/2025年東北三省教育教學聯(lián)合體高考數(shù)學聯(lián)考試卷（3月份）一、單選題（40分）1．已知集合高，考，必，勝，吉，大，必，勝，則A．吉，大，高，考 B．必，勝 C．金，榜，題，名 D．吉，大，高，考，必，勝2．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．3．雙曲線的左、右焦點分別為，，過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．34．已知函數(shù)的極大值為，則A． B． C． D．5．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是A． B．， C． D．，6．已知函數(shù)恰有一個極值點，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，7．已知函數(shù)且在上為單調(diào)函數(shù)．若方程有4個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．8．已知，分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且滿足，當，時，，若，，，則（a），（b），（c）大小關系為A．（c）（a）（b） B．（a）（b）（c） C．（a）（c）（b） D．（b）（a）（c）二、多選題（18分，全部選對得全部分，部分選對得部分分，錯誤答案不得分）（多選）9．（6分）在復數(shù)范圍內(nèi)，方程的兩個根分別為，，則A． B． C． D．（多選）10．（6分）如圖，長方體中，，，是側(cè)面的中心，是底面的中心，點在線段上運動，則下面選項正確的是A．直線與平行 B．四面體的體積為定值 C．點到平面的距離為 D．異面直線與所成的角為（多選）11．（6分）已知函數(shù)，則A．只有1個極小值點 B．曲線在點，（3）處的切線斜率為9 C．當有3個零點時，的取值范圍為 D．當只有1個零點時，的取值范圍為，，三、填空題（10分）12．已知向量，，，，若，則的最小值．13．已知，是函數(shù)，的兩個零點，則．四、解答題（82分）14．（13分）在△中，角，，所對的邊分別為，，，滿足．（1）求角的大??；（2）設，．求邊的值；求的值．15．（13分）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，，為線段上一點，且．（1）求證：；（2）是否存在實數(shù)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．16．（13分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)在，上的單調(diào)增區(qū)間；（2）若為的導函數(shù)，函數(shù)，求在，上的最大值．17．（15分）有一項高輻射的危險任務需要工作人員去完成，每次只進入一人，且每人只進入一次，在規(guī)定安全時間內(nèi)未完成任務則撤出，換下一個人進入，但最多派三人執(zhí)行任務．現(xiàn)在一共有、、三個人可參加這項任務，他們各自能完成任務的概率分別為，，，且，，互不相等，他們?nèi)齻€人能否完成任務的事件相互獨立．（1），，，如果按照、、的順序先后進入；①求任務能被完成的概率；②求所需派出人員數(shù)目的分布列和數(shù)學期望；（2）假定，試分析以怎樣的先后順序派出、、三個人，可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學期望達到最?。?8．（18分）已知數(shù)列，其中，．（1）若，集合，，，，表示集合的非空子集個數(shù)，集合的第個非空子集中的所有元素之和記為，2，，，設，．直接寫出，，；計算的前項和；（2）取，在數(shù)列中至少有一項為負值，且，將數(shù)列各項依次放在正五邊形各頂點上，每個頂點一項，任意相鄰三個頂點的三項為，，，若中間項，則進行如下交換．將，，變換為，，，直到正五邊形各頂點上的數(shù)均為非負時變換終止．求證：對任何符合條件的，上述變換終止只需進行有限多次．19．（20分）十進制與二進制是常見的數(shù)制，其中十進制的數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為10，進位規(guī)則是“逢十進一”，借位規(guī)則是“借一當十”；二進制的數(shù)據(jù)是由0，1這兩個數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為2，進位規(guī)則是“逢二進一”，借位規(guī)則是“借一當二”；例如：十進制的數(shù)20對應二進制表示的數(shù)為，二進制的數(shù)對應十進制表示的數(shù)為15．用（A）表示非空的整數(shù)集合的所有元素的和，已知集合，，，，，，2，，且．（一個數(shù)，不特別說明，默認為十進制）．（1）寫出“37”對應二進制表示的數(shù)及“”對應的十進制數(shù)；（2）若集合，2，3，，，2，4，，，，求（C）與（D）的所有可能值組成的集合；（3）若，且對每個正整數(shù)，都存在的子集，使得，求的最小值．

