第9講遞推計(jì)數(shù)第9講遞推計(jì)數(shù)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)遞推計(jì)數(shù)（五下）1、遞推計(jì)數(shù)

用于解決復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題，通過考慮問題的簡(jiǎn)單情況，看看簡(jiǎn)單情形如何處理，在解決了簡(jiǎn)單情形后，再考慮如何利用簡(jiǎn)單情形的結(jié)論來解決更復(fù)雜的問題．這個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的推導(dǎo)過程就叫“遞推”。2、遞推計(jì)數(shù)的分類

（1）利用數(shù)列中各項(xiàng)的簡(jiǎn)單累加來解決的遞推計(jì)數(shù)問題（如上樓梯、覆蓋問題）．

（2）依靠增量分析，寫出遞推數(shù)列來解決的遞推計(jì)數(shù)問題（如直線分平面問題）．

（3）利用數(shù)表中各項(xiàng)的簡(jiǎn)單累加來解決的遞推計(jì)數(shù)問題（如傳球法）．

（4）不以簡(jiǎn)單累加形式進(jìn)行的遞推問題（如圓周連線問題），此類問題必須重視如何將復(fù)雜情形化歸為簡(jiǎn)單情形來解決，利用簡(jiǎn)單情形下已有的結(jié)論來推算復(fù)雜情形．3、染色問題

（1）能對(duì)于染色問題，只要能保證前面步驟的染色結(jié)果不會(huì)影響到后面步驟染色的方法數(shù)，就是合理的分步方法．

（1）對(duì)于較復(fù)雜的染色問題等較復(fù)雜的乘法原理問題，在分步時(shí)要優(yōu)先考慮可選擇情況較少的步驟，必須讓前面步驟的結(jié)果不影響后面步驟選擇的方法數(shù)．課堂例題課堂例題上樓梯及分平面問題1、老師給小高布置了12篇作文，規(guī)定他每天至少寫1篇．如果小高每天最多能寫2篇，那么共有多少種不同的完成方法？（小高每天只能寫完整數(shù)篇）【答案】

233【解析】

假設(shè)有1篇作文，則有1種方法；有2篇作文，則有種方法；有3篇作文，則有種方法；有4篇作文，則有種方法；有5篇作文，則有種方法……有12篇作文，則有種方法．作文數(shù)作文數(shù)123456789101112方法數(shù)1235813213455891442332、老師給小高布置了12篇作文，規(guī)定他每天至少寫1篇．如果小高每天最多能寫3篇，那么共有多少種寫完作文的方法？【答案】

927種【解析】

將作文數(shù)量與完成作文的方法數(shù)列成一張表格，如下所示：作文數(shù)作文數(shù)123456789101112完成方法數(shù)124713244481149274504927下面解釋一下這張數(shù)表是如何累加得到的．寫1、2、3篇作文的方法數(shù)可以枚舉得到．寫4篇作文的完成方法數(shù)可以分三類去數(shù)：如果第一天寫1篇，那么參考數(shù)表可得，剩下3篇有4種完成方法；如果第一天寫2篇，同樣參考數(shù)表可得，剩下2篇有2種完成方法；如果第一天寫3篇，那么剩下1篇還有1種完成方法——因此4篇作文的完成方法總數(shù)為，如上表箭頭所示．接著分析5篇作文的完成方法數(shù)，仍然分三類：第一天寫1篇，那么參考數(shù)表可得，剩下4篇還有7種完成方法；第一天寫2篇，那么剩下3篇還有4種完成方法；第一天寫3篇，那么剩下2篇還有2種完成方法——因此5篇作文的完成方法數(shù)等于……以此類推便可填滿整張表格．3、用10個(gè)的長方形紙片覆蓋一個(gè)的方格表，共有多少種覆蓋方法？【答案】

