第1頁（共1頁）2025年福建省金科百校聯(lián)考高考數(shù)學測評試卷（2月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，0，1，2，，，則A．， B．，2， C．，1，2， D．，0，1，2，2．若復數(shù)滿足，則A． B． C．5 D．83．已知，為平面內(nèi)夾角為的單位向量，若，則A． B． C． D．4．著名天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)：地球繞太陽運行的軌道是一個橢圓，太陽為該橢圓的一個焦點．我們將地球在該橢圓軌道上距離太陽最近和最遠的位置分別稱為近日點和遠日點．已知近日點到太陽的距離約為，遠日點到太陽的距離約為，則該橢圓的焦距約為A． B． C． D．5．若且，已知是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C．， D．6．已知，若，當取得最大值時，A． B． C． D．7．在三棱錐中，已知平面，，，，則三棱錐的外接球的表面積的最小值為A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線上位于第一象限的一點，且，設為坐標原點，為的中點，的角平分線交線段于點，若，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對稱 C．在區(qū)間上的最小值為 D．函數(shù)為奇函數(shù)10．（6分）已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．存在實數(shù)，使得的圖象關(guān)于點對稱 B．任意的實數(shù)，，函數(shù)恒有兩個極值點 C．設，為的極值點，則 D．當時，若（其中，則11．（6分）設為數(shù)列的前項的積，，則A．當時， B．若，則 C．若，則為常數(shù)列 D．若數(shù)列為等差數(shù)列，則或三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則．13．已知，，，則的最小值為．14．已知函數(shù)的定義域為，為的導數(shù)，，，當，時，，若（5），則關(guān)于的不等式在區(qū)間，上的解集為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。15．（13分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．16．（15分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點，（1）處的切線為，不過原點，且在坐標軸上的截距相等，求的值；（2）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．17．（15分）記△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）證明：；（2）若，且△為銳角三角形，求△的周長的取值范圍．18．（17分）為慶祝“五一”國際勞動節(jié)，某校舉辦“五一”文藝匯演活動，本次匯演共有40個參賽節(jié)目，經(jīng)現(xiàn)場評委評分，分成六組：第一組，，第二組，，第三組，，第四組，，第五組，，第六組，，得到如下頻率分布直方圖：（1）估計所有參賽節(jié)目評分的第85百分位數(shù)（保留1位小數(shù)）；（2）若評分結(jié)束后只對所有評分在區(qū)間，的節(jié)目進行評獎（每個節(jié)目都能獲獎，只有一等獎和二等獎），其中每個節(jié)目獲評為一等獎的概率為，獲評為二等獎的概率為，每個節(jié)目的評獎結(jié)果相互獨立．設參評節(jié)目中恰有2個一等獎的概率為，求的極大值點；以中作為的值，若對這部分評獎節(jié)目進行獎勵，已知一等獎節(jié)目獎金為500元，若要使得總獎金期望不超過1400元，請估計二等獎獎金的最大值．19．（17分）已知拋物線的焦點為，，為拋物線上的一個動點（不與坐標原點重合），．（1）求拋物線的方程；（2）已知點，按照如下方式構(gòu)造點，3，4，，設直線為拋物線在點處的切線，過點作的垂線交拋物線于另一點，記的坐標為，．證明：當時，；設△的面積為，證明：．

2025年福建省金科百校聯(lián)考高考數(shù)學測評試卷（2月份）參考答案與試題解析題號12345678答案ABCBBDAC一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，0，1，2，，，則A．， B．，2， C．，1，2， D．，0，1，2，解：集合，0，1，2，，，，故，．故選：．2．若復數(shù)滿足，則A． B． C．5 D．8解：由，得，則．故選：．3．已知，為平面內(nèi)夾角為的單位向量，若，則A． B． C． D．解：由題意，，為夾角為的單位向量，則由，可得，即，解得，又，，所以．故選：．4．著名天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)：地球繞太陽運行的軌道是一個橢圓，太陽為該橢圓的一個焦點．我們將地球在該橢圓軌道上距離太陽最近和最遠的位置分別稱為近日點和遠日點．已知近日點到太陽的距離約為，遠日點到太陽的距離約為，則該橢圓的焦距約為A． B． C． D．解：由題意可得，，解得．故選：．5．若且，已知是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C．， D．解：根據(jù)題意，已知是上的單調(diào)函數(shù)，由于在，上遞增，故在上遞增，則在區(qū)間上遞增且，設，為開口向上二次函數(shù)，其對稱軸為，則必有，解可得，即的取值范圍為，．故選：．6．已知，若，當取得最大值時，A． B． C． D．解：因為，，且，則，整理得，所以，，由于，，所以，，由于，所以，當且僅當，即時取等號．故選：．7．在三棱錐中，已知平面，，，，則三棱錐的外接球的表面積的最小值為A． B． C． D．解：因為，，所以在△中，由余弦定理可得所以，所以，所以，所以，設△的外接圓的半徑為，球的半徑為，則根據(jù)正弦定理可得，所以，又，三棱錐的外接球的表面積的最小值為．故選：．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線上位于第一象限的一點，且，設為坐標原點，為的中點，的角平分線交線段于點，若，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．