2025年東北三省教育教學聯(lián)合體高考數(shù)學聯(lián)考試卷（3月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DBCDCCCA二．多選題（共3小題）題號91011答案BCDABCBCD一、單選題（40分）1．已知集合高，考，必，勝，吉，大，必，勝，則A．吉，大，高，考 B．必，勝 C．金，榜，題，名 D．吉，大，高，考，必，勝解：集合高，考，必，勝，吉，大，必，勝，則吉，大，高，考，必，勝．故選：．2．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．解：，，，，．故選：．3．雙曲線的左、右焦點分別為，，過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．3解：由題意得，不妨設點在第一象限，所以點在漸近線上，所以，因為，所以，所以，且，因為，所以，由點在直線上得，，故，因為，所以，解得，所以，所以雙曲線的離心率．故選：．4．已知函數(shù)的極大值為，則A． B． C． D．解：，則，令，解得或，若，當時，，當時，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，解得，若，當，，，當時，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，不符合題意，當時，，在上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，綜上所述，．故選：．5．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是A． B．， C． D．，解：由數(shù)列是遞增數(shù)列，且，可得，解得．則的取值范圍是．故選：．6．已知函數(shù)恰有一個極值點，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，解：由題意可得，令，得，設，則．由，得，則在上單調(diào)遞增；由，得，則在上單調(diào)遞減，故（1）．因為恰有一個極值點，所以有唯一的零點，且在兩側(cè)的單調(diào)性不同．當時，，則或，解得或．當時，（1），則在上單調(diào)遞增，沒有極值點，故不符合題意；當時，（1），且當時，，當時，，則存在唯一的極小值點，故符合題意，故的取值范圍是，．故選：．7．已知函數(shù)且在上為單調(diào)函數(shù)．若方程有4個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．解：由題意可知：為單調(diào)函數(shù)，當時，單調(diào)遞減；故當時，也是單調(diào)遞減，故；要確保在上單調(diào)遞減，則（2），解得：，所以當在上單調(diào)遞減時，實數(shù)的取值范圍為，排除．當時，，又因為在，上單調(diào)遞減，，所以（2），即在，上的值域為，．令，則或3，即或，因為必有2個解，所以要使得有4個不同的實數(shù)解，所以也必有2個解，則，解得：．綜上，實數(shù)的取值范圍為：，即．故選：．8．已知，分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且滿足，當，時，，若，，，則（a），（b），（c）大小關系為A．（c）（a）（b） B．（a）（b）（c） C．（a）（c）（b） D．（b）（a）（c）解：因為，分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，，由，得，所以，可得的周期為2，又，可得，兩式相加可得，當，時，因為，，都是增函數(shù)，所以為增函數(shù)，且，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，，，，，所以（c）（a）（b）．故選：．二、多選題（18分，全部選對得全部分，部分選對得部分分，錯誤答案不得分）（多選）9．（6分）在復數(shù)范圍內(nèi)，方程的兩個根分別為，，則A． B． C． D．解：方程的兩個根分別為，，則，故錯誤；根據(jù)韋達定理知，故正確；對，解出兩根分別為，顯然兩根互為共軛復數(shù)，則，故正確；對，因為，則，故正確．故選：．（多選）10．（6分）如圖，長方體中，，，是側(cè)面的中心，是底面的中心，點在線段上運動，則下面選項正確的是A．直線與平行 B．四面體的體積為定值 C．點到平面的距離為 D．異面直線與所成的角為解：連接，，由于點是底面的中心，是側(cè)面的中心，那么為的中點，為的中點，因此在三角形中，為三角形的中位線，所以，所以選項正確；由于，平面，平面，因此平面，又因為點在線段上運動，因此點到平面的距離為定值，又因為為定值，因此四面體的體積為定值，所以選項正確；對于選項，如圖以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，則，即，解得，令，得，則，所以點到平面的距離，正確；對于選項，，，因為，，，所以，，故異面直線與所成的角不為，錯誤．故選：．（多選）11．（6分）已知函數(shù)，則A．只有1個極小值點 B．曲線在點，（3）處的切線斜率為9 C．當有3個零點時，的取值范圍為 D．當只有1個零點時，的取值范圍為，，解：對于選項，當或時，，則，當或時，，當時，，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；當時，，則，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；則在、處取得極小值，故有2個極小值點，故選項錯誤；對于選項：因為（3），曲線在點，（3）處的切線斜率為9，故選項正確；對于選項：令，則的圖象如下所示：其中的圖象是由的圖象向下或向上平移個單位得到；，，（1），（2），要使有3個零點，則或或（2），則或或，解得或或，綜上可得的取值范圍為，故選項正確；對于選項：要使只有1個零點，則（1）或，即或，解得或，即的取值范圍為，，，故選項正確．故選：．三、填空題（10分）12．已知向量，，，，若，則的最小值．解：由向量，，，，得得，所以，當且僅當且，即，時等號成立，所以的最小值是．故答案為：．13．已知，是函數(shù)，的兩個零點，則．解：根據(jù)和差化積公式得，則令，得或，因為，則，所以無解；因為，則，當時，則或，解得或，則．故答案為：．四、解答題（82分）14．（13分）在△中，角，，所對的邊分別為，，，滿足．（1）求角的大小；（2）設，．求邊的值；求的值．解：（1）△中，，由正弦定理得，所以，即，所以，因為，所以，又為三角形內(nèi)角，所以．（2），，由余弦定理，得，即，解得．