第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的作用和實(shí)際意義.目錄CONTENTS123知識(shí)體系構(gòu)建課時(shí)跟蹤檢測(cè)考點(diǎn)分類突破PART1知識(shí)體系構(gòu)建必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

1.（2021·全國(guó)甲卷4題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A.

f

（

x

）＝－

x

C.

f

（

x

）＝

x

2

2.已知函數(shù)

y

＝

f

（

x

）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

（

）A.[－1，2]∪[4，5]B.[－1，2]和[4，5]C.[－3，－1]∪[2，4]D.[－3，－1]和[2，4]解析：

由圖象知，該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，2]和[4，

5]，故選B.3.（2024·惠州一模）已知函數(shù)

f

（

x

）＝

x

3，不等式

f

（1－

x

）＞

f

（－1）的解集為（

）A.（－∞，2）B.

（2，＋∞）C.（－∞，1）D.

（1，＋∞）解析：

f

（

x

）＝

x

3是增函數(shù)，因?yàn)?/p>

f

（1－

x

）＞

f

（－1），所

以1－

x

＞－1，

x

＜2，所以不等式

f

（1－

x

）＞

f

（－1）的解集是

（－∞，2）.故選A.

2

（－∞，－1）

1.若函數(shù)

f

（

x

），

g

（

x

）在區(qū)間

I

上具有單調(diào)性，則在區(qū)間

I

上具有

以下性質(zhì)：（1）當(dāng)

f

（

x

），

g

（

x

）都單調(diào)遞增（減）時(shí)，

f

（

x

）＋

g

（

x

）

在

I

上單調(diào)遞增（減）；（2）若

k

＞0，則

kf

（

x

）與

f

（

x

）單調(diào)性相同；若

k

＜0，則

kf

（

x

）與

f

（

x

）單調(diào)性相反；

2.增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形：已知

f

（

x

）的定義域?yàn)閇

a

，

b

]，?

x

1，

x

2∈[

a

，

b

]且

x

1≠

x

2，則：

1.（多選）若函數(shù)

f

（

x

），

g

（

x

）在給定的區(qū)間

I

上具有單調(diào)性，下

列說(shuō)法正確的是（

）A.函數(shù)

f

（

x

）與

f

（

x

）－

c

（

c

為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性B.函數(shù)

f

（

x

）與

c

·

f

（

x

）具有相同的單調(diào)性D.若函數(shù)

f

（

x

），

g

（

x

）在給定的區(qū)間

I

上都單調(diào)遞減，則

f

（

x

）

＋

g

（

x

）單調(diào)遞減解析：

對(duì)于A，根據(jù)圖象進(jìn)行上下平移單調(diào)性不變，可知命題

正確；由結(jié)論1可知選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤，D正確，故選A、D.

解析：由結(jié)論2知，函數(shù)

f

（

x

）在R上為增函數(shù)，又因

f

（2

x

－3）

＜

f

（1），所以2

x

－3＜1，解得

x

＜2，故實(shí)數(shù)

x

的取值范圍是（－

∞，2）.（－∞，2）

PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練

確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）考向1

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】

（1）（2024·龍巖一模）函數(shù)

f

（

x

）＝（

x

－4）·｜

x

｜的

單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A.（－∞，0）B.

（－∞，0）∪（2，＋∞）C.（－∞，0）和（2，＋∞）D.

（2，＋∞）

（2）函數(shù)

f

（

x

）＝ln（

x

2－2

x

－8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A.（－∞，－2）B.

（－∞，1）C.（1，＋∞）D.

（4，＋∞）解析：由

x

2－2

x

－8＞0，得

f

（

x

）的定義域?yàn)閧

x

｜

x

＜－2或

x

＞4}.設(shè)

t

＝

x

2－2

x

－8，則

y

＝ln

t

為增函數(shù).要求函數(shù)

f

（

x

）的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)

t

＝

x

2－2

x

－8的單調(diào)遞增區(qū)間（定義域內(nèi)）.

∵函數(shù)

t

＝

x

2－2

x

－8在區(qū)間（4，＋∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)

f

（

x

）的單調(diào)遞增區(qū)間為（4，＋∞）.故選D.解題技法確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法

解題技法定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟提醒

判斷函數(shù)的單調(diào)性還有圖象法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法等.

（－∞，－6]

2.能使“函數(shù)

f

（

x

）＝

x

｜

x

－1｜在區(qū)間

I

上不是單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)

間

I

上的函數(shù)值的集合為[0，2]”是真命題的一個(gè)區(qū)間

I

為

?

?.