28種【解析】

我們可以列出一個(gè)遞推數(shù)表，將其表示如下：方格表大小方格表大小覆蓋方法數(shù)1123469131928下面詳細(xì)說明該問題的遞推規(guī)律．覆蓋、和方格表的方法數(shù)可以枚舉得到．接著分析覆蓋的表格有幾種覆蓋方法．如下圖所示，左上角的陰影方格在覆蓋的時(shí)候有兩種方法：豎著覆蓋或橫著覆蓋．當(dāng)豎著覆蓋時(shí)，余下部分恰好是一個(gè)的方格表，覆蓋方法數(shù)為2；當(dāng)橫著覆蓋時(shí)，其下方的方格只能被橫放的紙片蓋住，因此只剩下一個(gè)的方格表需要覆蓋，方法數(shù)為1．由此可得表格的方法數(shù)為．用同樣的方法分析的余下部分是的方格表，覆蓋方法有2種余下部分是的方格表，覆蓋方法有2種．陰影方格下方的格子只能用橫放的紙片蓋住，因此只剩下的方格表需要覆蓋．方格表，可得其覆蓋方法數(shù)等于的方法數(shù)加上的方法數(shù)，因此等于．接著以此類推即可．4、在一個(gè)平面上畫出100條直線，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？【答案】

5051【解析】

1條直線，把平面分成部分；2條直線，直線間增加1個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；3條直線，直線間增加2個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；4條直線，直線間增加3個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分……100條直線，直線間增加99個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分．直線數(shù)直線數(shù)123456……100增加交點(diǎn)01234599分成部分24711162250515、在一個(gè)平面上畫出10個(gè)圓，最多可以把平面分成多少部分？【答案】

92【解析】

一個(gè)圓最多能把平面分成2個(gè)部分；2個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)部分；3個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)部分；現(xiàn)在加入第4個(gè)圓，為了使分成的部分最多，第4個(gè)圓必須與前面3個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，因此得6個(gè)交點(diǎn)將第4個(gè)圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來的部分一分為二，即增加了一個(gè)部分，于是4個(gè)圓最多將平面分成個(gè)部分；同理，5個(gè)圓最多將平面分成個(gè)部分……那么10個(gè)圓，最多可以把平面分成部分．6、圓周上有10個(gè)點(diǎn)A1，A2，…，A10，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)連接5條線段，要求線段之間沒有公共點(diǎn)，共有多少種連接方式？【答案】

42種【解析】

我們依照連續(xù)偶數(shù)的次序進(jìn)行遞推累加．（1）圓周上有2個(gè)點(diǎn)，只有1種連法．（2）圓周上有4個(gè)點(diǎn)，只有2種連法．（3）圓周上有6個(gè)點(diǎn)A1、A2、A3、A4、A5、A6（如下左圖），那么與A1相連的點(diǎn)只能是A2、A4或A6．依次分三類情況討論：第一，A1連A4，剩下4個(gè)點(diǎn)連法數(shù)為2；第二，A1連A4，剩下4個(gè)點(diǎn)連法數(shù)為1；第三，A1連A4，剩下4個(gè)點(diǎn)連法數(shù)也為2．由此可得，6個(gè)點(diǎn)共有5種不同的連法．（4）如果圓周上有8個(gè)點(diǎn)A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8（如下右圖），那么與A1相連的點(diǎn)有四種可能，分別是A2、A4、A6或A8．以此分四類討論，共14種方法．AA3A1A2A4A5A6A1A2A3A4A5A6A7A8還剩4個(gè)點(diǎn)，2種方法．1種方法．還剩4個(gè)點(diǎn)，2種方法．還剩6個(gè)點(diǎn)，共5種方法．剩余個(gè)點(diǎn)，方法數(shù)為．剩余個(gè)點(diǎn)，方法數(shù)為．還剩6個(gè)點(diǎn)，共5種方法．6個(gè)點(diǎn)共5種方法8個(gè)點(diǎn)共14種方法（5）如果圓周上有10個(gè)點(diǎn)，同樣考慮能與A1相連的點(diǎn)，分五類討論，如下圖所示．共42種方法．AA1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10剩余8個(gè)點(diǎn)共14種方法剩余個(gè)點(diǎn)共種方法剩余個(gè)點(diǎn)共種方法剩余個(gè)點(diǎn)共種方法剩余8個(gè)點(diǎn)共14種方法7、如圖所示是蜂巢的一部分，假如從中間到外面有66層，每個(gè)小正六邊形中有一只幼蜂，那么整個(gè)蜂巢里共有____________只幼蜂．【答案】

