/2025年湖北省高考數(shù)學(xué)信息試卷（三）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量與的夾角為，，，則在上的投影向量為A． B． C． D．4．已知，則A．2 B．1 C． D．5．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若的面積是的面積的兩倍，則A．2 B． C． D．7．下列函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增的是A． B． C． D．8．已知正方體，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，點(diǎn)是直線上異于的一點(diǎn)，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足直線與直線的夾角為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡在A．圓上 B．橢圓上 C．拋物線上 D．雙曲線上二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)10場比賽的得分如下表所示，則下列說法正確的有場次12345678910甲18202213202710211930乙31020924271328917A．甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù) B．甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù) C．甲的極差大于乙的極差 D．甲的60百分位數(shù)大于乙的60百分位數(shù)（多選）10．（6分）已知函數(shù)的最小正周期為，則A． B． C． D．（多選）11．（6分）武當(dāng)太極拳又稱武當(dāng)內(nèi)家拳，是我國的一項(xiàng)傳統(tǒng)武術(shù)拳種，修習(xí)太極拳可以養(yǎng)生祛病、強(qiáng)身健體、延年益壽．若張爺爺早上帶著孫子小張?jiān)诮∩韽V場練習(xí)武當(dāng)太極拳十三式，張爺爺按照拳法順序從第一式打到第十三式，每種招式打一遍，小張隨機(jī)打了十三式，則A．若招式可以重復(fù)，則小張練習(xí)的可能情況數(shù)為 B．若招式不可重復(fù)，則小張練習(xí)的可能情況數(shù)為 C．若招式可以重復(fù)，小張僅有第一式與爺爺相同的可能情況數(shù)為 D．若招式不可重復(fù)，小張和爺爺恰有三種招式順序不同的概率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是，則雙曲線的離心率的值是．13．若曲線與圓有公共點(diǎn)，，且在點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)．14．已知正整數(shù)，歐拉函數(shù)表示1、2、3、、中與互素的整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，（2），（4）．若小明從3、5、7、11、13中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，小紅從6、8、9、10、30中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求（2）若，的面積為，求的周長．16．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，，，點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的大小為，求二面角的正弦值．17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．已知數(shù)列首項(xiàng)，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和．（2）若將數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列，求的值．（3）是否存在不同的，，使得，，成等差數(shù)列？如果存在，請求出，的值；如果不存在，請說明理由．18．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．19．已知點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)經(jīng)過第次變動(dòng)（各次變動(dòng)之間相互獨(dú)立）后落在，的位置異于橢圓的左、右頂點(diǎn)，且時(shí)，允許，點(diǎn)，是△的內(nèi)心（即內(nèi)切圓的圓心），滿足，其中，2，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)．①證明：；②若，且對任意，2，，都有△的面積為，求對任意，2，，都有的概率．

2025年湖北省高考數(shù)學(xué)信息試卷（三）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CDACBCCD二．多選題（共3小題）題號91011答案ABDBCDBD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B． C． D．解：，，故．故選：．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：復(fù)數(shù)，它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故選：．3．已知向量與的夾角為，，，則在上的投影向量為A． B． C． D．解：向量與的夾角為，，，則在上的投影向量為．故選：．4．已知，則A．2 B．1 C． D．解：，故，可得，．故選：．5．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為A． B． C． D．解：因?yàn)?，所以，即，，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．故選：．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若的面積是的面積的兩倍，則A．2 B． C． D．解：令為點(diǎn)到直線的距離，則，，由，故，由拋物線定義可知，，，則有，即，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，有，△，故，，則，則有，故，有，故或（負(fù)值舍去），則，故．故選：．7．下列函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增的是A． B． C． D．解：對于，的定義域?yàn)?，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤．對于，在，上單調(diào)遞減，不滿足在，上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤．對于，，滿足在，上單調(diào)遞增，故正確．對于，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤．故選：．8．已知正方體，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，點(diǎn)是直線上異于的一點(diǎn)，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足直線與直線的夾角為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡在A．圓上 B．橢圓上 C．拋物線上 D．雙曲線上解：根據(jù)題目可知：直線與直線的夾角為，所以在以為頂點(diǎn)的對頂圓錐上，即對頂圓錐的軸線為，平面，因此動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在雙曲線上．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)10場比賽的得分如下表所示，則下列說法正確的有場次12345678910甲18202213202710211930乙31020924271328917A．甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù) B．甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù) C．甲的極差大于乙的極差 D．甲的60百分位數(shù)大于乙的60百分位數(shù)解：甲眾數(shù)為20，乙眾數(shù)為9，顯然甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù)，故對；，，故甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù)，故對；甲極差，乙極差，甲的極差小于乙的極差，故錯(cuò)；甲按大小順序排為10，13，18，19，20，20，21，22，27，30，乙按大小順序排為3，9，9，10，13，17，20，24，27，28，甲的60百分位數(shù)，乙的60百分位數(shù)，甲的60百分位數(shù)大于乙的60百分位數(shù)，故對．故選：．（多選）10．（6分）已知函數(shù)的最小正周期為，則A． B． C． D．解：由已知可得，則，故錯(cuò)誤；所以，則，所以，故正確；，，故正確；，，即，故正確．故選：．（多選）11．（6分）武當(dāng)太極拳又稱武當(dāng)內(nèi)家拳，是我國的一項(xiàng)傳統(tǒng)武術(shù)拳種，修習(xí)太極拳可以養(yǎng)生祛病、強(qiáng)身健體、延年益壽．若張爺爺早上帶著孫子小張?jiān)诮∩韽V場練習(xí)武當(dāng)太極拳十三式，張爺爺按照拳法順序從第一式打到第十三式，每種招式打一遍，小張隨機(jī)打了十三式，則A．