專題3.7直線與拋物線的位置關(guān)系【八大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】 1【題型2根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍】 3【題型3拋物線的弦長問題】 5【題型4拋物線的焦點(diǎn)弦問題】 7【題型5拋物線中的切線問題】 9【題型6拋物線中的面積問題】 13【題型7拋物線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】 18【題型8拋物線中的最值問題】 24【知識點(diǎn)1直線與拋物線的位置關(guān)系】1．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設(shè)直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程.①若k≠0，當(dāng)>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<0時(shí)，直線與拋物線相離，無交點(diǎn).②若k=0，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【題型1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】【例1】直線y=kx?1+2與拋物線x2=4y的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【解題思路】直線y=kx?1+2過定點(diǎn)1,2，在拋物線【解答過程】直線y=kx?1+2過定點(diǎn)∵12<4×2，∴1,2在拋物線x2=4y內(nèi)部，∴直線【變式1-1】“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系可得答案.【解答過程】“直線與拋物線相切”可得“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”，“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”時(shí)，直線可能與對稱軸平行，此時(shí)不相切，故“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A.【變式1-2】已知拋物線方程y2=4x，過點(diǎn)P1,2A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【解題思路】考慮直線斜率存在k=0，k≠0和不存在三種情況，設(shè)直線方程為y=kx?1+2，聯(lián)立方程，根據(jù)【解答過程】點(diǎn)P在拋物線上，易知當(dāng)直線斜率不存在時(shí)不滿足；當(dāng)直線斜率k=0時(shí)，易知y=2滿足條件；當(dāng)直線斜率存在且k≠0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx?1+2，即y=kx?k+2y2=4x，整理得到，ky2?4y?4k+8=0，Δ【變式1-3】已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能【解題思路】先求出拋物線C1的方程，再利用平移變換得出拋物線C3，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，根據(jù)根的判別式即可得出結(jié)論．【解答過程】解：圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心坐標(biāo)為（﹣2，1），代入拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，∴a＝4，∴拋物線C1：y＝4（x+1）2﹣3．將拋物線C1先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到拋物線C3：y＝4x2，聯(lián)立x+16y?1=0y2=4x，消x整理得1所以直線l與拋物線C3相交，故選：A．【題型2根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍】【例2】若直線y＝kx＋2與拋物線y2＝x只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．18 C．18或0 【解題思路】由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，方程組只有一解，注意k=0的情形．【解答過程】解：由y=kx+2y2=x得ky2－y＋2＝0，若k若k≠0，則Δ＝1－8k＝0，所以k＝18.綜上可知k＝0或1【變式2-1】直線y=kx+b與拋物線y2=4x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k，b滿足的條件是（A．kb=1 B．k=0，b∈C．b≠0，k=0 D．kb=1或k=0【解題思路】當(dāng)k=0時(shí)，直線y=b符合題意；當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線方程消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，由Δ=0即可得k，b的關(guān)系，進(jìn)而可得正確答案.【解答過程】當(dāng)k=0時(shí)，直線y=b與拋物線y2當(dāng)k≠0時(shí)，由y=kx+by2=4x若直線y=kx+b與拋物線y2則Δ=2kb?42?4k2綜上所述：kb=1或k=0，故選：D.【變式2-2】已知拋物線C的方程為x2=12y，過點(diǎn)A0,?1和點(diǎn)Bt,3的直線lA．?∞,?2C．?∞,?22【解題思路】首先求直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用Δ<0，即可求解t【解答過程】當(dāng)t=0時(shí)，直線l:x=0，與拋物線x2=1設(shè)直線AB的方程為y=4tx?1，聯(lián)立直線與拋物線方程，得y=由于直線與拋物線無公共點(diǎn)，即方程2x2?4tx+1=0無解，故有故選：A.【變式2-3】已知拋物線C:y2=4x，若過點(diǎn)P(?2,0)作直線l與拋物線C交A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，且直線l的斜率為k，則kA．?22,0∪0,22 B．【解題思路】假設(shè)直線l的方程為y=kx+2，然后分k=0和k≠0【解答過程】易得直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=kx+2當(dāng)k=0時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不適合題意；當(dāng)k≠0時(shí)，將直線l代入拋物線C:y2=4x因?yàn)橹本€l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以Δ=16k2?12此時(shí)?22<k<0或0<k<22，綜上，【知識點(diǎn)2拋物線的弦長與焦點(diǎn)弦問題】1．