2］（答案不唯一）

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向1

利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小【例3】

設(shè)

f

（

x

）的定義域?yàn)镽，圖象關(guān)于

y

軸對(duì)稱，且

f

（

x

）在

[0，＋∞）上單調(diào)遞增，則

f

（－2），

f

（－π），

f

（3）的大小順序

是（

）A.

f

（－π）＜

f

（－2）＜

f

（3）B.

f

（－2）＜

f

（3）＜

f

（－π）C.

f

（－π）＜

f

（3）＜

f

（－2）D.

f

（3）＜

f

（－2）＜

f

（－π）解析：

∵

f

（

x

）的定義域?yàn)镽，圖象關(guān)于

y

軸對(duì)稱，∴

f

（

x

）是

偶函數(shù)，∴

f

（－2）＝

f

（2），

f

（－π）＝

f

（π），又

f

（

x

）在

[0，＋∞）上單調(diào)遞增，且2＜3＜π，∴

f

（2）＜

f

（3）＜

f

（π），

∴

f

（－2）＜

f

（3）＜

f

（－π）.故選B.解題技法利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小的方法

比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則

要利用函數(shù)的性質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比

較，或采用插值法比較大小.考向2

利用單調(diào)性解不等式【例4】

（2024·重慶一模）已知函數(shù)

f

（

x

）＝lnx

＋2

x

，若

f

（

x

2－

4）＜2，則實(shí)數(shù)

x

的取值范圍是

?.

解題技法考向3

由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值（范圍）【例5】

（2023·新高考Ⅰ卷4題）設(shè)函數(shù)

f

（

x

）＝2

x

（

x

－

a

）在區(qū)間

（0，1）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是（

）A.（－∞，－2]B.

[－2，0）C.（0，2]D.

[2，＋∞）

解析：

設(shè)

t

＝

x

（

x

－

a

），易知函數(shù)

y

＝2

t

是增函數(shù).因?yàn)?/p>

f

（

x

）

＝2

x

（

x

－

a

）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函

數(shù)

t

＝

x

（

x

－

a

）在（0，1）上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)

t

＝

x

（

x

－

a

）在

（變條件）若函數(shù)

f

（

x

）＝log3（4＋

a

·3

x

－

a

2）在[1，＋∞）上

單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍為

?.（0，4）

解題技法利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的方法（1）根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程（組）（不等式

（組））或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解；（2）對(duì)于分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的

取值.

A.

a

＞

b

＞

c

B.

a

＞

c

＞

b

C.

c

＞

a

＞

b

D.

c

＞

b

＞

a

2.已知

f

（

x

）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞）上單調(diào)遞

減，則不等式

f

（2

x

－1）＞

f

（

x

＋1）的解集為

?.解析：依題意

f

（

x

）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞）

上單調(diào)遞減，所以

f

（2

x

－1）＞

f

（

x

＋1）?（2

x

－1）2＜（

x

＋

1）2，即4

x

2－4

x

＋1＜

x

2＋2

x

＋1，即

x

2－2

x

＜0?

x

∈（0，2）.（0，2）

解析：函數(shù)

f

（

x

）的圖象如圖所示，由圖

象可知

f

（

x

）在（

a

，

a

＋1）上單調(diào)遞

增，需滿足

a

≥4或

a

＋1≤2，即

a

≤1或

a

≥4.（－∞，1]∪[4，＋

∞）

函數(shù)的最值（值域）

（－∞，

2]

解題技法1.求函數(shù)最值的三種基本方法（1）單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；（2）圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求

出最值；（3）基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相

等”的條件后用基本不等式求出最值.2.對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)

合端點(diǎn)值，求出最值.

1.（2024·東北師大附中模擬）函數(shù)

f

（

x

）＝lg（

x

2－1）－lg（

x

－

1）在[2，9]上的最大值為（

）A.0B.1

C

.

2D.3解析：

函數(shù)

f

（

x

）＝lg（

x

2－1）－lg（

x

－1）＝lg（

x

＋1），

函數(shù)在區(qū)間[2，9]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最大值為

f

（9）＝lg

（9＋1）＝1，故選B.

解析：法一

在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)

f

（

x

），

g

（

x

）的圖

象，依題意，

h

（

x

）的圖象為如圖所示的實(shí)線部分.易知點(diǎn)

A

（2，

1）為圖象的最高點(diǎn)，因此

h

（

x

）的最大值為

h

（2）＝1.1

PART3課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)

A.0B.1

123456789101112131415162.（2024·黃岡中學(xué)一模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)

f

（

x

），?

x

1，

x

2∈R，

x

1＜

x

2，都有（

x

1－

x

2）[

f

（

x

1）－

f

（

x

2）]＜0，則

（

）A.

f

（3）＞

f

（π）＞

f

（2）B.

f

（2）＞

f

（3）＞

f

（π）C.

f

（2）＞

f

（π）＞

f

（3）D.

f

（π）＞

f

（2）＞

f

（3）解析：

易知

f

（

x

）是R上的減函數(shù)，又π＞3＞2，故

f

（π）＜

f

（3）＜

f

（2）.123456789101112131415163.（2024·安陽(yáng)一模）函數(shù)

f

（

x

）＝ln（

x

2－2

x

－3）的單調(diào)遞減區(qū)間

是（

）A.（－∞，－1）B.