若招式可以重復(fù)，則小張練習(xí)的可能情況數(shù)為 B．若招式不可重復(fù)，則小張練習(xí)的可能情況數(shù)為 C．若招式可以重復(fù)，小張僅有第一式與爺爺相同的可能情況數(shù)為 D．若招式不可重復(fù)，小張和爺爺恰有三種招式順序不同的概率為解：對于選項(xiàng)，若招式可以重復(fù)，則小張練習(xí)的可能情況數(shù)為，故錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，若招式不可重復(fù)，則小張練習(xí)的可能情況數(shù)為，故正確；對于選項(xiàng)，若招式可以重復(fù)，小張僅有第一式與爺爺相同的可能情況數(shù)為，故錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，若招式不可重復(fù)，小張和爺爺恰有三種招式順序不同的概率為，故正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是，則雙曲線的離心率的值是．解：因?yàn)殡p曲線，故雙曲線的漸近線方程為，即．則焦點(diǎn)到漸近線的距離，解得，故雙曲線的離心率．故答案為：．13．若曲線與圓有公共點(diǎn)，，且在點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)．解：因?yàn)?，所以，又曲線與圓有公共點(diǎn)，，且在點(diǎn)處的切線相同，所以，又，解得或（舍去），所以，所以，所以．故答案為：．14．已知正整數(shù)，歐拉函數(shù)表示1、2、3、、中與互素的整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，（2），（4）．若小明從3、5、7、11、13中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，小紅從6、8、9、10、30中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率為．解：小明從3、5、7、11、13中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，小紅從6、8、9、10、30中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，由題意可得（3），（5），（7），，，（6），（8），（9），，，，5，7，11，，，8，9，10，，滿足（1）的數(shù)組有：、、、，（1）的概率為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求（2）若，的面積為，求的周長．解：（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，由余弦定理得：，，解得，所以，所以的周長為6．16．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，，，點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的大小為，求二面角的正弦值．解：（1）證明：如圖1，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，又四邊形為菱形，且為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）如圖2，連接、交于點(diǎn)．因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，且為、的中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?、平面，且，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角的平面角，則．又，，，為的中點(diǎn)，所以，則△為等邊三角形，因?yàn)?，故△也為等邊三角形，且，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，，所以，，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則，取，可得，則，設(shè)二面角平面角為，則．因此，二面角的正弦值為．17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．已知數(shù)列首項(xiàng)，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和．（2）若將數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列，求的值．（3）是否存在不同的，，使得，，成等差數(shù)列？如果存在，請求出，的值；如果不存在，請說明理由．解：（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，①所以，②①②得：．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，解得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即．又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列是各項(xiàng)均為0的常數(shù)數(shù)列，所以，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．又因?yàn)?，，，，，，，，所以．?）假設(shè)存在不同的，，使得，，成等差數(shù)列不妨假設(shè)，則，即，兩邊同時(shí)除以16得：．因?yàn)?，所以，所以，所以．?dāng)時(shí)，，這與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，這與題設(shè)矛盾．所以不存在不同的，使得，，成等差數(shù)列．18．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．解：（1）知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，由題意得，，有兩個(gè)不等式正根，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的正根，所以，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，由得，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足題意．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）證明：由（1）知，，所以，所以．令，則，令，則在時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，?）所以函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，存在最小值，即．因?yàn)?，所以，所以，所以?9．已知點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)經(jīng)過第次變動(dòng)（各次變動(dòng)之間相互獨(dú)立）后落在，的位置異于橢圓的左、右頂點(diǎn)，且時(shí)，允許，點(diǎn)，是△的內(nèi)心（即內(nèi)切圓的圓心），滿足，其中，2，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)．①證明：；②若，且對任意，2，，都有△的面積為，求對任意，2，，都有的概率．解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，，所以，，解得，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①證明：易知內(nèi)切圓半徑，對任意，，即，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)在軸的同一側(cè)，所以，同號，此時(shí)，則；②由①知，因?yàn)?，所以，對任意，在△中，設(shè)與軸的相切于點(diǎn)，此時(shí)，同理得，所以，，因?yàn)?，所以，又，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，可得，因?yàn)?，?dāng)且即當(dāng)時(shí)，等號成立，所以點(diǎn)只能在橢圓的上、下頂點(diǎn)位置，當(dāng)時(shí)，表示點(diǎn)中恰有1012個(gè)在上頂點(diǎn)，恰有1012個(gè)在下頂點(diǎn)，此時(shí)共有種情況，對任意，2，，都有表明，任意前個(gè)點(diǎn)中，上頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于下頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，將前個(gè)點(diǎn)中上頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)減去下頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)記作，將所有的點(diǎn)連接起來，形成一條折線，因?yàn)槊看我礈p少1，要么增加1，所以折線相當(dāng)于從出發(fā)，每次沿向量向右上方移動(dòng)，或者沿向量向右下方移動(dòng)，最終到結(jié)束，目標(biāo)事件為折線始終落在軸及軸上方，其對立事件為折線與有公共點(diǎn)，若折線與有公共點(diǎn)，記第一個(gè)公共點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)左側(cè)的折