弦長問題設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).2．拋物線的焦點(diǎn)弦問題拋物線=2px(p>0)上一點(diǎn)A與焦點(diǎn)F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標(biāo)).設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A,B，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長公式為：標(biāo)準(zhǔn)方程弦長公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)【題型3拋物線的弦長問題】【例3】已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A到l的距離為4，則AB=A．4 B．5 C．163 D．【解題思路】分析可知，直線AB不與x軸重合，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)已知條件求出【解答過程】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線為l:x=?1，設(shè)點(diǎn)A若直線AB與x軸重合，則直線AB與拋物線y2設(shè)直線AB的方程為x=my+1，聯(lián)立x=my+1y2=4xΔ=16m2+16>0，由韋達(dá)定理可得y點(diǎn)A到直線l的距離為x1+1=4，則x1因此，AB=【變式3-1】設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F1,0的直線與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則ABA．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】利用拋物線焦點(diǎn)弦長公式直接求解即可.【解答過程】由拋物線方程知：F1,0為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)；設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，∵線段【變式3-2】過拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F作直線，交拋物線于Ax0,y1，A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】如圖所示，由題得F(p2,0)【解答過程】如圖所示，由題得F(p2,0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?p【變式3-3】過拋物線C：y2=2px焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線，垂足為D?1,?1，則ABA．174 B．254 C．18【解題思路】依題意拋物線的準(zhǔn)線為x=?1，即可求出p，從而求出拋物線方程，再由yB=?1，求出xB，從而求出直線AB【解答過程】依題意拋物線的準(zhǔn)線為x=?1，即?p2=?1，解得p=2，所以拋物線方程為y2=4x，則焦點(diǎn)為F1,0，又yB=?1，所以?12=4xB，解得xB=14，所以B1即xA=4，所以AB【題型4拋物線的焦點(diǎn)弦問題】【例4】已知過拋物線C:y=x28的焦點(diǎn)F，且傾斜角為π3的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則A．32 B．323 C．283【解題思路】由題意可得直線l的方程為y=3x+2，聯(lián)立直線l與拋物線的方程得x2【解答過程】解：因?yàn)閽佄锞€C:x2=8y，所以F(0,2)，p=4，所以直線l由y=3x+2x2=8y，得x2?8所以y1+y【變式4-1】過拋物線x2=6y焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)M,N，若MN=12，則直線MNA．2x+2y+3=0 B．2x+2y?3=0C．2x?2y+3=0或2x+2y+3=0 D．2x?2y+3=0或2x+2y?3=0【解題思路】由拋物線方程得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)過焦點(diǎn)的直線斜率為k，把直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理代入弦長公式算出直線斜率，得直線方程.【解答過程】拋物線x2=6y焦點(diǎn)F0,32，準(zhǔn)線方程y=?32，設(shè)直線MN的方程為y=kx+32，由y=kx+32x2則焦點(diǎn)弦長MN=y1所以直線MN的方程為y=±x+32，即2x?2y+3=0或2x+2y?3=0【變式4-2】已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為2，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過A．16 B．83 C．8 D．【解題思路】現(xiàn)根據(jù)雙曲線的離心率，求出漸近線的斜率，繼而根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線AB的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和焦點(diǎn)弦公式，即可求解.【解答過程】解：由題意得e=ca=又l與雙曲線的一條漸近線平行，不妨設(shè)直線l的斜率為3，又F1,0故l的直線方程為：y=3x?3所以xA+x【變式4-3】已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，且直線l1，l2分別與拋物線C交于A，B和DA．32 B．64 C．128 D．256【解題思路】設(shè)出直線l1，l2的方程，聯(lián)立拋物線，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求出弦長，再根據(jù)四邊形【解答過程】由題意拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，顯然l1，設(shè)直線l1方程為x=ty+1，設(shè)Ax1,y1，則y1+y設(shè)直線l2的方程為x=?1ty+1，設(shè)則y3+y∴S=1當(dāng)且僅當(dāng)t2=1故選：A．【知識點(diǎn)3拋物線的切線】1．拋物線的切線過拋物線=2px(p>0)上的點(diǎn)P的切線方程是.

拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).【題型5拋物線中的切線問題】【例5】已知點(diǎn)P(4,?2)在拋物線C:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線ABA．x?y+2=0 B．2x?y+2=0 C．3x?y+2=0 D．x?2y+4=0【解題思路】根據(jù)條件可得拋物線方程，然后求導(dǎo)可得過Ax1,y1【解答過程】因?yàn)閽佄锞€C:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線為y=?p2故拋物線C:x2=8y，y=x28，設(shè)切點(diǎn)為則切線PA的方程為：y?y1=切線PB的方程為：y?y2=由P(4,?2)是PA、PB交點(diǎn)可知：?2=x1?可得過A、B的直線方程為?2=x?y，即x?y+2=0故選：A.【變式5-1】已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點(diǎn)，直線l2(1)當(dāng)A的縱坐標(biāo)為4時(shí)，求拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程；(2)四邊形ADBE面積的最小值.【解題思路】（1）易知焦點(diǎn)F1,0，且A4,4，設(shè)出切線方程與拋物線方程聯(lián)立即可得切線方程為x?2y+4=0；（2）由題意可得直線l1，l2的斜率均存在，設(shè)出l1，l2的方程并與拋物線聯(lián)立，利用焦點(diǎn)弦公式可求得AB=4【解答過程】（1）根據(jù)題意可得焦點(diǎn)F1,0，當(dāng)A的縱坐標(biāo)為4時(shí)可得A設(shè)拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程為x?4=my?4聯(lián)立y2=4xx?4=m由題意知方程y2?4my+16m?1=0只有一解，所以所以切線方程為x?2y+4=0.（2）如下圖所示：易知直線l1，l2的斜率均存在，可設(shè)l1的方程為聯(lián)立直線l1和拋物線y2=4x易知Δ>0，設(shè)Ax1,y同理設(shè)Dx3,y3所以四邊形ADBE的面積S=1當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，等號成立；所以四邊形ADBE面積的最小值為32.【變式5-2】已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，直線y=2與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)為(1)求拋物線C的方程；(2)過直線x?y?3=0上的點(diǎn)B作拋物線C的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P，Q，求點(diǎn)C?2,0到直線PQ【解題思路】（1）根據(jù)拋物線的定義和AF=3（2）聯(lián)立方程，根據(jù)相切可求切線方程，進(jìn)而得到PQ的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求答案.【解答過程】（1）拋物線C:x2=2py由拋物線定義得：AF=2??p2=3，解得p=2（2）記Px1,y1由y=kx+y1?kx1則由題意得Δ=16k2+16y所以直線BP的方程為y=x12x?y若設(shè)Bt,t?3t∈R，則所以直線PQ的方程為t?3=x2t?y所以點(diǎn)C?2,0到直線PQ的距離d=4t?6t當(dāng)d2?16=0，即d=4時(shí)，當(dāng)d2?16≠0時(shí)，因?yàn)閠∈即d4?25d2≤0，所以0≤所以點(diǎn)C?2,0到直線PQ的距離d【變式5-3】已知A、B是拋物線C:y2=8x上的兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A和B分別作C的切線l1(1)證明：PM⊥y軸：(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為?4,2，求△PAB的面積.注：拋物線y2=2px在點(diǎn)x0【解題思路】（1）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2，寫出直線（2）求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)求出y1+y2、【解答過程】（1）證明：設(shè)Ax1,y1、Bx2,y所以，x1≠x2，且由題意可知，直線l1的方程為y1y=4x+x聯(lián)立直線l1、l2的方程得y1所以，點(diǎn)P、M的縱坐標(biāo)相等，故PM⊥y軸.（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為?4,2，由（1）可知，xM=yy1+y由于PM⊥y軸，則S=1即△PAB的面積為54.【題型6拋物線中的面積問題】【例6】已知拋物線C:y(1)經(jīng)過點(diǎn)M(?1,1)作直線l，若l與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求l的方程；(2)設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為N，直線m過點(diǎn)P(1,0)，且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為Q，若QN=33，求△ANB【解題思路】（1）判斷當(dāng)直線l平行于拋物線的對稱軸x時(shí)，符合題意，當(dāng)直線l與拋物線C:y（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，直線m【解答過程】（1）由題意知點(diǎn)M(?1,1)在拋物線C:y2=8x外部，直線l不會垂直于x軸（此時(shí)l當(dāng)直線l平行于拋物線的對稱軸x軸時(shí)，l與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l的方程為y=1；當(dāng)直線l與拋物線C:y可設(shè)l的方程為y?1=k(x+1),k≠0，由y?1=kx+1y2由Δ=64?4k(8k+8)=0，解得k=?2則l的方程為y?1=?2(x+1)與y?1=x+1，即2x+y+1=0與x?y+2=0，綜上：l的方程是y=1或2x+y+1=0或x?y+2=0.