12871【解析】

如果只有1層，則有1個(gè)小正六邊形；如果有2層，則有個(gè)小正六邊形；如果有3層，則有個(gè)小正六邊形；如果有4層，則有個(gè)小正六邊形……從中間到外面有66層，則有個(gè)正六邊形，即整個(gè)蜂巢里共有12871只幼蜂．傳球法及應(yīng)用8、四個(gè)人分別穿著紅、黃、綠、藍(lán)四種顏色的球衣練習(xí)傳球，每人都可以把球傳給另外三個(gè)人中的任意一個(gè)．先由紅衣人發(fā)球，并作為第1次傳球，經(jīng)過8次傳球后球仍然回到紅衣人手中．請(qǐng)問：整個(gè)傳球過程共有多少種不同的可能？【答案】

1641種【解析】

本題的方法稱為“傳球法”．傳球法在很多問題中有著廣泛的應(yīng)用．如右側(cè)表格所示，除了第“0”行外，其余每一行的數(shù)量都是由上一行的數(shù)量通過某種規(guī)則累加得到的．比如第“1”行紅下方的0，就是通過第“0”行黃、綠、藍(lán)的數(shù)量相加得到的；第“3”行黃下方的7，就是通過第“2”行紅、綠、藍(lán)的數(shù)量相加得到的；第“4”行綠下方的20，就是通過第“5”行紅、黃、藍(lán)的數(shù)量相加得到的；第“6”行藍(lán)下方的182，就是通過第“5”行紅、黃、綠的數(shù)量相加得到的．之所以有這樣的累加規(guī)則，就是因?yàn)榧t想拿球，必須由黃、綠、藍(lán)傳球給他，所以他下方的數(shù)也必須由黃、綠、藍(lán)累加給他——這就是傳球規(guī)則決定累加規(guī)則．依據(jù)這一累加規(guī)則，我們不停地將數(shù)表向下累加，每傳一次球就多累加一行，最后得到第“8”行．這一行的四個(gè)數(shù)分別為1641、1640、1640和1640．他們分別表示8次傳球后，由紅、黃、綠、藍(lán)拿球的傳球方法數(shù)．由于題目要求最后球回到紅手中，因此答案為1641種．紅紅黃綠藍(lán)0100010111232223677742120202056061616161831821821827546547547547816411640164016409、甲、乙、丙、丁四人參加一項(xiàng)特殊的接力賽，比賽要求有5次交接棒，但不要求每人都參加，同一個(gè)人可以參加多次．那么由甲擔(dān)任第一棒，乙擔(dān)任最后一棒，共有多少種交接棒順序？【答案】

61【解析】

本題的方法稱為“傳球法”．傳球法在很多問題中有著廣泛的應(yīng)用．如右側(cè)表格所示，除了第1行外，其余每一行的數(shù)量都是由上一行的數(shù)量通過某種規(guī)則累加得到的．比如第2行甲下方的0，就是通過第1行乙、丙、丁的數(shù)量相加得到的；第3行乙下方的2，就是通過第2行甲、丙、丁的數(shù)量相加得到的；第4行丙下方的7，就是通過第3行甲、乙、丁的數(shù)量相加得到的……之所以有這樣的累加規(guī)則，就是因?yàn)榧紫肽冒?，必須由乙、丙、丁傳棒給他，所以他下方的數(shù)也必須由乙、丙、丁累加給他——這就是傳球規(guī)則決定累加規(guī)則．依據(jù)這一累加規(guī)則，我們不停地將數(shù)表向下累加，每傳一次棒就多累加一行，最后得到第6行．這一行的四個(gè)數(shù)分別為60、61、61、61．他們分別表示5次交接棒后，由甲、乙、丙、丁拿棒的傳球方法數(shù)．由于題目要求最后乙擔(dān)任最后一棒，因此答案為61種．甲甲乙丙丁開始1000第1次0111第2次3222第3次6777第4次21202020第5次6061616110、甲、乙、丙、丁四人參加一項(xiàng)特殊的接力賽，比賽要求有4次交接棒，但不要求每人都參加，同一個(gè)人可以參加多次．而且甲不能把棒交給乙．那么由甲擔(dān)任第一棒，乙擔(dān)任最后一棒，共有多少種交接棒順序？【答案】

