù)為A．12 B．15 C．16 D．20解：由題可得：，即，則，故的展開式中的系數(shù)的值為：．故選：．6．在三棱錐中，已知平面，，．若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的體積為A． B． C． D．解：因?yàn)槠矫妫?，，，所以，即．把三棱錐補(bǔ)成長方體，長方體的體對角線就是外接球的直徑，根據(jù)長方體體對角線公式，則，球的體積．故選：．7．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)．若，且，則的漸近線夾角的正切值為A． B． C． D．2解：因?yàn)?，在△中，，所以，，則由雙曲線定義可得，，又，即，，聯(lián)立可解得：，．由勾股定理可知：，即，由平方關(guān)系可知：，雙曲線漸近線方程為，設(shè)的傾斜角為，則，漸近線夾角（指銳角）的正切值為：．故選：．8．已知函數(shù)，．用，表示，的最大值，記，．若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C． D．，解：由于，故從而對和均有，這表明在，和，上均單調(diào)遞增，從而在上遞增．由于，故，①若，則，且等號至多對成立，所以在上單調(diào)遞減．這就意味著對有，對有，從而始終有，成立，滿足條件；②若，取，使得，則對有，從而在，上遞增．這就意味著有，，所以，，不滿足條件．綜合①②兩個方面可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：．二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）（多選）9．（6分）已知函數(shù)，則A．的最小正周期為 B．是的對稱軸 C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．是有實(shí)根的充要條件解：由題意得．對于，的周期，可知項正確；對于，當(dāng)時，，不是最值，故不是的對稱軸，故項錯誤；對于，當(dāng)時，，，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知在區(qū)間上是增函數(shù)，故項正確；對于，的值域是，，所以，是有實(shí)根的充要條件，故項不正確．故選：．（多選）10．（6分）已知圓，圓，則A． B．若，則圓與圓有且僅有1個公共點(diǎn) C．若圓與圓的相交弦長為4，則 D．當(dāng)時，若動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡方程為解：對于圓，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，因?yàn)榘霃剑?，正確；若，圓，圓，半徑，圓，圓心，半徑．兩圓心間距離，則兩圓外切，所以兩圓有且僅有1個公共點(diǎn)，正確；若圓與圓的相交弦長為4，因?yàn)閳A的直徑為4，所以相交弦為圓的直徑，即兩圓的公共弦所在直線過圓的圓心，由，兩式相減可得，將代入，得，正確；當(dāng)時，圓，圓心，半徑，圓，圓，半徑．設(shè)動圓的半徑為，因?yàn)閯訄A與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則，，所以，，所以，根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，，，可得，，，其軌跡方程為，錯誤．故選：．（多選）11．（6分）已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，其中是各項均不為零的數(shù)列且．若，則A． B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 C． D．解：拋物線的焦點(diǎn)為，，解得，拋物線方程為，又在拋物線上，則，．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，準(zhǔn)線方程為，則，，又，，則，正確；，，不是常數(shù)，數(shù)列不是等差數(shù)列，故錯誤，當(dāng)時，當(dāng)時，，綜上，故正確，，故正確．故選：．三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12．已知函數(shù)的一個零點(diǎn)為3，則的單調(diào)減區(qū)間是．解：已知函數(shù)的一個零點(diǎn)為3，所以將代入函數(shù)得，即，解得．所以，所以，令，即，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間是．故答案為：．13．?dāng)?shù)列滿足，若，則1．解：數(shù)列滿足，則，則，即數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，又，則．故答案為：1．14．一袋中裝有2個紅球，3個黑球，現(xiàn)從中任意取出一球，然后放回并放入2個與取出的球顏色相同的球，再從袋中任意取出一球，然后放回并再放入2個與取出的球顏色相同的球，一直重復(fù)相同的操作，則第二次取出的球是黑球的概率為；在第一次取出的球是紅球的條件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率為．解：記表示第次取到黑球，，2，3，4，；，，．故答案為：．四、解答題（共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．（13分）已知在△中，，其中內(nèi)角，，的對邊分別為，，．（1）求角的大??；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的最大值．解：（1）由正弦定理為△外接圓半徑），將代入，可得，化簡后得到，即，根據(jù)余弦定理，把代入可得，因?yàn)?