預(yù)科線性代數(shù)考試題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(\vertA\vert=\)（）-A.-2-B.2-C.10-D.-10答案：A2.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,0,-1)\)，\(\vec=(0,1,0)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=\)（）-A.0-B.1-C.-1-D.2答案：A3.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，如果存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=I\)，則\(B\)稱為\(A\)的（）-A.轉(zhuǎn)置矩陣-B.伴隨矩陣-C.逆矩陣-D.正交矩陣答案：C4.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為系數(shù)矩陣）有非零解的充要條件是（）-A.\(r(A)=n\)-B.\(r(A)<n\)-C.\(\vertA\vert\neq0\)-D.\(A\)為可逆矩陣答案：B5.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\)，則\(A\)的特征值為（）-A.\(1,3\)-B.\(-1,-3\)-C.\(1,-3\)-D.\(-1,3\)答案：A6.若\(\vec{a}\)，\(\vec\)線性相關(guān)，則（）-A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2\)，使得\(k_1\vec{a}+k_2\vec=\vec{0}\)-B.對(duì)任意數(shù)\(k_1,k_2\)，\(k_1\vec{a}+k_2\vec=\vec{0}\)-C.\(\vec{a}=\vec\)-D.\(\vec{a}=-\vec\)答案：A7.設(shè)\(A\)是\(3\times3\)矩陣，\(r(A)=2\)，則齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為（）-A.1-B.2-C.3-D.0答案：A8.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^{}=\)（）-A.\(\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)-B.\(\begin{pmatrix}a&-b\\-c&d\end{pmatrix}\)-C.\(\begin{pmatrix}d&b\\c&a\end{pmatrix}\)-D.\(\begin{pmatrix}-a&b\\c&-d\end{pmatrix}\)答案：A9.向量組\(\vec{a}_1=(1,1,1)\)，\(\vec{a}_2=(0,1,1)\)，\(\vec{a}_3=(0,0,1)\)是（）-A.線性相關(guān)-B.線性無關(guān)-C.不能確定-D.以上都不對(duì)答案：B10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，\(\vec{x}\)為對(duì)應(yīng)的特征向量，則\(A\vec{x}=\)（）-A.\(\lambda\vec{x}\)-B.\(\vec{x}\)-C.\(\lambda\)-D.\(\lambda+\vec{x}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是矩陣的運(yùn)算（）-A.加法-B.減法-C.乘法-D.除法答案：ABC2.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，則下列等式正確的是（）-A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)-B.\((AB)^T=B^TA^T\)-C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)-D.如果\(A\)可逆，則\((A^{-1})^{-1}=A\)答案：BCD3.向量空間\(V\)的基應(yīng)滿足（）-A.線性無關(guān)-B.線性相關(guān)-C.能線性表示向量空間中的任意向量-D.向量個(gè)數(shù)最多答案：AC4.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，\(\vertA\vert=0\)的充分條件有（）-A.\(A\)有一行元素全為零-B.\(A\)有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例-C.\(A\)為對(duì)角矩陣且主對(duì)角線元素有一個(gè)為零-D.\(A\)為上三角矩陣且主對(duì)角線元素全不為零答案：ABC5.設(shè)\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)，\(\vec=(b_1,b_2,b_3)\)，則\(\vec{a}\times\vec=\)（）-A.\((a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\)-B.\(-(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\)-C.\((a_3b_2-a_2b_3,a_1b_3-a_3b_1,a_2b_1-a_1b_2)\)-D.\(-(a_3b_2-a_2b_3,a_1b_3-a_3b_1,a_2b_1-a_1b_2)\)答案：A6.下列矩陣中，哪些是對(duì)稱矩陣（）-A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\)-B.\(\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\)-C.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)-D.\(\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\)答案：ACD7.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)與對(duì)角矩陣相似，則（）-A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量-B.\(A\)的特征值互不相同-C.\(A\)的特征多項(xiàng)式無重根-D.\(A\)為實(shí)對(duì)稱矩陣答案：A8.