大一下學(xué)期高數(shù)期末試題及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，且\(f^\prime(x_0)=2\)，則\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+2\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)等于（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(1\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：B解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)，對(duì)于\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+2\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)，令\(t=2\Deltax\)，當(dāng)\(\Deltax\to0\)時(shí)，\(t\to0\)，則原式可化為\(\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{\frac{t}{2}}=2\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}=2f^\prime(x_0)=2\times2=4\)。2.曲線\(y=x^3-3x^2+1\)在點(diǎn)\((1,-1)\)處的切線方程為（）A.\(y=-3x+2\)B.\(y=3x-4\)C.\(y=-4x+3\)D.\(y=4x-5\)答案：A解析：首先對(duì)\(y=x^3-3x^2+1\)求導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((X^n)^\prime=nX^{n-1}\)，可得\(y^\prime=3x^2-6x\)。將\(x=1\)代入導(dǎo)數(shù)\(y^\prime\)中，得到切線的斜率\(k=3\times1^2-6\times1=-3\)。由點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)=(1,-1)\)，\(k=-3\)），可得切線方程為\(y-(-1)=-3(x-1)\)，即\(y=-3x+2\)。3.下列廣義積分收斂的是（）A.\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx\)B.\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)C.\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\)D.\(\int_{1}^{+\infty}\sqrt{x}dx\)答案：C解析：根據(jù)廣義積分\(\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\)（\(a>0\)）的斂散性：當(dāng)\(p>1\)時(shí)，積分收斂；當(dāng)\(p\leqslant1\)時(shí)，積分發(fā)散。對(duì)于選項(xiàng)A，\(p=1\)，\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{1}^\frac{1}{x}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}(\lnx|_{1}^)=\lim\limits_{b\to+\infty}(\lnb-\ln1)=+\infty\)，發(fā)散；對(duì)于選項(xiàng)B，\(p=\frac{1}{2}\)，\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{1}^x^{-\frac{1}{2}}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}(2x^{\frac{1}{2}}|_{1}^)=\lim\limits_{b\to+\infty}(2\sqrt-2)=+\infty\)，發(fā)散；對(duì)于選項(xiàng)C，\(p=2\)，\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{1}^x^{-2}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}(-x^{-1}|_{1}^)=\lim\limits_{b\to+\infty}(-\frac{1}+1)=1\)，收斂；對(duì)于選項(xiàng)D，\(p=-\frac{1}{2}\)，\(\int_{1}^{+\infty}\sqrt{x}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{1}^x^{\frac{1}{2}}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_{1}^)=\lim\limits_{b\to+\infty}(\frac{2}{3}b^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3})=+\infty\)，發(fā)散。4.設(shè)\(z=e^{xy}\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(ye^{xy}\)B.\(xe^{xy}\)C.\(e^{xy}\)D.\(xye^{xy}\)答案：A解析：求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)時(shí)，將\(y\)看作常數(shù)，對(duì)\(z=e^{xy}\)關(guān)于\(x\)求偏導(dǎo)數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令\(u=xy\)，則\(z=e^u\)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialz}{\partialu}\cdot\frac{\partialu}{\partialx}\)。因?yàn)閈(\frac{\partialz}{\partialu}=e^u\)，\(\frac{\partialu}{\partialx}=y\)，所以\(\frac{\partialz}{\partialx}=ye^{xy}\)。5.設(shè)\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)所圍成的區(qū)域，則\(\iint\limits_{D}dxdy\)等于（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(2\)答案：A解析：\(\iint\limits_{D}dxdy\)表示區(qū)域\(D\)的面積。