第1頁（共1頁）2025年湖南省部分高中高考數(shù)學(xué)三模試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則A．， B．， C．， D．，2．若復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部為A． B． C．1 D．23．若甲、乙、丙、丁、戊隨機(jī)站成一排，則甲、乙不相鄰的概率為A． B． C． D．4．若向量滿足，且，則的夾角為A． B． C． D．5．已知，則A． B． C． D．6．已知函數(shù)在時(shí)取極小值，則其導(dǎo)函數(shù)的最小值為A． B． C． D．7．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為6的正方形，平面，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足線段的長度是點(diǎn)到的距離的2倍，則點(diǎn)的軌跡的長度為A． B． C． D．8．已知雙曲線左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)．若四邊形是正方形，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）下列說法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)1，3，5，7，9，11，13的第80百分位數(shù)為11 B．已知隨機(jī)變量，設(shè)，則的方差 C．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是 D．若樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為2，則，，，的平均數(shù)為8（多選）10．（6分）已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 C．在區(qū)間上的值域?yàn)?D．若的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（多選）11．（6分）對于無窮數(shù)列，下列命題中正確的是A．若既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是常數(shù)列 B．若等差數(shù)列滿足，則是常數(shù)列 C．若等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列 D．若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．橢圓的離心率為13．已知是偶函數(shù)，則的最大值為．14．已知集合且中至少含有2個(gè)元素，若對于中的任意兩個(gè)不同元素，，都有，則稱具有性質(zhì)，若，2，，，且同時(shí)具有性質(zhì)（4）和（7），則中至多有個(gè)元素．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．如圖，在直三棱柱中，，，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．16．某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾710米色內(nèi)飾35（1）若小明從這些模型中隨機(jī)抽取一個(gè)模型，記事件為抽到的模型為紅色外觀，事件為抽到的模型是米色內(nèi)飾，求（B），，并據(jù)此判斷事件，是否相互獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以從這些模型中一次性抽兩個(gè)汽車模型，根據(jù)這兩個(gè)汽車模型的外觀和內(nèi)飾顏色確定獎(jiǎng)金：若外觀異色且內(nèi)飾異色，則獎(jiǎng)勵(lì)600元，若外觀同色且內(nèi)飾同色，則獎(jiǎng)勵(lì)300元，若僅外觀同色或僅內(nèi)飾同色，則獎(jiǎng)勵(lì)150元，設(shè)一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為元，求的分布列與期望．17．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）將中的項(xiàng)按從小到大的順序插入中，且在任意的，之間插入項(xiàng)，從而構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，求．18．已知是拋物線的焦點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）比較與的大小，并說明理由；（3）過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，線段，的延長線分別交于點(diǎn)，，試判斷直線是否過定點(diǎn)，如果是，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，請說明理由．19．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)在，（1）處的切線方程；（2）若，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；若有兩個(gè)實(shí)根，，且，證明：．

2025年湖南省部分高中高考數(shù)學(xué)三模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案DAABACDC二．多選題（共3小題）題號(hào)91011答案ABBCDABD一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則A．， B．， C．， D．，解：由不等式，解得，不由等式，解得，所以集合，，，，，．故選：．2．若復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部為A． B． C．1 D．2解：由，得，則的實(shí)部為．故選：．3．若甲、乙、丙、丁、戊隨機(jī)站成一排，則甲、乙不相鄰的概率為A． B． C． D．解：5個(gè)人隨機(jī)排成一排的總排列數(shù)為種，利用插空法，先排丙、丁、戊三人，有種排法，再在形成的4個(gè)空中選擇2個(gè)空排列甲、乙，有種排法，所以甲、乙不相鄰的排法有種，所以甲乙不相鄰的概率為．故選：．4．若向量滿足，且，則的夾角為A． B． C． D．解：由題意可知，，，，，且，則，即的夾角為．故選：．5．已知，則A． B． C． D．解：由，可得，因?yàn)?，所以，解得（舍去）或．所以，可得，．故選：．6．已知函數(shù)在時(shí)取極小值，則其導(dǎo)函數(shù)的最小值為A． B． C． D．解：因?yàn)樵跁r(shí)取極小值，所以在處成立．