17.2用公式法分解因式第1課時運用平方差公式分解因式1.理解平方差公式的特點.（重點）2.能熟練地運用平方差公式分解因式.（難點）1.什么叫分解因式?2.已學過哪一種分解因式的方法?把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解.提公因式法3.還記得前面學過的乘法公式嗎？平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2多項式a2－b2有什么特點？你能將它分解因式嗎？是a,b兩數的平方差的形式.))((baba

+=22ba

))((baba

+=整式乘法因式分解兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積.平方差公式：√√××辨一辨：下列多項式能否用平方差公式來分解因式，為什么？√√★符合平方差形式的多項式才能用平方差公式進行因式分解，即能寫成:()2-()2的形式.

兩數是平方，減號在中央．（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1)例1

分解因式：(1)4x2－9; (2)

a2－25b2.分析：

在(1)中，

4x2

=(2x)2

,9=32,所以4x2

－9=

(2x)2－3

2

，即可用平方差公式分解因式；在(2)中，25b2=(5b)2，所以a2－25b2=a2－(5b)2，即可用平方差公式分解因式.解：(1)

4x2－9=(2x)2－32

=(2x＋3)(2x－3)；(2)a2－25b2

=a2－(5b)2=(a＋5b)(a

－5b).“兩項、異號、平方形式”是避免錯用平方差公式的有效方法．例2

分解因式：(1)x2－y4

; (2)

(x＋p)2－(x＋q)2.分析：

在(1)中，

y4

=(y2)2

,

所以x2－y4=x2－(y2)2

，即可用平方差公式分解因式；在(2)中，把x＋p和x＋q各看成一個整體，設x＋p=a，

x＋q=b，則原式化為a2－b2,即可用平方差公式分解因式.解:(1)x2－y4=x2－(y2)2=(x＋y2)(x－y2)；(2)(x＋p)2－(x＋q)2

=[(x＋p)+(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]=(2x＋p＋q)(p－q).1.分解因式16－x2的結果為(

)A．(4－x)(4＋x)B．(x－4)(x＋4)C．(8＋x)(8－x)D．(4－x)2A2.下列因式分解正確的是(

)A．x2－4＝(x＋4)(x－4)B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．3mx－6my＝3m(x－6y)D．2x＋4＝2(x＋2)D3.將(a－1)2－1分解因式，結果正確的是(

)A．a(a－1)B．a(a－2)C．(a－2)(a－1)D．(a－2)(a＋1)B4.若x2－9＝(x－3)(x＋a)，則a＝________．35.(1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求整式x2－4y2的值．

(2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a2－b2的值．解：∵|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，

∴a－b＝3，a＋b＝2.

∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6.(3)已知m，n互為相反數，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n的值．

公式公式法因式分解平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)一提：公因式；二套：公式；三查：多項式的因式分解有沒有分解到不能再分解為止.步驟17.2用公式法分解因式第2課時運用完全平方公式分解因式1.理解完全平方式的概念．2.探索并掌握運用完全平方式把多項式分解因式的方法，體會

轉化思想．（重難點）1.因式分解：2.我們已經學過哪些因式分解的方法?把一個多項式轉化為幾個整式的積的形式.(1)提公因式法(2)平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)

a2+2ab+b2

a2－2ab+b2觀察這兩個式子：（1）每個多項式有幾項？（3）中間項和第一項，第三項有什么關系？（2）每個多項式的第一項和第三項有什么特征？三項這兩項都是數或式的平方，并且符號相同是第一項和第三項底數的積的±2倍

完全平方式的特點：

1.必須是三項式（或可以看成三項的）；

2.有兩個同號的數或式的平方；

3.中間有兩底數之積的±2倍.

是（2）因為它只有兩項；不是（3）4b2與-1的符號不統(tǒng)一；不是分析：不是是（4）因為ab不是a與b的積的2倍.把整式乘法的完全平方公式

的等號兩邊互換，就得到即兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方.a2+2ab+b2＝(a＋b)2，a2-2ab+b2＝(a-b)2.例1分解因式：(1)x2

＋4x

+

4;

(2)16x2

-

24x＋9.分析：在(1)中，4=22

,4x=2?x?2,所以

x2＋4x＋4是一個完全平方式，即x2＋4x＋4=x2＋2?x?2＋22.在(2)中，16x2

=(4x)2

,9=32

，24x=2?4x?3，所以16x2

-

24x＋9是一個完全平方式.a2

＋2?a?b＋b2

(1)

x2＋4x＋4

=x2＋2?x?2＋22

=(x＋2)2;(2)

