1二階線性微分方程解的性質(zhì)第四節(jié)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)2(二階線性微分方程)時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.復(fù)習(xí):

一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y特點：未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次冪.例如P(x),Q(x),f(x)

均為x的已知函數(shù),P(x),Q(x)為變系數(shù),二階線性微分方程3證畢一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得定理1.(疊加原理)

4說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.問題:5定義：設(shè)函數(shù)如果存在不全為0的常數(shù)使得：成立，則稱函數(shù)線性相關(guān)；否則稱函數(shù)線性無關(guān)。兩個函數(shù)在區(qū)間

I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)線性無關(guān)常數(shù)常數(shù)6思考:中有一個恒為0,則必線性相關(guān)例如線性無關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)7定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,

數(shù))是該方程的通解.例如,

方程有特解且常數(shù),故方程的通解為則代入有8例1.已知方程1、驗證是方程的特解.2、問是否是方程的解，解:

1、三個函數(shù)分別代入方程可知均為方程的特解.2、由解的疊加定理可知是方程的解，只有一個常數(shù)，其含有兩個真正的任意常數(shù)，則是方程的通解.特點：（常數(shù)）（函數(shù)）若是,是否是通解.但其實質(zhì)是：則不是通解.9例2.10二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.②①例如,

方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為11證畢是二階線性非齊次方程的兩個解,則是相應(yīng)齊次方程的解.證:將代入方程左邊,得非齊次線性方程的任何兩個解之差是相應(yīng)齊次方程的解定理4.12例3.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三13非齊次通解

=齊次通解

+非齊次特解總結(jié)：二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)齊次兩個線性無關(guān)特解非齊次三個線性無關(guān)特解非齊次通解14常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線