，所以；?）在△中，根據(jù)余弦定理，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，設(shè)，已知，則，即，根據(jù)基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，將代入，可得，解得，，滿足條件，所以的最大值為18．16．（15分）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)有極小值，且極小值不大于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，，（1），（1），所以切線方程為，即．（2），當(dāng)時，，則，在上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意．當(dāng)時，令，即，解得．當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增．所以在處取得極小值，（a）．因?yàn)榈臉O小值不大于0，即．令（a），，對（a）求導(dǎo)得．令（a），解得．當(dāng)時，，（a），（a）單調(diào)遞增；當(dāng)時，，（a），（a）單調(diào)遞減，所以（a）在處取得最大值（1），且當(dāng)或時，（a），因此對于，均有，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．17．（15分）如圖，在三棱柱中，四邊形是棱長為2的菱形，，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)，恒成立．（1）若，分別為線段，的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）已知三棱柱的體積為2，求面與面夾角的余弦值．解：（1）證明：連接、，在三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則為與的交點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以直線平面；（2）因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的動點(diǎn)，恒成立，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槿庵捏w積為2，設(shè)三棱柱的高為，所以，因?yàn)樗倪呅问抢忾L為2的菱形，，所以，所以，所以平面，以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，所以，設(shè)平面的法向量，則，取，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．18．（17分）已知橢圓的離心率為，短軸長為6，過右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，當(dāng)時，求△面積的取值范圍；當(dāng)時，證明：．解：（1）因?yàn)闄E圓的短軸長，所以，又離心率，且，把代入，得，再結(jié)合，即，可得，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)時，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，△恒成立，設(shè)，，，．則，，所以，點(diǎn)到直線的距離．．令，則，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)即時取等號），所以．當(dāng)直線的斜率為0時，直線的方程為，此時，，則，，則；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，，，，，由知，，則，則，令，由，則該函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，則，所以恒成立，又，則．綜上所述，．19．（17分）近年來，睡眠質(zhì)量對健康的影響備受關(guān)注．研究表明，良好的睡眠習(xí)慣可以顯著降低焦慮和抑郁的發(fā)生率，同時提高免疫力．（1）某社區(qū)為推廣健康睡眠，開展了“早睡一小時”活動，鼓勵居民每晚提前一小時入睡．下表為活動開展后近5個月社區(qū)居民的睡眠改善情況統(tǒng)計．月份12345睡眠質(zhì)量顯著改善人數(shù)280250200160110若睡眠質(zhì)量顯著改善人數(shù)與月份變量具有線性相關(guān)關(guān)系（月份變量依次為1，2，3，4，，請預(yù)測第6個月睡眠質(zhì)量顯著改善的大約有多少人？（2）該社區(qū)將參加“早睡一小時”活動的居民分成了甲、乙、丙三組進(jìn)行挑戰(zhàn)賽，其規(guī)則如下：挑戰(zhàn)權(quán)在任何一組，該組都可向另外兩組發(fā)起挑戰(zhàn)，首先由甲組先發(fā)起挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)乙組、丙組的概率均為，若甲組挑戰(zhàn)乙組，則下次挑戰(zhàn)權(quán)在乙組．若挑戰(zhàn)權(quán)在乙組，則挑戰(zhàn)甲組、丙組的概率分別為；若挑戰(zhàn)權(quán)在丙組，則挑戰(zhàn)甲組、乙組的概率分別為．經(jīng)過3次挑戰(zhàn)，求挑戰(zhàn)權(quán)在乙組的次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)，使得當(dāng)時，是一個確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，稱為數(shù)列的