區(qū)域\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)所圍成的三角形，其底和高都為\(1\)，根據(jù)三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}\times底\times高\(yùn))，可得\(S=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}\)，即\(\iint\limits_{D}dxdy=\frac{1}{2}\)。二、填空題（每題3分，共15分）1.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leqslant1\\2x,&x>1\end{cases}\)，則\(f(x)\)在\(x=1\)處的左導(dǎo)數(shù)\(f_{-}^\prime(1)\)為______。答案：2解析：根據(jù)左導(dǎo)數(shù)的定義\(f_{-}^\prime(1)=\lim\limits_{x\to1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)，當(dāng)\(x\to1^{-}\)時(shí)，\(f(x)=x^2+1\)，\(f(1)=1^2+1=2\)，則\(f_{-}^\prime(1)=\lim\limits_{x\to1^{-}}\frac{x^2+1-2}{x-1}=\lim\limits_{x\to1^{-}}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1^{-}}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1^{-}}(x+1)=2\)。2.已知\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\intf(2x-1)dx\)等于______。答案：\(\frac{1}{2}F(2x-1)+C\)解析：令\(u=2x-1\)，則\(du=2dx\)，\(dx=\frac{1}{2}du\)。所以\(\intf(2x-1)dx=\frac{1}{2}\intf(u)du\)，又因?yàn)閈(\intf(x)dx=F(x)+C\)，所以\(\frac{1}{2}\intf(u)du=\frac{1}{2}F(u)+C=\frac{1}{2}F(2x-1)+C\)。3.曲線\(y=\sinx\)在\([0,\pi]\)上與\(x\)軸所圍成的圖形的面積為______。答案：2解析：根據(jù)定積分的幾何意義，曲線\(y=\sinx\)在\([0,\pi]\)上與\(x\)軸所圍成的圖形的面積\(S=\int_{0}^{\pi}|\sinx|dx\)，因?yàn)樵赲([0,\pi]\)上\(\sinx\geqslant0\)，所以\(S=\int_{0}^{\pi}\sinxdx=-\cosx|_{0}^{\pi}=-(\cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2\)。4.設(shè)\(z=\ln(x^2+y^2)\)，則\(dz|_{(1,1)}\)等于______。答案：\(dx+dy\)解析：首先求\(z\)關(guān)于\(x\)和\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)。\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{2y}{x^2+y^2}\)。將\((1,1)\)代入偏導(dǎo)數(shù)中，\(\frac{\partialz}{\partialx}|_{(1,1)}=\frac{2\times1}{1^2+1^2}=1\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}|_{(1,1)}=\frac{2\times1}{1^2+1^2}=1\)。根據(jù)全微分公式\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)，可得\(dz|_{(1,1)}=1\cdotdx+1\cdotdy=dx+dy\)。5.交換二次積分\(\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy\)的積分次序?yàn)開_____。答案：\(\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)解析：由已知二次積分\(\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy\)，可知積分區(qū)域\(D\)為\(0\leqslantx\leqslant1\)，\(x\leqslanty\leqslant1\)。交換積分次序時(shí)，先確定\(y\)的范圍是\(0\leqslanty\leqslant1\)，對(duì)于固定的\(y\)，\(x\)的范圍是\(0\leqslantx\leqslanty\)，所以交換后的積分次序?yàn)閈(\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)。三、計(jì)算題（每題8分，共40分）1.求函數(shù)\(y=x^3-6x^2+9x+5\)的單調(diào)區(qū)間和極值。解：-首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^2-12x+9\)。-令\(y^\prime=0\)，即\(3x^2-12x+9=0\)，兩邊同時(shí)除以\(3\)得\(x^2-4x+3=0\)，因式分解為\((x-1)(x-3)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)。-然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間：-當(dāng)\(x<1\)時(shí)，令\(x=0\)，則\(y^\prime(0)=3\times0^2-12\times0+9=9>0\)，所以函數(shù)在\((-\infty,1)\)上單調(diào)遞增。-當(dāng)\(1<x<3\)時(shí)，令\(x=2\)，則\(y^\prime(2)=3\times2^2-12\times2+9=12-24+9=-3<0\)，所以函數(shù)在\((1,3)\)上單調(diào)遞減。-當(dāng)\(x>3\)時(shí)，令\(x=4\)，則\(y^\prime(4)=3\times4^2-12\times4+9=48-48+9=9>0\)，所以函數(shù)在\((3,+\infty)\)上單調(diào)遞增。