10【解析】

本題的方法稱為“傳球法”．傳球法在很多問題中有著廣泛的應(yīng)用．如右側(cè)表格所示，除了第1行外，其余每一行的數(shù)量都是由上一行的數(shù)量通過某種規(guī)則累加得到的．注意，甲不能把棒交給乙，所以乙只能由丙、丁累加得到．比如第2行甲下方的0，就是通過第1行乙、丙、丁的數(shù)量相加得到的；第2行乙下方的0，就是通過第1行丙、丁的數(shù)量相加得到的；第3行乙下方的2，就是通過第2行丙、丁的數(shù)量相加得到的；第4行丙下方的5，就是通過第3行甲、乙、丁的數(shù)量相加得到的……之所以有這樣的累加規(guī)則，就是因?yàn)榧紫肽冒?，必須由乙、丙、丁傳棒給他，所以他下方的數(shù)也必須由乙、丙、丁累加給他——這就是傳球規(guī)則決定累加規(guī)則．依據(jù)這一累加規(guī)則，我們不停地將數(shù)表向下累加，每傳一次球就多累加一行，最后得到第5行．這一行的四個(gè)數(shù)分別為12、10、11、11．他們分別表示4次交接棒后，由甲、乙、丙、丁拿棒的傳球方法數(shù)．由于題目要求最后乙擔(dān)任最后一棒，因此答案為10種．甲甲乙丙丁開始1000第1次0011第2次2211第3次4255第4次1210111111、一個(gè)七位數(shù)，每一位都是1，2或者3，而且沒有連續(xù)的兩個(gè)1，這樣的七位數(shù)一共有多少個(gè)？【答案】

1224個(gè)【解析】

我們把這個(gè)七位數(shù)看作是1、2、3三個(gè)人之間傳6次球的一個(gè)傳球順序，具體的傳球規(guī)則是：1能傳球給2、3，但不能給自己；2、3都能傳球給1、2、3．依據(jù)“傳球規(guī)則決定累加規(guī)則”，我們可以列出如右表所示的一張遞推表格．表格的第“0”行是發(fā)球行，對(duì)應(yīng)的是這個(gè)七位數(shù)的首位數(shù)字．由于1、2、3都能作首位，因此第“0”行寫的都是1．接著按照傳球規(guī)則累加即可．表格中第“6”行（最后一行）中的三個(gè)數(shù)分別表示第六次傳球后，球在1、2、3手中的方法數(shù)，對(duì)于七位數(shù)而言，就是表示分別以1、2、3結(jié)尾的符合題意的七位數(shù)有多少個(gè)．所以最后答案應(yīng)該把它們?nèi)悠饋恚扔冢?123011112332688316222244460605120164164632844844812、如圖所示，一個(gè)圓環(huán)被分成8部分，現(xiàn)將每一部分染上紅、黃、藍(lán)三種顏色之一，要求相鄰兩部分顏色不同，共有多少種染色方法？【答案】

258種【解析】

采用“傳球法”，將圓環(huán)分別編號(hào)為A、B、C、D、E、F、G、H，設(shè)A染紅色，如右圖所示，H不能再染紅色，有種染法，由對(duì)稱性可知，共有種染法．紅紅黃藍(lán)A100B011C211D233E655F101111G222121H424343

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、一個(gè)樓梯共有12級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每步可以邁二級(jí)臺(tái)階或三級(jí)臺(tái)階．走完這12級(jí)臺(tái)階，共有多少種不同的走法？【答案】

