2025/9/181第六節(jié)直線及其方程Title一、直線方程二、直線與平面的位置關(guān)系2025/9/182一、空間直線方程因此其一般式方程1.直線的一般式方程直線可視為兩平面交線，(不唯一)L直線L上的任一點(diǎn)應(yīng)同時滿足這兩個平面方程.2025/9/1832.直線的點(diǎn)向式及兩點(diǎn)式方程故有設(shè)直線上的動點(diǎn)為

則此式稱為直線的點(diǎn)向式方程(也稱為對稱式方程)已知直線上一點(diǎn)和它的方向向量

s凡是與直線平行的非零向量都稱為直線的方向向量.此方程中實際包含了兩個平面方程2025/9/184說明:

某些分母為零時,直線方程為例如,

當(dāng)直線方程為當(dāng)其分子也為零.2025/9/185根據(jù)空間任兩點(diǎn)可以唯一地確定一條直線。設(shè)直線L上兩個已知點(diǎn)空間直線的兩點(diǎn)式方程：2025/9/1863.參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程

:注意：空間直線的方程都是方程組形式.兩者不同，不能混淆！空間平面方程是一個一次代數(shù)方程。為參變量2025/9/187例1．用對稱式及參數(shù)式表示直線解:先在直線上找一點(diǎn).再求直線的方向向量令x=1,解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn).2025/9/188故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.是直線上一點(diǎn)2025/9/189令得解得點(diǎn)坐標(biāo)所求直線方程為參數(shù)方程解二用兩點(diǎn)式已求出一點(diǎn)再求出一點(diǎn)2025/9/1810例2.一直線L通過點(diǎn)且垂直于yoz坐標(biāo)面.求L的方程.解：因為L垂直于yoz坐標(biāo)面，所以yoz坐標(biāo)面的法向量就直線L的方向向量。而x軸上的基本單位向量是yoz坐標(biāo)面的法向量.所求直線L的方程：2025/9/1811例3.求經(jīng)過點(diǎn)且與直線L1:平行的直線L的方程.解：故L1的方向向量也是直線L的方向向量,2025/9/1812ex2025/9/1813解：所給直線的參數(shù)方程為代入平面方程，得解得將代入直線的參數(shù)方程，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為即交點(diǎn)為例4.求直線與平面的交點(diǎn).2025/9/1814解先作一過點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面

再求已知直線與該平面的交點(diǎn)

N,令2025/9/1815代入平面方程得,交點(diǎn)取所求直線的方向向量為所求直線方程為2025/9/1816二、線面間的位置關(guān)系1.兩直線的夾角

則兩直線夾角

滿足設(shè)直線

L1,L2的方向向量分別為兩直線的夾角指其方向向量的夾角(通常取銳角)2025/9/1817特別有:直線直線例如，2025/9/1818例1.

求以下兩直線的夾角解:

直線L1的方向向量為直線L2的方向向量為二直線夾角

的余弦為從而2025/9/1819當(dāng)直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角為投影直線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角;

2.

直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時,設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿足直線和它在平面上的︿2025/9/1820特別有:直線與平面的位置關(guān)系：解:

取已知平面的法向量則直線的對稱式方程為垂直的直線方程.

為所求直線的方向向量.例2.

求過點(diǎn)(1,－2,4)且與平面2025/9/1821例3.求直線與平面的夾角的正弦.解：L的一個方向向量則它們的夾角正弦為：2025/9/1822我們稱通過直線L的所有平面為平面束補(bǔ)充：平面束方程設(shè)直線L的方程為:則通過直線L的平面束方程(平面除外)為或者或者2025/9/1823例4.

求過直線L:且與平面夾成角的平面方程.解一:過直線L

的平面束方程其法向量為已知平面的法向量為選擇使從而得所求平面方程經(jīng)驗證也為所求.2025/9/1824例4.

求過直線L:且與平面夾成角的平面方程.解二:過直線L

的平面束方程其法向量為已知平面的法向量為選擇使從而得所求平面方程

或.或2025/9/1825例5解2025/9/1826所求投影直線方程為2025/9/1827距離d是以則點(diǎn)到直線L點(diǎn)到直線的距離LQM為直線L上