即，所以．當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)取得極小值，故．此時(shí)，因?yàn)椋?，所以?dǎo)函數(shù)的最小值為：．故選：．7．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為6的正方形，平面，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足線段的長度是點(diǎn)到的距離的2倍，則點(diǎn)的軌跡的長度為A． B． C． D．解：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，即點(diǎn)到的距離為，所以，不妨以點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，建立平面坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，，，因?yàn)?，所以，整理得，即的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓上，則點(diǎn)的軌跡的長度為．故選：．8．已知雙曲線左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)．若四邊形是正方形，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．解：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?、所以，，即點(diǎn)，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，整理可得，而，整理可得：，即，則，解得．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）下列說法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)1，3，5，7，9，11，13的第80百分位數(shù)為11 B．已知隨機(jī)變量，設(shè)，則的方差 C．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是 D．若樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為2，則，，，的平均數(shù)為8解：對于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為11，故正確；對于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，故正確；對于選項(xiàng)，簡單隨機(jī)抽樣，從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，都是，故錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為2，所以，，，的平均數(shù)為，故錯(cuò)誤．故選：．（多選）10．（6分）已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 C．在區(qū)間上的值域?yàn)?D．若的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為解：因?yàn)?，對于選項(xiàng)，，錯(cuò)；對于選項(xiàng)，因?yàn)?，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，對；對于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，所以，對；對于選項(xiàng)，若的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，故，解得，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，取最小值，對．故選：．（多選）11．（6分）對于無窮數(shù)列，下列命題中正確的是A．若既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是常數(shù)列 B．若等差數(shù)列滿足，則是常數(shù)列 C．若等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列 D．若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列解：根據(jù)題意：對于無窮數(shù)列，對于選項(xiàng)，若數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列．對于等差數(shù)列，有為公差）；對于等比數(shù)列，有為公比且．若，那么，不是常數(shù)，這與等比數(shù)列性質(zhì)矛盾．所以，即，所以是常數(shù)列，選項(xiàng)正確．對于選項(xiàng)，根據(jù)題意：對于無窮數(shù)列，等差數(shù)列滿足．設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)無限增大，不可能始終滿足．只有當(dāng)時(shí)，，才能滿足，所以是常數(shù)列，選項(xiàng)正確．對于選項(xiàng)，根據(jù)題意：對于無窮數(shù)列，等比數(shù)列滿足．例如等比數(shù)列，，當(dāng)增大時(shí)，逐漸減小且始終小于等于1，滿足，但它不是常數(shù)列，選項(xiàng)錯(cuò)誤．對于選項(xiàng)，根據(jù)題意：對于無窮數(shù)列，各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足．設(shè)等比數(shù)列的公比為，．若，當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)無限增大，不滿足；若，當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)無限趨近于0，不滿足．所以只有，此時(shí)，滿足，是常數(shù)列，選項(xiàng)正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．橢圓的離心率為解：由橢圓方程可知，，可得，所以橢圓的離心率．故答案為：．13．已知是偶函數(shù)，則的最大值為．解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，易知定義域?yàn)?，即，因此的解集為；即可得，所以；此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足，符合題意；此時(shí)的定義域?yàn)椋?，易知?