第40課時(shí)實(shí)驗(yàn)九：用單擺測(cè)量重力加速度

目標(biāo)要求1.知道利用單擺測(cè)量重力加速度的原理，掌握利用單擺測(cè)量重力加速度的方法。2.會(huì)對(duì)測(cè)量數(shù)

據(jù)進(jìn)行處理并進(jìn)行誤差分析。

考點(diǎn)一實(shí)驗(yàn)技能儲(chǔ)備

1.實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)擺角較小時(shí)，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為＝，由此得到＝，因此，只要測(cè)

Tg2

4π?

2

出和，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的值。?

2.實(shí)驗(yàn)器材

鐵架臺(tái)、單擺、、毫米刻度尺、。

3.實(shí)驗(yàn)過(guò)程

(1)讓細(xì)線的一端穿過(guò)金屬小球的小孔，做成單擺。

(2)把細(xì)線的上端用鐵夾固定在鐵架臺(tái)上，把鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，

在單擺平衡位置處做上標(biāo)記，如圖所示。

(3)用毫米刻度尺量出擺線長(zhǎng)度l'，用游標(biāo)卡尺測(cè)出金屬小球的直徑，即得出金屬小球半徑r，計(jì)算出擺長(zhǎng)l

＝。

(4)把單擺從平衡位置處拉開(kāi)一個(gè)很小的角度(小于5°)，然后放開(kāi)金屬小球，讓金屬小球擺動(dòng)，待擺動(dòng)平穩(wěn)

后測(cè)出單擺完成30~50次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，計(jì)算出單擺的振動(dòng)周期T。

(5)根據(jù)單擺周期公式，計(jì)算當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?/p>

(6)改變擺長(zhǎng)，重做幾次實(shí)驗(yàn)。

4.數(shù)據(jù)處理

公式法：利用＝求出周期，算出三次測(cè)得的周期的平均值，然后利用公式＝求重力加速度。

(1)Tg2

?4π?

2

??

(2)圖像法：根據(jù)測(cè)出的一系列擺長(zhǎng)l對(duì)應(yīng)的周期T，作l－T2的圖像，由單擺周期公式得l＝T2，圖像應(yīng)

?

2

是一條，如圖所示，求出圖線的斜率k，即可利用g＝求重力4π加速度。

5.誤差分析

系統(tǒng)誤差：本實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差主要來(lái)源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點(diǎn)是否固定，球、線是否符

合要求，擺動(dòng)是圓錐擺還是在同一豎直平面內(nèi)的擺動(dòng)以及測(cè)量哪段長(zhǎng)度作為擺長(zhǎng)等等。

偶然誤差：本實(shí)驗(yàn)的偶然誤差主要來(lái)自時(shí)間(即單擺周期)的測(cè)量上。為了減小偶然誤差，應(yīng)進(jìn)行多次測(cè)量

后取平均值。

6.減小誤差的方法

(1)一般選用一米左右的細(xì)線。

(2)懸線頂端不能晃動(dòng)，需用夾子夾住，保證懸點(diǎn)固定。

(3)應(yīng)在小球自然下垂時(shí)用毫米刻度尺測(cè)量懸線長(zhǎng)。

(4)單擺必須在同一平面內(nèi)擺動(dòng)，且擺角小于5°。

(5)選擇在擺球擺到平衡位置處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，并數(shù)準(zhǔn)全振動(dòng)的次數(shù)。

例1(2023·新課標(biāo)卷·23)一學(xué)生小組做“用單擺測(cè)量重力加速度的大小”實(shí)驗(yàn)。

(1)用實(shí)驗(yàn)室提供的螺旋測(cè)微器測(cè)量擺球直徑。首先，調(diào)節(jié)螺旋測(cè)微器，擰動(dòng)微調(diào)旋鈕使測(cè)微螺桿和測(cè)

砧相觸時(shí)，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動(dòng)刻度上的零刻度線未對(duì)齊，如圖(a)所示，該示數(shù)為

mm；螺旋測(cè)微器在夾有擺球時(shí)示數(shù)如圖(b)所示，該示數(shù)為mm，則擺球的直徑為mm。

(2)單擺實(shí)驗(yàn)的裝置示意圖如圖(c)所示，其中角度盤(pán)需要固定在桿上的確定點(diǎn)O處，擺線在角度盤(pán)上所

指的示數(shù)為擺角的大小。若將角度盤(pán)固定在O點(diǎn)上方，則擺線在角度盤(pán)上所指的示數(shù)為5°時(shí)，實(shí)際擺

角5°(填“大于”或“小于”)。

(3)某次實(shí)驗(yàn)所用單擺的擺線長(zhǎng)度為81.50cm，則擺長(zhǎng)為cm。實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到從擺球第1次經(jīng)過(guò)

最低點(diǎn)到第61次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的時(shí)間間隔為54.60s，則此單擺周期為s，該小組測(cè)得的重力加

速度大小為m/s2。(結(jié)果均保留3位有效數(shù)字，π2取9.870)

例2利用單擺可以測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。如圖甲所示，將細(xì)線的上端固定在鐵架臺(tái)上，下端系一

小球，制成單擺。

(1)用游標(biāo)卡尺測(cè)量小鋼球直徑，示數(shù)如圖乙所示，讀數(shù)為cm。

(2)以下是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的一些做法，其中正確的是(填標(biāo)號(hào))。

A.擺線要選擇較細(xì)、伸縮性小些的，并且線盡可能短一些

B.擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的

C.為了使擺的周期大一些，以方便測(cè)量，擺線相對(duì)平衡位置的偏角越大越好

D.用刻度尺測(cè)量擺線的長(zhǎng)度，就是單擺的擺長(zhǎng)