16x2

-

24x＋9=(4x)2－2?4x?3

＋32=(4x－3)2.解：

例2分解因式：(1)(a+b)2-12(a+b)+36;

(2)-x2+4xy-4y2.分析：在(1)中，將a+b看成一個整體，設a+b=m,則原式化為完全平方式m2-12m+36;對于（2），可通過添括號將原式寫成

-(x2-4xy+4y2),括號內的式子為完全平方式.(1)

(a+b)2-12(a+b)+36

=(a+b)2-2?(a+b)?6+62

=(a+b-6)2;(2)

－x2

＋4xy－4y2=－(x2－4xy＋4y2)=－[x2－2?x?2y＋(2y)2]=－(x－2y)2.解：

利用公式把某些具有特殊形式（如平方差公式，完全平方式等）的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫作公式法.例3

把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+992；(2)342＋34×32＋162.

解：(1)原式=（100－99)2

(2)原式＝(34＋16)2本題利用完全平方公式分解因式，可以簡化計算，=1.＝2500.1.已知x2＋16x＋k是兩數(和)差的平方式，則常數k等于(

)A．64B．48C．32D．16A2.已知4x2＋mx＋36是兩數(和)差的平方式，則m的值為(

)A．8B．±8C．24D．±24D3.把多項式x2－6x＋9分解因式，結果正確的是(

)A．(x－3)2B．(x－9)2C．(x＋3)(x－3)D．(x＋9)(x－9)A4.如圖是一個正方形，分成四部分，其面積分別是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，則原正方形的邊長是(

)A．a2＋b2B．a＋bC．a－bD．a2－b2B5.把下列多項式因式分解.

（1）x2－12x+36;（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1.

(2)原式=[2(2a+b)]2－2·2(2a+b)·1+(1)2=(4a+2b－1)2.解：(1)原式

=x2－2·x·6+(6)2=(x－6)2;(2)原式=20142-2×2014×2013+201326.計算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；(2)20142-2014×4026+20132.解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100.公式公式法兩數(和)差的平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2一提：公因式；二套：公式；三查：多項式的因式分解有沒有分解到不能再分解為止.步驟17.2用公式法分解因式第3課時綜合運用提公因式法和公式法分解因式

1.綜合運用提公因式法和公式法對多項式進行因式分解；（重點）2.靈活應用各種方法分解因式.（難點）

1.提取公因式法分解因式：2.平方差公式分解因式：

a2－b2＝(a＋b)(a－b)3.完全平方公式分解因式：4.因式分解的步驟：（1）提公因式；（2）套公式.a2±2ab+b2＝(a±b)2pa+pb+pc=p(a+b+c).例1分解因式：(1)x4-y4;

(2)a3b-ab.分析：在(1)中，x4-y4可以寫成(x2)2-(y2)2的形式，可用公式法分解因式;對于（2），a3b-ab的兩項有公因式ab,可以先提公因式，再進一步分解因式.(1)x4-y4

=(x2+y2)(x2-y2)解：

對于一些復雜的因式分解問題，有時需要多次運用公式法，有時還需要綜合運用提公因式法和公式法.

分解因式，要進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.(2)

a3b-ab

=ab(a2-1)=(x2+y2)(x+y)(x-y);=

ab(a

+1)(a

-1).例2

分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；

(2)-ax2+2a2x-a3.分析：先提出公因式，再用公式法進一步分解因式.解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2；(2)-ax2+2a2x-a3=-a（x2-2ax+a2）

=-a（x-a）2.例3

因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；

(2)(a2＋4)2－16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a＋2)2(a－2)2.方法總結：分解因式時，有公因式時先用提公因式法進行分解，然后再用公式法.最后進行檢查.例4

因式分解：(1)(x+4)(x－1)－3x；

(2)a2－b(b＋4)－4.＝a2－(b+2)2解：(1)原式＝x2＋3x－4－3x＝x2－4＝(x＋2)(x－2)；(2)原式＝a2－b2－4b－4＝a2－(b2＋4b＋4)＝(a＋b＋2)(a－b－2).方法總結：分解因式時，可先將式子進行化簡后再進行因式分解.1.下列四個多項式中，能因式分解的是()A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5y

D．x2－5y2.把多項式4x2y－4xy2－x3分解因式的結果是()A．4xy(x－y)－x3

B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，則m2－4mn＋4n2的值是________．BB14.若關于x的多項式x2－8x＋m2是完全平方式，則m的值為________