3解：設，，是雙曲線上位于第一象限的一點，由雙曲線的定義可得，由，可得，由為△的中位線，可得，又△為等腰直角三角形，且，即有，解得，，則，即，可得．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對稱 C．在區(qū)間上的最小值為 D．函數(shù)為奇函數(shù)解：函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故函數(shù)的最小正周期為，故正確；當時，，故錯誤；當，故，故當時，函數(shù)取得最小值為，故錯誤；函數(shù)，故函數(shù)為奇函數(shù)，故正確．故選：．10．（6分）已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．存在實數(shù)，使得的圖象關(guān)于點對稱 B．任意的實數(shù)，，函數(shù)恒有兩個極值點 C．設，為的極值點，則 D．當時，若（其中，則解：對于，當時，，選項正確；對于，，因為△，所以有兩個不相等的實數(shù)根，即恒有兩個極值點，選項正確；對于，易知，，，選項錯誤；對于，當時，由（其中，可知，即，所以，所以，所以，選項正確．故選：．11．（6分）設為數(shù)列的前項的積，，則A．當時， B．若，則 C．若，則為常數(shù)列 D．若數(shù)列為等差數(shù)列，則或解：對于選項：當時，由，選項正確；對于選項：由時，，可得，可得時，，代入，有，可得，故選項錯誤；對于選項：當時，，所以，因為，所以，，，所以為常數(shù)列，故選項正確；對于選項，若數(shù)列為等差數(shù)列，則為常數(shù)，①若，則恒成立，即恒成立，所以；②若，則，所以解得所以或，故選項正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則0.136．解：已知隨機變量服從正態(tài)分布，則該曲線關(guān)于對稱，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可得，所以．故答案為：0.136．13．已知，，，則的最小值為9．解：因為，，，則，當且僅當，即，時取等號．故答案為：9．14．已知函數(shù)的定義域為，為的導數(shù)，，，當，時，，若（5），則關(guān)于的不等式在區(qū)間，上的解集為，，．解：設，則當，時，，所以在，上單調(diào)遞增，因為，所以為奇函數(shù)，又，所以關(guān)于對稱，所以，所以，所以的周期為6，且為偶函數(shù)，又，所以（6），故由的單調(diào)性可知：在，和，單調(diào)遞增，在9，和，單調(diào)遞減，又，由的對稱性可知，（5）（7），由，可得，所以關(guān)于的不等式在區(qū)間，內(nèi)的解集為，，．故答案為：，，．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。15．（13分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．解：（1）因為平面，平面，所以，連接，由，，，故四邊形是正方形，故，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）如圖所示：建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，1，，，2，，所以，，，設平面的法向量為，，，則有，即，可取，1，，設與平面所成角為，則．16．（15分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點，（1）處的切線為，不過原點，且在坐標軸上的截距相等，求的值；（2）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由，又由切線在坐標軸上的截距相等，不過原點，可得（1），故；（2）令，，，令，有，令，可得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，可得，①當時，，有，可得；②當時，恒成立，可化為，令，有，又由函數(shù)單調(diào)遞增，且（e），可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有（e），故，由上知實數(shù)的取值范圍為，．17．（15分）記△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）證明：；（2）若，且△為銳角三角形，求△的周長的取值范圍．解：（1）證明：因為，所以由正弦定理得：，所以，又因為，所以，所以，所以，因，，所以，即；（2）因為，所以，所以，因為，所以，因為△為銳角三角形，所以，解得，所以，因為，，由余弦定理得：，所以，則，且，所以，即．所以周長的取值范圍為．18．（17分）為慶祝“五一”國際勞動節(jié)，某校舉辦“五一”文藝匯演活動，本次匯演共有40個參賽節(jié)目，經(jīng)現(xiàn)場評委評分，分成六組：第一組，，第二組，，第三組，，第四組，，第五組，，第六組，，得到如下頻率分布直方圖：（1）估計所有參賽節(jié)目評分的第85百分位數(shù)（保留1位小數(shù)）；（2）若評分結(jié)束后只對所有評分在區(qū)間，的節(jié)目進行評獎（每個節(jié)目都能獲獎，只有一等獎和二等獎），其中每個節(jié)目獲評為一等獎的概率為，獲評為二等獎的概率為，每個節(jié)目的評獎結(jié)果相互獨立．設參評節(jié)目中恰有2個一等獎的概率為，求的極大值點；以中作為的值，若對這部分評獎節(jié)目進行獎勵，已知一等獎節(jié)目獎金為500元，若要使得總獎金期望不超過1400元，請估計二等獎獎金的最大值．解：（1）因為評分為，的節(jié)目的頻率為，所以前幾組的頻率依次為0.05，0.2，0.35，0.2，0.15，所以第85百分位數(shù)在，，且為，所以估計所有參賽節(jié)目評分的第85百分位數(shù)為91.7；（2）因為評分在，的節(jié)目的頻數(shù)為，所以，所以，，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值，所以的極大值點為；設獲得一等獎的節(jié)目數(shù)為隨機變量，總獎金為，易知，所以，設二等獎獎金為元，則，所以，解得，所以二等獎獎金的最大值為100元．19．（17分）已知拋物線的焦點為，，為拋物線上的一個動點（不與坐標原點重合）