-最后求極值：-當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y(1)=1^3-6\times1^2+9\times1+5=1-6+9+5=9\)，所以\(x=1\)為極大值點(diǎn)，極大值為\(9\)。-當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y(3)=3^3-6\times3^2+9\times3+5=27-54+27+5=5\)，所以\(x=3\)為極小值點(diǎn)，極小值為\(5\)。2.計(jì)算不定積分\(\intx\cosxdx\)。解：根據(jù)分部積分法\(\intudv=uv-\intvdu\)，設(shè)\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)。-則\(du=dx\)，\(v=\int\cosxdx=\sinx\)。-由分部積分公式可得\(\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx\)。-又因?yàn)閈(\int\sinxdx=-\cosx+C\)，所以\(\intx\cosxdx=x\sinx+\cosx+C\)。3.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}xe^{-x}dx\)。解：同樣使用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^{-x}dx\)。-則\(du=dx\)，\(v=\inte^{-x}dx=-e^{-x}\)。-根據(jù)分部積分公式\(\int_{a}^udv=[uv]_{a}^-\int_{a}^vdu\)，可得\(\int_{0}^{1}xe^{-x}dx=[-xe^{-x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(-e^{-x})dx\)。-先計(jì)算\([-xe^{-x}]_{0}^{1}=-1\timese^{-1}-0\timese^{0}=-\frac{1}{e}\)。-再計(jì)算\(\int_{0}^{1}(-e^{-x})dx=[e^{-x}]_{0}^{1}=e^{-1}-e^{0}=\frac{1}{e}-1\)。-所以\(\int_{0}^{1}xe^{-x}dx=-\frac{1}{e}-(\frac{1}{e}-1)=1-\frac{2}{e}\)。4.設(shè)\(z=\arctan\frac{y}{x}\)，求\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)。解：-首先求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}\cdot(-\frac{y}{x^2})=-\frac{y}{x^2+y^2}\)。-然后求\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)：對(duì)\(\frac{\partialz}{\partialx}=-\frac{y}{x^2+y^2}\)關(guān)于\(y\)求偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)除法求導(dǎo)公式\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}\)，這里\(u=-y\)，\(v=x^2+y^2\)，\(u^\prime=-1\)，\(v^\prime=2y\)，則\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{-1\times(x^2+y^2)-(-y)\times2y}{(x^2+y^2)^2}=\frac{-x^2-y^2+2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\)。5.計(jì)算二重積分\(\iint\limits_{D}(x+y)dxdy\)，其中\(zhòng)(D\)是由\(y=x\)，\(y=x^2\)所圍成的區(qū)域。解：-先求兩曲線的交點(diǎn)：聯(lián)立\(\begin{cases}y=x\\y=x^2\end{cases}\)，即\(x=x^2\)，移項(xiàng)得\(x^2-x=0\)，因式分解為\(x(x-1)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=1\)，交點(diǎn)為\((0,0)\)和\((1,1)\)。-確定積分區(qū)域\(D\)：\(0\leqslantx\leqslant1\)，\(x^2\leqslanty\leqslantx\)。-計(jì)算二重積分：\(\iint\limits_{D}(x+y)dxdy=\int_{0}^{1}dx\int_{x^2}^{x}(x+y)dy\)先對(duì)\(y\)積分：\(\int_{x^2}^{x}(x+y)dy=[xy+\frac{1}{2}y^2]_{y=x^2}^{y=x}=x\cdotx+\frac{1}{2}x^2-(x\cdotx^2+\frac{1}{2}(x^2)^2)=x^2+\frac{1}{2}x^2-x^3-\frac{1}{2}x^4=\frac{3}{2}x^2-x^3-\frac{1}{2}x^4\)。再對(duì)\(x\)積分：\(\int_{0}^{1}(\frac{3}{2}x^2-x^3-\frac{1}{2}x^4)dx=[\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{10}x^5]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{10}=\frac{10-5-2}{20}=\frac{3}{20}\)。四、應(yīng)用題（每題10分，共20分）1.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為\(20000\)元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加\(100\)元。已知總收益\(R\)與年產(chǎn)量\(x\)的關(guān)系是\(R(x)=\begin{cases}400x-\frac{1}{2}x^2,&0\leqslantx\leqslant400\\80000,&x>400\end{cases}\)，求：-（1）總成本函數(shù)\(C(x)\)；-（2）總利潤函數(shù)\(L(x)\)；-（3）年產(chǎn)量為多少時(shí)，總利潤最大，并求出最大利潤。解：-（1）總成本函數(shù)\(C(x)\)：固定成本為\(20000\)元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品成本增加\(100\)元，所以\(C(x)=20000+100x\)，\(x\geqslant0\)。-（2）總利潤函數(shù)\(L(x)\)：利潤等于收益減去成本