（2）設(shè)Ax1,y1將直線m的方程與拋物線方程聯(lián)立，x=ny+1y得y2?8ny?8=0，Δ′=64n所以x1+x又拋物線C的準(zhǔn)線為x=?2,所以N?2,0則QN=(4n2+3)2+(4n)則S△ANB【變式6-1】已知直線2x?y?1=0與拋物線C:x2=2pyp＞(1)求p的值；(2)設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，M,N為拋物線C上兩點(diǎn)，F(xiàn)M?FN=0【解題思路】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出p；（2）設(shè)直線MN：y=kx+b，Mx1,y1,Nx【解答過程】（1）設(shè)Ax由2x?y?1=0x2=2py，可得x2?4px+2p=0所以xA+=5化簡得2p2?p?6=0，所以p=2或p=?32（2）因?yàn)镕0,1，顯然直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN：y=mx+n，M由x2=4yy=mx+n可得，xΔ=16m2+16n>0?m即x1x2將x1+x2=4m,所以n≠1，且n2?6n+1≥0，解得n≥3+22設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，所以d=n?1因?yàn)閤1所以MN=21+所以△MFN的面積S=1而n≥3+22或n≤3?22，所以當(dāng)n=3?22時(shí)，

【變式6-2】已知拋物線E：y2=x的焦點(diǎn)為F，過x軸正半軸上一點(diǎn)M的直線l與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)F關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)為C，求四邊形OABC面積的最小值.【解題思路】（1）設(shè)直線l的方程為x=my+n，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，即得答案.（2）利用S△OBC=S【解答過程】（1）設(shè)直線l的方程為x=my+n，聯(lián)立y2可得y2?my?n=0，需滿足Δ=則y1+y由OA?OB=6可得x1x則x=my+3過x軸正半軸上一點(diǎn)(3,0)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0).（2）由題意知F(14,0)，結(jié)合（1）知y則S△OAB由于C,F關(guān)于OB對稱，故S△OBC故S四邊形當(dāng)且僅當(dāng)4y1=故四邊形OABC面積的最小值為313【變式6-3】已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線為G:x2=2py(p>0)與雙曲線y23?x(1)求拋物線G的方程；(2)已知點(diǎn)M(?2,?1)，過點(diǎn)M作拋物線G的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，切線MA，MB分別交x軸于C，D，求△MAB與△MCD的面積之比．【解題思路】（1）首先求出雙曲線的上焦點(diǎn)，設(shè)PxP,yP，xP>0,yP（2）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，利用導(dǎo)數(shù)表示出MA的方程，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得D，再將M代入MA，即可得到AB的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可求出【解答過程】（1）雙曲線y23?x23=1由已知得：S△OPF=1代入雙曲線方程可得yP23?623又因?yàn)镻在拋物線上，所以6=2p×3，解得p=1，故拋物線G的方程為x2（2）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，B則切線MA的方程為y?y1=x1令y=0，則x=x12，即C將M(?2,?1)代入直線MA可得：2x同理可求得直線MB的方程：2x2+y2?1=0，所以聯(lián)立y=1?2xy=x22消去y得則弦長AB=點(diǎn)M到直線AB的距離d=|2×(?2)+(?1)?1|5=又S△MCD=1【題型7拋物線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】【例7】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的拋物線C經(jīng)過點(diǎn)2,4.(1)求C的方程；(2)若C關(guān)于x軸對稱，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(4,2)且與x軸不垂直的直線l交C于M,N兩點(diǎn)，直線MF交C于另一點(diǎn)A，直線NF交C于另一點(diǎn)B，求證：直線AB過定點(diǎn).【解題思路】（1）分類討論C的焦點(diǎn)在x或y軸上，設(shè)出拋物線的方程，將點(diǎn)2,4代入即可得出答案；（2）設(shè)My128,y1,Ny228,【解答過程】（1）若C的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線C的方程為y2將點(diǎn)2,4代入，得42=4p，解得p=4，故C的方程為若C的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線C的方程為x2將點(diǎn)2,4代入，得22=8p，解得p=12，故綜上，C的方程為y2=8x或（2）證明：由（1）知拋物線C的方程為y2=8x.若直線l不過點(diǎn)