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，可知在處取得極大值，也是最大值，即；所以的最大值為．故答案為：．14．已知集合且中至少含有2個(gè)元素，若對于中的任意兩個(gè)不同元素，，都有，則稱具有性質(zhì)，若，2，，，且同時(shí)具有性質(zhì)（4）和（7），則中至多有921個(gè)元素．解：先證明連續(xù)11項(xiàng)中集合中最多選擇取5項(xiàng)，以1，2，3，，11為例．構(gòu)造如下抽屜：，，，，，，，，，，．①5，6，7同時(shí)選擇，因?yàn)榫哂行再|(zhì)（4）和（7），則選擇5則不選擇1，9；選擇6則不選擇2，10；選擇7則不選擇3，11；則只剩4，8，故1，2，3，，11中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．②5，6，7選擇2個(gè)，若只選擇5，6，則1，2，9，10，7不可以選擇，又，只能選擇一個(gè)元素，3，8可以選擇，故1，2，3，，11中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．若選擇5，7，則只能從2，4，8，10中選擇，但4，8不能同時(shí)選擇，故1，2，3，，11中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．若選擇6，7，則2，3，10，11，5不可選擇，又，只能選擇一個(gè)元素，4，9可以選擇，因此1，2，3，，11中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．③5，6，7中只選擇1個(gè)，又四個(gè)集合，，，，，，，每個(gè)集合至多選擇1個(gè)元素，所以1，2，3，，11中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．由上述①②③可知，連續(xù)11項(xiàng)自然數(shù)中屬于集合的元素至多只有5個(gè)，如取1，4，6，7，9．因?yàn)?，所以把?1個(gè)連續(xù)自然數(shù)分組，前184組每組至多選擇取5項(xiàng)，余一個(gè)數(shù)2025．給出如下選擇取方法：從1，2，3，，11中選擇1，4，6，7，9；然后在這5個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上每次累加11，構(gòu)造184次．此時(shí)集合的元素是：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20，23，26，28，29，31，，2014，2017，2019，2020，2022，共920個(gè)元素，而取2025也滿足題意，經(jīng)檢驗(yàn)可知該集合符合要求，因此集合的元素最多有921個(gè)．故答案為：921．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．如圖，在直三棱柱中，，，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）證明：由題知平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，所以四邊形是正方形，所以．又，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，，所以?，，，0，，，2，，，2，，所以．設(shè)平面的法向量為，則，則，即，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，由（1）得平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．16．某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾710米色內(nèi)飾35（1）若小明從這些模型中隨機(jī)抽取一個(gè)模型，記事件為抽到的模型為紅色外觀，事件為抽到的模型是米色內(nèi)飾，求（B），，并據(jù)此判斷事件，是否相互獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以從這些模型中一次性抽兩個(gè)汽車模型，根據(jù)這兩個(gè)汽車模型的外觀和內(nèi)飾顏色確定獎(jiǎng)金：若外觀異色且內(nèi)飾異色，則獎(jiǎng)勵(lì)600元，若外觀同色且內(nèi)飾同色，則獎(jiǎng)勵(lì)300元，若僅外觀同色或僅內(nèi)飾同色，則獎(jiǎng)勵(lì)150元，設(shè)一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為元，求的分布列與期望．解：（1）紅色外觀共有（個(gè)，，米色內(nèi)飾共有（個(gè)，，是紅色外觀且是米色內(nèi)飾的有3個(gè)，，，（A）（B），、不相互獨(dú)立．（2）由題意知的所有可能取值為600，300，150，且，，，的分布列為600300150．17．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）將中的項(xiàng)按從小到大的順序插入中，且在任意的，之間插入項(xiàng)，從而構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，求．解：（1）由可得，又，所以是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，即．（2）由可知是常數(shù)列，所以，即．（3）設(shè)在的前100項(xiàng)中，來自的有項(xiàng)．若第100項(xiàng)來自，則應(yīng)有，整理可得，該方程沒有正整數(shù)解，不滿足題意．若第100項(xiàng)來自，則應(yīng)有，整理可得．易知在時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故，所以的前100項(xiàng)中有10項(xiàng)來自，有90項(xiàng)來自，所以．18．已知是拋物線的焦點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）比較與的大小，并說明理由；（3）過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，線段，的延長線分別交于點(diǎn)，，試判斷直線是否過定點(diǎn)，如果是，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，請說明理由．解：（1）已知點(diǎn)在拋物線上，因此，所以，解得，因此拋物線的方程為．（2）拋物線方程可化為，那么導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可得過點(diǎn)的切線方程為，即，令，可得，因此．根據(jù)，，可得，因此．如圖（1），設(shè)