(3)懸掛后，用米尺測(cè)量擺長(zhǎng)L1，將小球拉離平衡位置一個(gè)小角度(小于5°)，由靜止釋放小球，穩(wěn)定后

小球在某次經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)50個(gè)全振動(dòng)時(shí)停止計(jì)時(shí)，測(cè)量結(jié)果如圖丙所示，則通過(guò)測(cè)

量和計(jì)算可得出單擺周期T＝s。

(4)實(shí)驗(yàn)中改變擺長(zhǎng)L獲得多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，正確操作后作出的T2－L圖像為圖丁中②圖線。某同學(xué)誤將

懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長(zhǎng)L，其他實(shí)驗(yàn)步驟均正確，作出的圖線應(yīng)當(dāng)是圖丁中的(填

“①”“③”或“④”)，利用該圖線求得的重力加速度(填“大于”“等于”或“小于”)利

用圖線②求得的重力加速度。

考點(diǎn)二探索創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)

例3(2024·湖北卷·12)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)量重力加速度大小g的實(shí)驗(yàn)方案，所用器材有：2g砝碼

若干、托盤(pán)1個(gè)、輕質(zhì)彈簧1根、米尺1把、光電門(mén)1個(gè)、數(shù)字計(jì)時(shí)器1臺(tái)等。

具體步驟如下：

①將彈簧豎直懸掛在固定支架上，彈簧下面掛上裝有遮光片的托盤(pán)，在托盤(pán)內(nèi)放入一個(gè)砝碼，如圖(a)

所示。

②用米尺測(cè)量平衡時(shí)彈簧的長(zhǎng)度l，并安裝光電門(mén)。

③將彈簧在彈性限度內(nèi)拉伸一定長(zhǎng)度后釋放，使其在豎直方向振動(dòng)。

④用數(shù)字計(jì)時(shí)器記錄30次全振動(dòng)所用時(shí)間t。

⑤逐次增加托盤(pán)內(nèi)砝碼的數(shù)量，重復(fù)②③④的操作。

該同學(xué)將振動(dòng)系統(tǒng)理想化為彈簧振子。已知彈簧振子的振動(dòng)周期T＝2π，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，

?

M為振子的質(zhì)量。?

(1)由步驟④，可知振動(dòng)周期T＝。

(2)設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為l0，則l與g、l0、T的關(guān)系式為l＝。

(3)由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出的l－T2圖線如圖(b)所示，可得g＝m/s2(保留三位有效數(shù)字，π2取

9.87)。

(4)本實(shí)驗(yàn)的誤差來(lái)源包括(填標(biāo)號(hào))。

A.空氣阻力

B.彈簧質(zhì)量不為零

C.光電門(mén)的位置稍微偏離托盤(pán)的平衡位置

答案精析

考點(diǎn)一

1.2π擺長(zhǎng)l振動(dòng)周期T

?

2.游標(biāo)?卡尺停表

3.(3)l'+r

4.(2)過(guò)原點(diǎn)的直線4π2k

例1(1)0.006(0.005、0.007也可)20.035(20.034、20.036均可)

20.029(20.027、20.028、20.030均可)

(2)大于(3)82.51.829.83

解析(1)題圖(a)讀數(shù)為0+0.6×0.01mm

＝0.006mm(0.005mm、0.007mm也可)；

題圖(b)讀數(shù)為20mm+3.5×0.01mm

＝20.035mm(20.034mm、20.036mm均可)；

則擺球的直徑為20.035mm－0.006mm

＝20.029mm(20.027mm、20.028mm、20.030mm均可)

(2)若角度盤(pán)上移則形成如圖所示圖樣，則實(shí)際擺角大于5°。

(3)擺長(zhǎng)＝擺線長(zhǎng)度+半徑，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得擺長(zhǎng)為82.5cm；

小球從第1次到61次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)經(jīng)過(guò)了30個(gè)周期，

則T＝s＝1.82s

54.60

30

根據(jù)單擺周期公式T＝2π，

?

?

可得＝2。

g2≈9.83m/s

4π?

2

例2(1)1?.86(2)B(3)2.6

(4)③等于

解析(1)鋼球直徑讀數(shù)為18mm+0.1mm×6＝18.6mm＝1.86cm。

(2)為減小實(shí)驗(yàn)誤差，擺線要選擇較細(xì)、伸縮性小些的，并且線盡可能長(zhǎng)一些，A錯(cuò)誤；為減小空氣阻力，

擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的，B正確；若擺線相對(duì)平衡位置的偏角超過(guò)5°，擺球的運(yùn)動(dòng)將不是簡(jiǎn)

諧運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤；擺長(zhǎng)為擺線長(zhǎng)加上擺球半徑，D錯(cuò)誤。

(3)秒表讀數(shù)為t＝2min+10.0s＝130.0s。單擺周期為T(mén)＝s＝2.6s。

130.0

50

單擺周期公式為＝，得2＝，若誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長(zhǎng)，則2＝－，作

(4)T2πT2lT2Lr)

?4π4π

出的圖線應(yīng)當(dāng)是圖丁中的③?。T2－L圖像?斜率不受影響，故利用該圖線求得的重力加速度等于?利(用圖線②

求得的重力加速度。

例0

3(1(2)l+2(3)9.59

???

2

(4)AC)304π

解析(1)30次全振動(dòng)所用時(shí)間t，則振動(dòng)周期T＝

?

30

(2)彈簧振子的振動(dòng)周期T＝2π

?

?

可得振子的質(zhì)量＝

M2

??