12【解析】

假設(shè)有2級(jí)臺(tái)階，則有1種走法；假設(shè)有3級(jí)臺(tái)階，則有1種走法；假設(shè)有4級(jí)臺(tái)階，則有1種走法；假設(shè)有5級(jí)臺(tái)階，則有種走法；假設(shè)有6級(jí)臺(tái)階，則有種走法……以此類推，可得如下圖所示結(jié)果．所以，走完這12級(jí)臺(tái)階，共有12種不同的走法．臺(tái)階數(shù)臺(tái)階數(shù)2級(jí)3級(jí)4級(jí)5級(jí)6級(jí)7級(jí)8級(jí)9級(jí)10級(jí)11級(jí)12級(jí)方法數(shù)1112234579122、用7個(gè)的長方形紙片覆蓋一個(gè)的方格表，共有多少種覆蓋方法？【答案】

21【解析】

我們可以列一個(gè)遞推列表，將其表示如下．可知，方格大小為時(shí)，方法數(shù)為1；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為2；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為……依次類推，可知用7個(gè)的長方形紙片覆蓋一個(gè)的方格表，共有21種覆蓋方法．方格表大小方格表大小覆蓋方法1235813213、如果在一個(gè)圓內(nèi)畫出50條直線，最多可以把圓分成多少部分？【答案】

1276【解析】

1條直線，把平面分成部分；2條直線，直線間增加1個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；3條直線，直線間增加2個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；4條直線，直線間增加3個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分……50條直線，直線間增加49個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分．直線數(shù)直線數(shù)123456……50增加交點(diǎn)01234549分成部分24711162212764、三個(gè)人分別穿紅、黃、藍(lán)三種顏色的球衣練習(xí)傳球，每人都可以把球傳給另外兩個(gè)人中的任意一個(gè)．先由紅衣人發(fā)球，并作為第1次傳球，經(jīng)過7次傳球后傳到藍(lán)衣人手中．請(qǐng)問：整個(gè)傳球過程共有多少種不同的可能？【答案】

43【解析】

本題的方法稱為“傳球法”．傳球法在很多問題中有著廣泛的應(yīng)用．如右側(cè)表格所示，除了第1行外，其余每一行的數(shù)量都是由上一行的數(shù)量通過某種規(guī)則累加得到的．比如第2行紅下方的0，就是通過第1行黃、藍(lán)的數(shù)量相加得到的；第2行黃下方的1，就是通過第1行紅、藍(lán)的數(shù)量相加得到的；第3行藍(lán)下方的1，就是通過第2行紅、黃的數(shù)量相加得到的……之所以有這樣的累加規(guī)則，就是因?yàn)榧t想拿球，必須由黃、藍(lán)傳球給他，所以他下方的數(shù)也必須由黃、藍(lán)累加給他——這就是傳球規(guī)則決定累加規(guī)則．依據(jù)這一累加規(guī)則，我們不停地將數(shù)表向下累加，每傳一次球就多累加一行，最后得到第8行．這一行的四個(gè)數(shù)分別為42、43、43．他們分別表示7次傳球后，由紅、黃、藍(lán)拿球的傳球方法數(shù)．由于題目要求最后球傳到藍(lán)衣人手中，因此答案為43種．紅紅黃藍(lán)開始100第1次后011第2次后211第3次后233第4次后655第5次后101111第6次后222121第7次后424343課后作業(yè)課后作業(yè)1、有10個(gè)蛋黃派，萱萱每天吃1個(gè)或2個(gè)，那么共有_______種不同的吃法．【答案】

89【解析】

假設(shè)有1個(gè)蛋黃派，則有1種方法；有2個(gè)蛋黃派，則有種方法；有3個(gè)蛋黃派，則有種方法；有4個(gè)蛋黃派，則有種方法；有5個(gè)蛋黃派，則有種方法……有10個(gè)蛋黃派，則有種方法．作文數(shù)作文數(shù)12345678910方法數(shù)1235813213455892、老師給小高布置了10道題作為作業(yè)，小高打算每天做1~3道題，那么共有______種不同的完成方法．【答案】