設(shè)My由題意可知直線MN的斜率存在且不為0，則直線MN的斜率kMN所以直線MN的方程為y?y1=同理直線AM,BN的方程分別為8x?y由直線MN過定點(diǎn)4,2，可得2y由直線AM,BN過焦點(diǎn)F2,0，可得y直線AB的方程為8x?y由y1y3所以8y1y又因?yàn)?y1+令x+y=0,y+1=0,解得x=1,y=?1,故直線AB恒過定點(diǎn)若直線l過點(diǎn)F，直線AB即為直線MN，其方程為y?0=2?04?2x?2，即y=x?2綜上，直線AB過定點(diǎn)1,?1.【變式7-1】過拋物線x2=2py(p>0)內(nèi)部一點(diǎn)Pm,n作任意兩條直線AB,CD，如圖所示，連接AC,BD延長交于點(diǎn)Q，當(dāng)P為焦點(diǎn)并且AB⊥CD

(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)P1,1，證明Q【解題思路】（1）設(shè)直線AB:y=kx+p2，聯(lián)立方程組求得x1+x（2）由A,P,B和C,P,D共線，得到x1x2+4=x1+x2，x3x【解答過程】（1）解：設(shè)Ax設(shè)直線AB:y=kx+p2，聯(lián)立方程組y=kx+p可得x1所以AB=1+k所以SABCD=1所以p=2，所以拋物線的方程為x2（2）解：當(dāng)P為1,1時(shí)，Qx0,y0，由A,P,B共線，可得同理由C,P,D共線x3x又由A,C,Q共線，可得x124?同理由B,D,Q共線，可得x2x由①③得x1=x2又由②④得x4=x3由⑤⑥得4?x即4?x0=x0?4y【變式7-2】已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且傾斜角為π6的直線交拋物線于點(diǎn)M（M在第一象限），MN⊥l，垂足為N，直線NF交x(1)求p的值.(2)若斜率不為0的直線l1與拋物線C相切，切點(diǎn)為G，平行于l1的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn)，且∠PGQ=π2，點(diǎn)F到直線【解題思路】（1）利用圖中的幾何關(guān)系以及拋物線的定義求解；（2）直線PQ的方程為y=kx+mk≠0以及點(diǎn)P,Q,G的坐標(biāo)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立由韋達(dá)定理以及∠PGQ=π2得到k與m的關(guān)系式，利用直線l1與拋物線C相切求出直線l1的方程，用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出點(diǎn)F【解答過程】（1）如圖所示，過點(diǎn)F作FA⊥MN，垂足為A,MN交x軸于點(diǎn)E，由題得∠AFM=π6，所以∠NMF=π3，因?yàn)橐驗(yàn)镺是FB的中點(diǎn)，所以DF=DN,MD⊥DF所以MN=8，AN=4，所以O(shè)F=12

（2）由（1）可知拋物線的方程是x2設(shè)直線PQ的方程為y=kx+mk≠0，P因?yàn)椤螾GQ=π2，所以即x1+x又y′=k=x04聯(lián)立y=kx+mx2=8y，消去y，得x則x1+x2=8k,設(shè)點(diǎn)F到直線PQ和直線l1的距離分別為d1,d2所以點(diǎn)F到直線PQ與到直線l1【變式7-3】已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A2,m(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓過點(diǎn)P1,2，作PD⊥MN，D為垂足．是否存在定點(diǎn)Q，使得DQ為定值？若存在，求出點(diǎn)Q【解題思路】（1）利用拋物線的定義結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得出關(guān)于p的方程，解出p的值，即可得出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知，直線MN不與y軸垂直，設(shè)直線MN的方程為x=ty+n，設(shè)點(diǎn)Mx1,y1、Nx2,y2，將直線MN的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)已知條件得出PM?【解答過程】（1）解：拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=?p2，由拋物線的定義可得將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程可得m2=4p，所以，所以，AFAO=2+p221+p=3（2）解：若直線MN⊥y軸，則直線MN與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線MN的方程為x=ty+n，設(shè)點(diǎn)Mx1,聯(lián)立x=ty+ny2=4x可得y2?4ty?4n=0由韋達(dá)定理可得y1+yPM=x1因?yàn)橐訫N為直徑的圓過點(diǎn)P1,2，則PM所以，116顯然y1≠2且y2即y1y2+2y所以，直線MN的方程為x=ty+2t+5=ty+2由y+2=0可得y=?2，x=5，所以，直線MN過定點(diǎn)E5,?2所以，PQ=因?yàn)镻D⊥MN，當(dāng)點(diǎn)Q為線段PE的中點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為3,0時(shí)，DQ=因此，存在定點(diǎn)Q，且當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為3,0時(shí)，DQ為定值.【題型8拋物線中的最值問題】【例8】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y=8與拋物線C交于點(diǎn)P(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設(shè)弦AB，DE的中點(diǎn)分別為P，Q，求PQ的最小值．【解題思路】（1）設(shè)出Px0,8（2）設(shè)出直線方程，表達(dá)出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)出PQ，利用基本不等式求出最小值.【解答過程】（1）依題意，設(shè)Px由拋物線的定義得|PF|=x0+因?yàn)镻x0,8所以82=2px0，所以故拋物線C的方程為y2（2）由題意可知F(2,0)，直線AB的斜率存在，且不為0．設(shè)直線AB的方程為x=my+2(m≠0)，Ax1,聯(lián)立x=my+2y2=8x