由正弦定理得，所以，所以，所以，因為，所以．15．（13分）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，，為線段上一點，且．（1）求證：；（2）是否存在實數(shù)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．解：（1）證明：連接，因為，，則四邊形為菱形，所以，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以．（2）取線段的中點，連接，在菱形中，，則，故△為等邊三角形，因為為的中點，則，且平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，0，、、、，設，則，，記平面的法向量，則，則，取，則易知平面的一個法向量為，由題意，整理可得，即，因為，解得或．16．（13分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)在，上的單調(diào)增區(qū)間；（2）若為的導函數(shù)，函數(shù)，求在，上的最大值．解：（1）由函數(shù)，可得，令，又，，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由函數(shù)，可得，因為，，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為．17．（15分）有一項高輻射的危險任務需要工作人員去完成，每次只進入一人，且每人只進入一次，在規(guī)定安全時間內(nèi)未完成任務則撤出，換下一個人進入，但最多派三人執(zhí)行任務．現(xiàn)在一共有、、三個人可參加這項任務，他們各自能完成任務的概率分別為，，，且，，互不相等，他們?nèi)齻€人能否完成任務的事件相互獨立．（1），，，如果按照、、的順序先后進入；①求任務能被完成的概率；②求所需派出人員數(shù)目的分布列和數(shù)學期望；（2）假定，試分析以怎樣的先后順序派出、、三個人，可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學期望達到最?。猓海?）①設按照、、的順序先后進入任務被完成為事件，則（E）；②由題意可知，可取1，2，3，，，，所以分布列為：1230.10.180.72所以；（2）若按照某一指定順序派人，、、三人各自能完成任務的概率依次為，，，其中，，是，，的一個排列，結合（1）②知，因為，所以要使最小，前兩人應從和中選，最后派出，若先派，再派，最后派，則，若先派，再派，最后派，則，所以，所以先派，再派，最后派時，派出人員數(shù)目的數(shù)學期望達到最?。?8．（18分）已知數(shù)列，其中，．（1）若，集合，，，，表示集合的非空子集個數(shù)，集合的第個非空子集中的所有元素之和記為，2，，，設，．直接寫出，，；計算的前項和；（2）取，在數(shù)列中至少有一項為負值，且，將數(shù)列各項依次放在正五邊形各頂點上，每個頂點一項，任意相鄰三個頂點的三項為，，，若中間項，則進行如下交換．將，，變換為，，，直到正五邊形各頂點上的數(shù)均為非負時變換終止．求證：對任何符合條件的，上述變換終止只需進行有限多次．解：（1）由，則，，因此可得；由，，，則，，因此可得；由，，，2，，則，，因此可得．故；由題意得集合，2，，，所以，由于集合的每個元素在其子集中出現(xiàn)的次數(shù)均為，故，所以，所以．（2）證明：由題意所述的變換不變，且始終為整數(shù)，所以，構造一個函數(shù)，不妨對，，進行一次操作，此時五邊形頂點上的數(shù)變?yōu)椋?，，，所以有，，，，，，，，，因為，，得，又，所以，則經(jīng)過每一次變換，函數(shù)，，，，的值至少減少2，且，，，，恒非負，所以變換只能進行有限多次．19．（20分）十進制與二進制是常見的數(shù)制，其中十進制的數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為10，進位規(guī)則是“逢十進一”，借位規(guī)則是“借一當十”；二進制的數(shù)據(jù)是由0，1這兩個數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為2，進位規(guī)則是“逢二進一”，借位規(guī)則是“借一當二”；例如：十進制的數(shù)20對應二進制表示的數(shù)為，二進制的數(shù)對應十進制表示的數(shù)為15．用（A）表示非空的整數(shù)集合的所有元素的和，已知集合，，，，，，2，，且．（一個數(shù)，不特別說明，默認為十進制）．（1）寫出“37”對應二進制表示的數(shù)及“”對應的十進制數(shù)；（2）若集合，2，3，，，2，4，，，，求（C）與（D）的所有可能值組成的集合；（3）若，且對每個正整數(shù)，都存在的子集，使得，求的最小值．解：（1）根據(jù)題意可知，，；（2）集合，2，3，，，2，4，，，，，為非空集合，所以，2，3，，因為集合為，，，，，，，，，，，，，，，，，2，，，2，，，3，，，3，，，2，3，中一種，所以（C）可能值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，因為，2，4，，所以集合為，，，，，，，，，，，，，，，，，2，，，2，，，4，，，4，，，2，4，中一種，所以（D）可能值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，因此（C）與（D）的所有可能值組成的集合分別為，2，3，4，5，6，7，8，9，，，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，；（3）根據(jù)整數(shù)二進制表示可知：1到中正整數(shù)可以表示為，可知，對每個正整數(shù)，都存在，2，4，8，16，32，64，128，的子集，使得，從