274【解析】

假設(shè)有1道作業(yè)，則有1種方法；有2道作業(yè)，則有種方法；有3道作業(yè)，則有種方法；有4道作業(yè)，則有種方法；有5個(gè)道作業(yè)，則有種方法……有10個(gè)道作業(yè)，則有種方法．作文數(shù)作文數(shù)12345678910方法數(shù)1247132444811492743、用8個(gè)的長方形紙片覆蓋右邊的方格表，共有_______種覆蓋方法．【答案】

34【解析】

我們可以列一個(gè)遞推列表，將其表示如下．可知，方格大小為時(shí)，方法數(shù)為1；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為2；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為……依次類推，可知用8個(gè)的長方形紙片覆蓋一個(gè)的方格表，共有34種覆蓋方法．方格表大小方格表大小覆蓋方法123581321344、用8個(gè)的長方形紙片覆蓋右邊的方格表，共有_______種覆蓋方法．【答案】

7【解析】

我們可以列一個(gè)遞推列表，將其表示如下．可知，方格大小為時(shí)，方法數(shù)為1；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為1；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為1；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為2；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為；方格大小為時(shí)，方法數(shù)為．可知用8個(gè)的長方形紙片覆蓋一個(gè)的方格表，共有7種覆蓋方法．方格表大小方格表大小覆蓋方法111234575、在一個(gè)平面上畫出50條直線，最多可以把平面分成_______個(gè)部分．【答案】

1276【解析】

1條直線，把平面分成部分；2條直線，直線間增加1個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；3條直線，直線間增加2個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；4條直線，直線間增加3個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分……50條直線，直線間增加49個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分．直線數(shù)直線數(shù)123456……50增加交點(diǎn)01234549分成部分24711162212766、用直線把一個(gè)平面分成100部分，至少要在平面上畫_______條直線．【答案】

14【解析】

1條直線，把平面分成部分；2條直線，直線間增加1個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；3條直線，直線間增加2個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；4條直線，直線間增加3個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分……設(shè)n條直線把一個(gè)平面分成100部分，則有，可得，即至少要在平面上畫14條直線．7、在一個(gè)平面上畫出20個(gè)圓，最多可以把平面分成_______個(gè)部分．【答案】

382【解析】

一個(gè)圓最多能把平面分成2個(gè)部分；2個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)部分；3個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)部分；現(xiàn)在加入第4個(gè)圓，為了使分成的部分最多，第4個(gè)圓必須與前面3個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，因此得6個(gè)交點(diǎn)將第4個(gè)圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來的部分一分為二，即增加了一個(gè)部分，于是4個(gè)圓最多將平面分成個(gè)部分；同理，5個(gè)圓最多將平面分成個(gè)部分……那么20個(gè)圓，最多可以把平面分成部分．8、甲乙丙丁四個(gè)人在練習(xí)傳球，每個(gè)人都可以把球傳給另外三個(gè)人中的任意一個(gè)．由甲先發(fā)球，經(jīng)過4次傳球之后球沒有回到甲的手里．那么傳球過程共有_______種不同的可能．【答案】

60【解析】

本題的方法稱為“傳球法”．傳球法在很多問題中有著廣泛的應(yīng)用．如右側(cè)表格所示，除了第1行外，其余每一行的數(shù)量都是由上一行的數(shù)量通過某種規(guī)則累加得到的．比如第2行甲下方的0，就是通過第1行乙、丙、丁的數(shù)量相加得到的；第3行乙下方的2，就是通過第2行甲、丙、丁的數(shù)量相加得到的；第4行丙下方的7，就是通過第3行甲、乙、丁的數(shù)量相加得到的……之所以有這樣的累加規(guī)則，就是因?yàn)榧紫肽们?，必須由乙、丙、丁傳球給他，所以他下方的數(shù)也必須由乙、丙、丁累加給他——這就是傳球規(guī)則決定累加規(guī)則．依據(jù)這一累加規(guī)則，我們不停地將數(shù)表向下累加，每傳一次球就多累加一