人教版高一數(shù)學(xué)（選修一）第三章圓錐曲線的方程3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程．(重點(diǎn))2．掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法．(重點(diǎn))3．會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的問題．(難點(diǎn))1.橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)|F1F2|的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:問題：如果把橢圓定義中“距離的和”改為“距離的差”那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生怎樣的變化？復(fù)習(xí)導(dǎo)入如圖①所示,取一條拉鏈,拉開它的一部分,在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn),分別固定在點(diǎn)F1,F2上,把筆尖放在點(diǎn)M處,隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏,筆尖所經(jīng)過的點(diǎn)就畫出一條曲線,這就是雙曲線的一支.把兩個(gè)固定點(diǎn)的位置交換,如圖②所示,類似可以畫出雙曲線的另一支.這兩條曲線合起來叫做雙曲線.雙曲線上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離有何特點(diǎn)?情景導(dǎo)入雙曲線型自然通風(fēng)冷卻塔法拉利主題公園雙曲線也是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時(shí)差測(cè)定定位等都要用到雙曲線的性質(zhì)。本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問題。

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.通常情況下，我們把|F1F2|記為2c(c>0),

常數(shù)記為2a(a>0)，則雙曲線定義還可以描述為若||MF1|-|MF2||=2a<2c，則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.思考1

定義中為什么強(qiáng)調(diào)距離差的絕對(duì)值為常數(shù)？一、雙曲線的定義如果不加絕對(duì)值，那得到的軌跡只是雙曲線的一支.①若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，則軌跡是什么？②若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，則軌跡是什么？③若2a=0,即|MF1|=|MF2|，則軌跡是什么？此時(shí)軌跡為以F1或F2為端點(diǎn)的兩條射線此時(shí)軌跡不存在此時(shí)軌跡為線段F1F2的垂直平分線分3種情況來看：思考2定義中為什么強(qiáng)調(diào)常數(shù)要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不對(duì)常數(shù)加以限制，動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么？F1F2MF1F2M設(shè)M(x,y)為雙曲線上任一點(diǎn),雙曲線的焦距為2c(c>0),那么焦點(diǎn)F1,F2的坐標(biāo)分別為F1(-c,0),F2(c,0),又設(shè)||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c),則有二、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程①

建系:如圖示，建立平面直角坐標(biāo)系.②設(shè)點(diǎn)：③列式：O???M④化簡(jiǎn)整理得：我們把上述方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(-c,0),F2(c,0)的雙曲線，這里c2=a2+b2.

思考類比橢圓，請(qǐng)思考焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？O???M這個(gè)方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(0,-c),F2(0,c)的雙曲線，這里c2=a2+b2.例1

已知雙曲線的焦點(diǎn)

F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于8，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.課本例題

例2已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.課本例題想一想：如果A,B兩處同時(shí)聽到爆炸聲，那么爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？答：爆炸點(diǎn)應(yīng)在線段AB的中垂線上.由例2可知，利用兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差,就可以確定爆炸點(diǎn)所在的雙曲線的方程，但是不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.要想確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，還需增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，利用A,C(或B,C)兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差,求爆炸點(diǎn)所在的另一個(gè)雙曲線的方程.解這兩個(gè)雙曲線方程組成的方程組,就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.

這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用.思考如何準(zhǔn)確測(cè)出爆炸點(diǎn)的位置？

xyoBAP????CABMOxy?探究如圖,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是,試求點(diǎn)M的軌跡方程,并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形式,與3.1例3比較,你有什么發(fā)現(xiàn)?解：由方程可知，點(diǎn)M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點(diǎn)且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.1.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)焦點(diǎn)在軸x上，a=4，b=3；

(2)焦點(diǎn)在軸x上，經(jīng)過點(diǎn)

(3)焦點(diǎn)為(0,-6),(0,6),且經(jīng)過點(diǎn)(2,-5).(2)∵焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為課本練習(xí)1.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)焦點(diǎn)在軸x上，a=4，b=3；

(2)焦點(diǎn)在軸x上，經(jīng)過點(diǎn)

(3)焦點(diǎn)為(0,-6),(0,6),且經(jīng)過點(diǎn)(2,-5).(2)解2:設(shè)雙曲線的方程為1.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)焦點(diǎn)在軸x上，a=4，b=3；

(2)焦點(diǎn)在軸x上，經(jīng)過點(diǎn)

(3)焦點(diǎn)為(0,-6),(0,6),且經(jīng)過點(diǎn)(2,-5).(3)解1:∵焦點(diǎn)在y軸上，故可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為證明:解:典例剖析題型一：雙曲線定義的應(yīng)用

解

(1)設(shè)|MF1|=16,根據(jù)雙曲線的定義知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.

歸納總結(jié)

題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

典例剖析思路分析(1)結(jié)合a的值設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求解.(2)因?yàn)榻裹c(diǎn)相同,所以所求雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上,且c2=16+4=20,利用待定系數(shù)法求解,或設(shè)出統(tǒng)一方程求解.(3)雙曲線焦點(diǎn)的位置不確定,可設(shè)出一般方程求解.

歸納總結(jié)

解

(1)由已知得,c=5,2a=8,即a=4.∵c2=a2+b2,∴b2=c2-a2=52-42=9.∵焦點(diǎn)在x軸上,(1)若該方程表示雙曲線,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.思路分析根據(jù)雙曲線方程的特征建立不等式(組)求解.題型三：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用典例剖析

歸納總結(jié)【變式】(1)在方程mx2