（－∞，1）C.（1，＋∞）D.

（3，＋∞）解析：

函數(shù)

f

（

x

）＝ln（

x

2－2

x

－3）有意義，則有

x

2－2

x

－3

＞0，得

x

＜－1或

x

＞3，設(shè)

u

＝

x

2－2

x

－3，則當(dāng)

x

∈（－∞，－

1）時(shí)，

u

關(guān)于

x

單調(diào)遞減，當(dāng)

x

∈（3，＋∞）時(shí)，

u

關(guān)于

x

單調(diào)遞

增，又因?yàn)楹瘮?shù)

y

＝lnu

在定義域內(nèi)是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)

性知，

f

（

x

）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－1）.故選A.12345678910111213141516

123456789101112131415165.設(shè)函數(shù)

f

（

x

）在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）B.

y

＝｜

f

（

x

）｜在R上為增函數(shù)D.

y

＝－

f

（

x

）在R上為減函數(shù)12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

f

（

x

）在R上為增函數(shù)B.

f

（e）＞

f

（2）C.若

f

（

x

）在（

a

，

a

＋1）上單調(diào)遞增，則

a

≤－1或

a

≥0D.當(dāng)

x

∈[－1，1]時(shí)，

f

（

x

）的值域?yàn)閇1，2]12345678910111213141516解析：

易知

f

（

x

）在（－∞，0]，（0，＋∞）上單調(diào)遞增，

A錯(cuò)誤，B正確；若

f

（

x

）在（

a

，

a

＋1）上單調(diào)遞增，則

a

≥0或

a

＋1≤0，即

a

≤－1或

a

≥0，故C正確；當(dāng)

x

∈[－1，0]時(shí)，

f

（

x

）∈[1，2]，當(dāng)

x

∈（0，1]時(shí)，

f

（

x

）∈（－∞，2]，故

x

∈[－1，1]時(shí)，

f

（

x

）∈（－∞，2]，故D不正確.123456789101112131415167.寫出一個(gè)值域?yàn)椋ǎ蓿?），在區(qū)間（－∞，＋∞）上為增函數(shù)

的函數(shù)

f

（

x

）＝

?.

123456789101112131415168.已知函數(shù)

f

（

x

）＝

x

｜

x

－4｜.（1）把

f

（

x

）寫成分段函數(shù)，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)

f

（

x

）的大致圖象；

12345678910111213141516（2）寫出函數(shù)

f

（

x

）的單調(diào)遞減區(qū)間.解：由（1）中函數(shù)的圖象可知，函數(shù)

f

（

x

）的單調(diào)遞減區(qū)間

為（2，4）.12345678910111213141516

A.當(dāng)

a

＞0時(shí)，

f

（

x

）在定義域上為增函數(shù)B.當(dāng)

a

＝－4時(shí)，

f

（

x

）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－2），（2，＋

∞）C.當(dāng)

a

＝－4時(shí)，

f

（

x

）的值域?yàn)椋ǎ?，?]∪[4，＋∞）D.當(dāng)

a

＝1時(shí)，

f

（

x

）的值域?yàn)镽12345678910111213141516

1234567891011121314151610.（多選）（2024·哈爾濱九中模擬）已知函數(shù)

f

（

x

）的定義域?yàn)?/p>

A

，若對(duì)任意

x

∈

A

，都存在正數(shù)

M

使得｜

f

（

x

）｜≤

M

總成立，

則稱函數(shù)

f

（

x

）是定義在

A

上的“有界函數(shù)”.則下列函數(shù)是“有

界函數(shù)”的是（

）D.

f

（

x

）＝

x

｜

x

＋1｜12345678910111213141516

12345678910111213141516如圖，由函數(shù)圖象可知，

f

（

x

）∈（－∞，＋∞），故不存在正數(shù)

M

，使得｜

f

（

x

）｜≤

M

總成立，∴

f

（

x

）不是有界函數(shù).故選B、C.12345678910111213141516

[0，2]

12345678910111213141516

12345678910111213141516

（0，2]

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）探究

f

（

x

）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

12345678910111213141516（3）若

f

（

x

）為奇函數(shù)，求滿足

f

（

ax

）＜

f

（2）的

x

的取

值范圍.

12345678910111213141516

15.已知定義在R上的函數(shù)

f

（

x

）滿足

f

（1）＝1，?

x

1，

x

2∈R，當(dāng)

x

1＜

x

2時(shí)，都有

f

（

x

1）－

f

（

x

2）＜2（

x

1－

x

2），則不等式

f

（log2

x

）＋1＜log2

x