設(shè)\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)為三維向量，則\((\vec{a}\times\vec)\cdot\vec{c}=\)（）-A.\(\vec{a}\cdot(\vec\times\vec{c})\)-B.\((\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec\)-C.\((\vec\times\vec{c})\cdot\vec{a}\)-D.\(\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec)\)答案：ABCD9.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(B\)為\(n\timesp\)矩陣，則\(r(AB)\)滿足（）-A.\(r(AB)\leqr(A)\)-B.\(r(AB)\leqr(B)\)-C.\(r(AB)\geqr(A)+r(B)-n\)-D.\(r(AB)=r(A)+r(B)\)答案：ABC10.設(shè)\(\vec{a}=(1,2,3)\)，則與\(\vec{a}\)平行的向量可以是（）-A.\((2,4,6)\)-B.\((-1,-2,-3)\)-C.\((1,3,2)\)-D.\((0,0,0)\)答案：AB三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)，\(B\)可逆，則\(A+B\)也可逆。（）答案：錯(cuò)2.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，\(A\)與\(A^T\)的特征值相同。（）答案：對(duì)3.零向量是任何向量組的線性組合。（）答案：對(duì)4.若\(r(A)=n\)（\(A\)為\(n\)階方陣），則\(A\)的行向量組線性無關(guān)。（）答案：對(duì)5.設(shè)\(\vec{a},\vec\)為非零向量，則\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\)當(dāng)且僅當(dāng)\(\vec{a}\)與\(\vec\)同向。（）答案：對(duì)6.任何一個(gè)\(n\)階方陣都可以相似對(duì)角化。（）答案：錯(cuò)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(Ax=b\)（\(b\neq\vec{0}\)）有唯一解。（）答案：對(duì)8.向量組\(\vec{a}_1=(1,0,0)\)，\(\vec{a}_2=(0,1,0)\)，\(\vec{a}_3=(1,1,0)\)是線性無關(guān)的。（）答案：錯(cuò)9.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)。（）答案：錯(cuò)10.設(shè)\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec=(1,-1)\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)正交。（）答案：對(duì)四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的定義及其判定條件。答案：對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，如果存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=I\)，則稱\(A\)可逆。判定條件：\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，或者\(yùn)(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)，或者\(yùn)(r(A)=n\)等。2.什么是向量組的極大線性無關(guān)組？答案：向量組的一個(gè)部分組如果滿足線性無關(guān)，并且再添加向量組中的任何一個(gè)向量就變成線性相關(guān)，則這個(gè)部分組稱為向量組的極大線性無關(guān)組。3.簡(jiǎn)述齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為系數(shù)矩陣）基礎(chǔ)解系的概念。答案：齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系是它的解空間中的一個(gè)極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系中的向量個(gè)數(shù)為\(n-r(A)\)（\(n\)為未知數(shù)個(gè)數(shù)，\(r(A)\)為系數(shù)矩陣\(A\)的秩）。4.說明特征值與特征向量的關(guān)系。答案：設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，\(\vec{x}\)為對(duì)應(yīng)的特征向量，則\(A\vec{x}=\lambda\vec{x}\)，特征向量是非零向量，一個(gè)特征值可以對(duì)應(yīng)多個(gè)線性無關(guān)的特征向量。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論當(dāng)\(k\)取何值時(shí)，向量組\(\vec{a}_1=(1,1,1)\)，\(\vec{a}_2=(1,2,3)\)，\(\vec{a}_3=(1,3,k)\)線性相關(guān)。答案：由向量組線性相關(guān)的判定，計(jì)算行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&k\end{vmatrix}=0\)，解得\(k=5\)，當(dāng)\(k=5\)時(shí)向量組線性相關(guān)。2.討論矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}\)是否可逆，若可逆求其逆矩陣。答案：因?yàn)閈(\vertA\vert=1\neq0\)，所以\(A\)可逆。\(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-a&ac-b\\0&1&-c\\0&0&1\end{pmatrix}\)。3.討論齊次線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1+2x_2+3x_3=0\\x_1+3x_2+kx_3=0\end{cases}\)（\(k\)為參數(shù)）的解的情況。答案：系數(shù)矩陣\(A